四川省资阳市2024_2025学年高一数学上学期期中测试试题重点班含解析

这是一份四川省资阳市2024_2025学年高一数学上学期期中测试试题重点班含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解即得.
【详解】由 ，得 ，而全集 ，
所以 .
故选：A
2. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于 A, 的定义域为 , 的定义域为 ，两个函数的定义域不相
同，
故不是同一个函数，A 错误，
对于 B， ， ，两个函数相同，故 B 正确，
对于 C, 与 的对应关系不相等，故不是同一个函数，C 错误，
对于 D, 的定义域为 ， 的定义域为 ，两个函数的定义域不相等，
故不是同一个函数，D 错误，
故选：B
3. 下列结论正确的是（ ）
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A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】举反例即可说明 ABD；由 得出 ，即可说明 C．
【详解】对于 A 选项，当 ， ， ， 时， ，故 A 错误；
对于 B 选项，当 时， ，故 B 错误；
对于 C 选项，因为 ，
所以 ，即 ，故 C 正确；
对于 D 选项，当 ， 时，满足 ，显然 不成立，故 D 错误．
故选：C．
4. 不等式 的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由分式不等式的求解方法计算即可.
【详解】原不等式可化为 ，即 ，解得 .
故选：C.
5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】由 的定义域可求得 的定义域，再由 中 的范围，求交集即可．
【详解】由题： 的定义域为 ，即 ，
所以 的定义域为 ，
又 中 ，
综上： 的定义域为 ，
故选：D．
6. 已知 ， 均为正实数，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有 ，
即可求 的取值范围.
【详解】由题设， ，当且仅当
时等号成立，
要使 恒成立，则 ，可得 .
故选：D
7. 设函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】首先求出 ，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.
【详解】因为 ，所以 ，
不等式 等价于 或 ，
解得 或 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
8. 已知 或 ， ，若 是 的必要条件，则实数 的范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题得出两个集合之间的关系： ，再对集合 B 中的不等式求解，分类讨论研究即可．
【详解】由题意知：
①当 时， ， ，故 ，解得 ，
故 ；
②当 时， ，满足 ；
③当 时， ， ，故 ，解得 ，
故 ；
综上所述： ．
故选：A．
二、多选题
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9. 下列叙述正确的是（ ）
A. “ ”是“ ” 充分不必要条件
B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C. 设 ，则“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件
D. 命题“ ， ”的否定是真命题
【答案】ABD
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的概念可判断 AC，由全称命题的否定形式可判断 B，由全称命题和其否定
的真假关系可判断 D.
【详解】对于 A，由 ， ，可得 ，而 不一定有 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 A 正确；
对于 B，“ ， ”的否定是“ ， ”，故 B 正确；
对于 C，由 ，且 ，可得 ，
而 存在 ， 满足条件，但不满足 ，
所以“ ，且 ”是“ ”的充分不必要条件，故 C 错误；
对于 D，命题“ ， ”是假命题，所以否定是真命题，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 下列选项正确的有（ ）
A. 当 时，函数 的最小值为
B. ，函数 的最大值为
C. 函数 的最小值为
D. 当 ， 时，若 ，则 的最小值为
【答案】AD
【解析】
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【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断 A，根据基本不等式判断 BC，根据“1”的妙用与
变形，结合基本不等式，即可判断 D.
【详解】A. ， ，当 时，函数去掉最小值 1，故 A 正确；
B. ，
当 ， ，得 ，所以 的最大值为 ，故 B 错误；
C. ，
设 ，则 在区间 单调递增，当 时， 取得最小值 ，所以函数
的最小值为 ，故 C 错误；
D.若 ，则 ，则
，
当 时，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故 D 正确.
故选：AD
11. 下列各选项给出的数学命题中，正确的是（ ）
A 集合 ， 表示同一集合
B. 若 是一次函数，满足 ，则
C. 函数 的值域为
D. 关于 的不等式 的解集 ，则不等式 的解集为
【答案】CD
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【解析】
【 分 析 】 根 据 两 个 集 合 的 含 义 可 判 断 A； 利 用 待 定 系 数 法 求 解 析 式 可 判 断 B； 将 函 数 变 形 为
，先求出 的范围即可求出 的范围可判断 C；先求出 的关系并判断 的符
号，再解一元二次不等式可判断 D.
