2024-2025学年四川省遂宁市高二上册强基班第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省遂宁市高二上册强基班第一次月考数学检测试题（含解析），共27页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 圆关于直线对称，则实数， 下列命题中，正确的是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线与平行，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 1或
3. 如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 圆关于直线对称，则实数（ ）
A. 1B. -3C. 1或-3D. -1或3
6. 一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A 4B. 5C. 6D. 7
7. 点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（ ）
A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍
8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 若两个不同平面的法向量分别是，，且则
D. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“点数之和为奇数”，事件“出现3点”，则
B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球.从中依次不放回取出2个球，则“两球不同色”的概率是
C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靬率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98
D. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A. 圆上有且仅有两个点到直线距离为
B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______.
13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________．

14. 某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知矩形ABCD两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
16. 为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm）小于195时成绩为不合格，在上时成绩及格，在上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：，，，，，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．

（1）求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；
（2）若从这次测试成绩为优秀和不及格男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．
17. 已知，，动圆与圆外切且与圆内切． 圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由。
2024-2025学年四川省遂宁市高二上学期强基班第一次月考数学检测试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．
【详解】设直线的倾斜角为，
因为该直线的斜率为，所以，所以，
故选：A
2. 已知直线与平行，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 1或
【正确答案】B
【分析】由两直线平行的条件求解．
【详解】因为，所以解得.
故选：B．
3. 如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解.
【详解】连接，
.
故选：C
4. 杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解.
【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，
代表依次摸出的卡片，，
则基本事件分别为：，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：，
所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，
则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.
故选：B.
5. 圆关于直线对称，则实数（ ）
A. 1B. -3C. 1或-3D. -1或3
【正确答案】B
【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解.
【详解】的圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，也即，
解得：或.
当时，可得：，符合圆的方程；
当 时，可得：，配方可得：，舍去.
故选：B
6. 一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【正确答案】B
【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.
【详解】由题意该组数据共7个数，,
故第60百分位数为从小到大第5个数 ，又众数为4，
故 ，
故该组数据的平均数为，
故选：B
7. 点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（ ）
A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍
【正确答案】D
【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】
由可知，，所以，
所以，
∵线段的中点M在y轴上，且原点O为线段的中点，
所以，所以轴
∴可设，
把代入椭圆，得.
∴，.
∴.
故选：D.
8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值．
【详解】取BD中点O，连接AO，CO，，
则，且，于是是二面角的平面角，
显然平面，在平面内过点作，则，
直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，设二面角的大小为，，
因此，，，
于是，
显然，则当时，，
所以的最大值为.
故选：B
关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 若两个不同平面的法向量分别是，，且则
D. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
【正确答案】AC
【分析】根据向量共线定理，可判断A选项；由即可判断B选项；由即可判断C选项；根据线面角的向量公式直接计算可判断D选项.
【详解】A选项：若对空间中任意一点，有，满足，所以，，，四点共面，故A正确；
B选项：因为，所以，所以或，故B错误；
C选项：因，所以，所以，故C正确；
D选项：记直线与平面所成角为，所以，
因为线面角的取值范围为，所以直线与平面所成角大小为，故D错误；
故选：AC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“点数之和为奇数”，事件“出现3点”，则
B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球.从中依次不放回取出2个球，则“两球不同色”的概率是
C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靬率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98
D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
【正确答案】BC
【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率可判断CD.
【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种不同的结果，
事件“点数之和为奇数且出现3点”有共6种不同的结果，则，故A错误；
对于B，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有：
，共10个，
其中两球不同色的结果有：共6个，
所以“两球不同色”的概率是，故B正确；
对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为，故C正确；
对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，
第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故D错误.
故选：BC.
11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
【正确答案】ABD
【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点.
【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
由，
如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，
另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；

选项B，设点关于直线的对称点，
则，解得，即，
则，
即的最小值为，故B正确；

选项C，由切点为，则在中，，
当最小时，取最大值，最大，
过点作，垂足为，此时最小，最小值为，
即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；

选项D，设点，切点，
可得切线方程为，由点在切线上，得，
同理可得，
故点都在直线上，
即直线的方程为，
又由点在直线上，则，
代入直线方程整理得，
由解得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______.
【正确答案】
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.
【详解】由条件可得，，
所以在方向上的投影向量的坐标为
.
故
13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________．

【正确答案】2
【分析】据空间向量基本定理把用，，作基底表示，利用向量数量积运算即可求解.
【详解】在平行六面体中,，
所以，
因为，所以，
又，
所以，，
所以
所以.
故2.
14. 某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为______．
【正确答案】##0.7
【详解】利用概率性质求解
【分析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件，则，
骰子出现点数为3，4，5，6为事件，则，
甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件，
所以，，
所以．
故．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程；
（2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程.
【小问1详解】
因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为
又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，
即
【小问2详解】
由，解得点A的坐标为
因为矩形ABCD两条对角线的交点为
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又，
从而矩形ABCD外接圆的方程为
16. 为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm）小于195时成绩为不合格，在上时成绩及格，在上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：，，，，，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．

（1）求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；
（2）若从这次测试成绩为优秀和不及格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．
【正确答案】（1）44人 （2）
【分析】（1）应用频率分布直方图计算及格或良好学生人数；
（2）根据古典概型计算可得.
【小问1详解】
由题意可知
抽取进行测试的人数为：
故测试中成绩为及格或良好的学生人数为人
【小问2详解】
测试中成绩为优秀的有人，记作，，，
成绩为不及格的有人，记作甲，乙
从这6人随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，．，，{甲，乙}，共15个，
其中至少有一人不及格的基本事件有，，，，{甲，乙}，，，，，共9个．
故所抽取的2名学生中至少1人成绩为不及格的概率是．
17. 已知，，动圆与圆外切且与圆内切． 圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
【正确答案】（1）
（2）存在，
【分析】（1）先根据题意得到圆与圆的圆心和半径，再根据题意求得，，从而根据椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，4为半长轴长的椭圆，进而即可求得曲线C的方程；
（2）先根据题意可得过点的直线的斜率存在，从而设直线为，再联立曲线C的方程，消整理得到关于的一元二次方程，再结合点Q为中点，从而求得的值，进而即可得到结论．
【小问1详解】
依题意可得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为7，
设动圆的半径为，
由动圆与圆外切且与圆内切，
则，且，
则由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，4为半长轴长的椭圆，
所以，，，
故曲线C的方程的方程为．
【小问2详解】
依题意可得过点的直线的斜率存在，
则设直线为，
联立，消整理得，
当点Q为中点时，有，解得，
又，所以(定值)，
故直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值．

18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；的长为或
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；
（3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以,平面,平面，
所以平面；
【小问2详解】
如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面一个法向量为，
设平面和平面夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或
故当时，；当时，
则的长为或．
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1），
（2）
（3）存在，和
【分析】（1）代入和的公式，即可求解；
（2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解；
（3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
①点为点，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，取，
则．
因为，所以的最大值为．
【小问3详解】
易知，设，则
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．
关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问