山西省晋城市阳城县2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）

这是一份山西省晋城市阳城县2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 当时，二次根式的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】当时，
．
故选：B．
2. 若是方程的一个根，则k的值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】是方程的一个根，代入得：，
解得：．
故选：D．
3. 若一元二次方程的两根为，（），则点位于平面直角坐标系中的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】，
，
，
∵，
∴，
故在第二象限．
故选：B．
4. 若，，则用含x，y的代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴．
故选：C．
5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
解得，
因此，的值为，
故选：A．
6. “书籍是人类进步的阶梯！”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，6月份进馆人次，进馆人次逐月增加，8月份进馆人次．设进馆人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】进馆人次的月平均增长率为x，
则7月份人次为人，
8月份人次为人，即人，
根据8月份数据，列方程为：
．
故选：C．
7. 若方程可配方成的形式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
∴，
则．
故选：B．
8. 已知实数，则实数a的值在（ ）
A. 1与2之间B. 2与3之间C. 3与4之间D. 4与5之间
【答案】C
【解析】，
，
∵，
，
，
．
故选：C．
9. 定义新运算：．例如：．则关于x的方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据定义的新运算，得，
，
解得：，，
故选：A．
10. 如图1，这是小明的爸爸购买的添加了便签的2025年台历，图2是它的平面示意图，其中正方形是月历区，正方形是备忘录区，矩形是便签区，已知月历区的面积为，备忘录区的面积为，则便签区的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】正方形是月历区，面积为，
∴，
∵正方形是备忘录区，矩形是便签区，
∴，
∴，
∴便签区的面积为
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题可知，
解得：
故答案为： ．
12. 已知是关于x的一元二次方程，则k的值为__________．
【答案】
【解析】由题意得且，
解得；
故答案为：．
13. 若最简二次根式与可以合并，则x的值为__________．
【答案】4
【解析】由题得，
解得．
故答案为：4．
14. 2025年山西某县举办青少年足球友谊赛，以学校为单位（一个球队代表一个学校），赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排36场比赛，则今年参赛的球队有__________个．
【答案】
【解析】今年参赛球队有个，根据题意得，
解得：（舍去）
则今年参赛的球队有个．
故答案为：．
15. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________．
【答案】
【解析】是方程的一个根，
，即，，
．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
解：（1）
，
（2）
∴，
则或，
解得或
17. 物体在做自由落体运动时，下落时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似地满足公式．小芳认为小球从的高空落地需要的时间是从的高空落地需要的时间的2倍．你认为小芳的想法正确吗？请判断并说明理由．
解：小芳的想法错误．理由如下：
把代入得到
，
把代入得到
，
因为，
所以小芳的想法错误．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程的一个根为，且m为负数，求m的值．
（1）证明：，
，
恒成立，
无论m取何值时，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入得，
解得或，
m为负数，
．
19. 数学课上，老师布置了一道题，小康同学的解答过程如下：
（1）小康同学从第 步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
（1）解：小康同学从第一步开始出现错误．
（2）解：
20. 项目学习
项目背景：“牙膏”是大家非常熟悉的日常生活用品．在手工制作课上，老师围绕“制作的长方体牙膏盒是否能装下牙膏”让同学们展开讨论，形成了如下的活动报告．
根据表格中的数据，说明数学活动小组制作的牙膏盒是否能装下牙膏．
解：牙膏盒的底面对角线长为，，
∴
∴数学活动小组制作的牙膏盒能装下牙膏．
21. 阅读与思考
下面是小悦同学的学习笔记，请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）问题中的“▲”处应填 ．
（2）请将问题中的剩余部分的解答过程补充完整．
（3）当矩形的长为，宽为时，是否存在它的“减半”矩形？若存在，求出“减半”矩形的长与宽；若不存在，请说明理由．
（1）解：当矩形的长与宽分别是 与 时，
这个矩形的周长为
，
它对应的“减半”矩形的周长为，
故答案为：．
（2）解： 矩形是矩形的“减半”矩形，
．
设宽 ，则长 ．
根据题意可列出方程，
解得或（不符合题意，舍去），
，
即矩形中的长为．
（3）解：不存在．理由如下：
假设存在，
当矩形的长为，宽为时，该矩形的面积为，则“减半”矩形的面积为，
该矩形的周长为，则“减半”矩形的周长为，
设“减半”矩形的长和宽分别为和，则有 ：
，
由得：，
代入得：，
整理得，
，
所以，原方程无实数解，
所以，不存在它的“减半”矩形．
22. 综合与实践
随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为．
（1）人行过道的宽是多少米？
（2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位．
①设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？用含的代数式表示
②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？
解：（1）设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵，
∴，
∴．
答：人行过道宽是5米；
（2）①每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位
设每个摊位的月租金上涨元，
∴该夜市可以租出个摊位
② 设月租金记为元，则总月租金为，
由题意可得方程
解得或；
因为尽可能让利于摊主，应取较小的，此时每个摊位的月租金为(元) ．
23. 综合与实践
已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，．
（1）当时，求方程的根．
（2）若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长．
（3）若，且，求的值．
（温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，）
（1）解：∵
∴原方程为：，
可得：
（2）解：∵，，，
∴原方程为：
∵方程的两根为，，且，恰好的两条直角边的长，
∴
∴此的斜边的长为
（3）解：∵，
∴
∴原方程为：
∴
设∴
由根与系数的关系：
∵，代入得：.
∴即
解得：或
∵中，
当时，
∴当时，，
当时，，原方程无实根，舍去，
综上所述，解：原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
项目主题
制作长方体的牙膏盒
驱动任务
判断制作的牙膏盒是否能装下牙膏
活动内容
利用勾股定理等知识进行计算与比较
活动过程
方案说明：
1．图1为某种牙膏的实物图，图2为这种牙膏的平面示意图，其上部为一个圆柱，下部底边可近似看成一条线段，牙膏的上部与下部相连成一个整体；
2．如图3，数学活动小组制作的牙膏盒是长方体，长方体的上、下面是正方形，侧面是长方形，且制作的牙膏盒的高与牙膏的高相等．
数据测量：
1．牙膏盒的底面是一个正方形，正方形的边长为；
2．牙膏上部的直径为，牙膏下部的底边是一条长为的线段．
计算：……
交流展示
……
“减半”矩形
概念理解】
在几何中，矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．这里我们介绍一种图形“减半”矩形．
给定一个矩形，若存在另一个矩形，使它的周长与面积分别是给定矩形的周长与面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形ABCD的周长为，面积为，所以矩形是矩形的“减半”矩形．
【解决问题】
问题1：当矩形的长与宽分别是与时，则它对应的“减半”矩形的周长为▲．
问题2：已知矩形的面积为，矩形是矩形的“减半”矩形，且长比宽多，求矩形中的长．
下面是小悦同学的部分解答过程．
解：矩形是矩形的“减半”矩形，
．
设宽，则长．
根据题意可列出方程……