【详解】对于 A：集合 为函数 的定义域，即全体实数集，
集合 为函数 的值域，即 ，所以 不是同一个集合，故 A 错误；
对于 B，因为 是一次函数，设 ，
则 ，可得 ，
解得 或 ，所以 或 ，故 B 错误；
对于 C，当 时， ，则 ，
此时， ，则 ，则
，
所以，函数 值域为 ，故 C 正确；
对于 D：关于 的不等式 的解集 ，
则方程 的两个解是 或 ，并且 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
则不等式 转化为 ，由 ，
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则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 ，故 D 正确．
故选：CD
三、填空题
12. 设集合 ，若 ，则实数 的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】由题意分情况讨论，建立方程，可得答案.
【详解】当 时，则 ，故不符合题意；
当 时，则 ，化简可得 ， （1 不合题意舍去）；
故答案为： .
13. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” ，“狄利克雷函数”在现代数学
的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 _______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据函数表达式计算（注意判断自变量的值是有理数还是无理数）．
【详解】由题意 ，
故答案为：1.
14. 若函数 在区间 上的最小值为 4，则 的取值集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论 ， ， 三种情况即可.
【详解】函数 ，对称轴为 ，
当 ，即 时，
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，即 ，解得 或 （舍去），
当 ，即 时，
，不符合题意，舍去，
当 时， ，即 ，解得 或 （舍去），
故 的取值集合为 .
故答案为：
四、解答题
15. 设集合 ， .
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合 ，再求 ， ；
（2）根据集合的包含关系求解即可.
【小问 1 详解】
集合 ，.
当 时， ，
则 ， ；
小问 2 详解】
集合 ，
由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以实数 m 的取值范围是 .
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16. 设集合 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，所以 或 ，故集合 .
因为 ，所以 ，将 代入 中的方程，
得 ，解得 或 ，
当 时， ，满足条件；
当 时， ，满足条件，
综上，实数 的值为 或 .
【小问 2 详解】
因为“ ”是“ ” 的必要条件，所以 .
对于集合 ， .
当 ，即 时， ，此时 ；
当 ，即 时， ，此时 ；
当 ，即 时，要想有 ，须有 ，
此时： ，该方程组无解.
综上，实数 的取值范围是 .
17. 设命题 ， ，命题 ， ．
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（1）若 q 为真命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若 p 为假命题、q 为真命题，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出 的取值范围即得.
（2）由命题 为真命题求出 的范围，再结合（1）求出答案.
【小问 1 详解】
由 ， ，得关于 的方程 无实根，
因此 ，解得 ，
所以实数 m 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
由 p 为假命题，得 ， 为真命题，即 ， ，
而当 时， ，当且仅当 时取等号，因此 ，
由（1）知， ，则 ，
所以实数 m 的取值范围是 .
18. 已知 ．
（1）若不等式 对于一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为 对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，
即可求解；
（2）把不等式转化为 ，分类讨论，即可求解.
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【小问 1 详解】
因为 ，
则不等式 ，可化为 ，
即 对于任意的实数 恒成立，
当 时，即 时，不等式为 ，解得 ，不符合题意；
当 时，则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
由不等式 ，可得 ，即 ，
①当 时，不等式可化为 ，解得
当 时，方程 的解 ，或 ，
②当 时， 或 ；
③当 时，
（i）当 时，即 ， ；
（ii）当 时不等式的解集为 ，
（iii）当 时， ， ，
综上可得：
当 时，原不等式的解集为 ；
当 ，原不等式的解集为 或 ，
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
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19. 已知函数 满足 ，函数 满足 ．
（1）求函数 和 的解析式；
（2）求函数 的值域．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法求出 的解析式，利用解方程组法求出 的解析式；
（2）利用换元法求函数的值域.
【小问 1 详解】
令 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ①， ②，
由①②解得， .
【小问 2 详解】
因为 ，
令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以该函数的值域为 .
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