2024~2025学年山西省晋中市部分学校九年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年山西省晋中市部分学校九年级上学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B、不是二次函数，则B不符合题意；
C、是二次函数，则C符合题意；
D、是一次函数，则D不符合题意；
故选：C．
2. 如图，在中，是边的中点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，点是的中点，
，，
，，
故选：B．
3. 榫卯，是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】这个几何体的左视图为：
故选：C．
4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵，即
∴，，，
∴，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5. 将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到新的函数图象的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度
∵得到新函数图象的表达式是，
故选：D．
6. 已知抛物线，下列结论中，错误的是（ ）
A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】A、抛物线中，，抛物线开口向下，因此A选项正确，不符合题意；
B、由抛物线得，对称轴为直线x=1，因此B选项正确，不符合题意；
C、由抛物线得，抛物线的顶点坐标为，因此C选项错误，符合题意；
D、图象开口向下，对称轴为直线x=1，因此当时，随的增大而减小，因此D选项正确，不符合题意；
故选：C．
7. 如图，的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】如图，过点作的延长线于点，
∴在中，，，
∴．
故选：B．
8. 如图，在小孔成像的实验中，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设蜡烛的高度标记为AB，所成像对应点标注为，与交于点，
由题意可得，
，
蜡烛焰AB是像的一半，
到光屏与到光屏的距离比值为，
设小孔的纸板与光屏之间的水平距为，
根据题意可得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴有小孔的纸板与光屏之间的水平距为，
故选：．
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意；
D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
故选：C．
10. 已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，
当时，，
∴-2,12关于对称轴对称的点坐标为4,12，
∵当且仅当时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 关于的一元二次方程的两个根分别为，则的值为________．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的两个根分别为，
∴根据根与系数的关系得．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，）的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为2，则________．
【答案】
【解析】∵的面积为2，点在反比例函数（为常数，）的图象上，
∴，∴，
∵，∴，
故答案为：．
13. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，连接．若，则的面积为_________．
【答案】2
【解析】如图，连接，交BD于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴的面积为：，
故答案为：2．
14. 《在故宫，看见龙》栏目展示了一系列中国古代文物中的“龙”，晨旭同学用这些图片做成了四个大小一样，背面颜色也一样的卡片．将这些卡片背面朝上，洗匀后，扣在桌面上，随机抽取一张，记下结果后放回，搅匀后再随机抽取一张，她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率是________．
【答案】
【解析】设明嘉靖黄地矾红彩海水云龙纹盖罐，清康熙青花龙纹瓶，明宣德青花矾红彩海水龙纹碗，清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶分别用A、B、C、D表示，画树状图如下：
由树状图可知共有16种等可能性的结果数，其中她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的结果数有1种，
∴她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率为，
故答案为：．
15. 如图，是线段上的一动点（不与点重合），分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是_________．
【答案】
【解析】过作于,过作于，如图，
和是等边三角形，
，，，
设，则，
，
根据勾股定理得，
，
，
，
，
当时，四边形面积的最小值是．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）解方程：．
（2）计算：．
解：（1），
，
∴或，
，；
（2）
．
17. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：h）的函数关系如图所示．其中．
（1）求平均速度关于所用时间的函数表达式，并写出的取值范围．
（2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地，求客车平均速度的取值范围．
解：（1）设与的函数关系式为，将代入中，
∴，解得：，
与的函数表达式为；
∵，
∴将和分别代入中，
得和，
∴，
与的函数表达式为；
（2）当时，(千米/小时)，
当时，(千米/小时)，
客车平均速度的范围为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为（网格中每个小正方形的边长为1）．
（1）以点为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出的位似图形和，使得画出的图形与的相似比为．
（2）在（1）的作图下，连接．
①直接写出四边形的形状．
②求四边形的面积．
解：（1）根据题意得，
∴，
∵点、在第一象限，
∴是AB的中点，是的中点，
∴、，
∵点、在第四象限，
∴点是的中点，是的中点，
∴、，
如图所示：和，为所求：
（2）①如图所示：四边形是菱形，理由如下：
由（1）知，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵，
∴，
∴四边形的面积为．
19. 如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．

（1）请在网格中画出它的左视图和俯视图．
（2）如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加________个同样大小的小正方体．
解：（1）如图所示，该几何体的三视图如下．

（2）根据题意得，在原图形基础上，让该几何体变成一个的长方体，
∴至少需要添加个这样的小正方体，
故答案为：7．
20. 图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图．如图2，表示底座，表示支架杆，表示面板．眼睛望向面板形成一个的俯角（望向面板中心的视线与水平线的夹角），且视线与面板成直角．此时测得，，底座的厚度为，．
（1）填空：_________．
（2）求支架上方边界距离桌面的高度．（结果精确到．参考数据：，）
解：（1）如图，过点作，延长交CD于点，
根据题意，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）过点作于点G，过点作于点H，
由（1）知，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：支架上方边界距离桌面的高度约为．
21. 阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
任务．
（1）请根据上面的步骤，_________．
（2）请类比这种方法，画出图形，并计算的值．
（3）在中，，，请你直接写出的值．
解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）如图所示，
在中，，延长到点D，使得，连接，
则，
，设，则，
故，
；
（3）如图所示，
在中，，取上的点D，使得，连接，
，
，
设，则，
，
则，
．
22. 综合与实践
某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该水杯的单价最高不超过40元．在销售过程中发现，这种水杯的日销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式．
（2）当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）因原材料价格发生变动．该种水杯的进价变为元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值．
解：（1）设与的关系式为，
将代入解析式得，，解得，
与关系式为；
（2）设商家获得的利润为，
∴
，
，，
当时，有最大值，最大值为450，
该商品每天获得的利润的最大值为450元；
（3）由题意得：，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
水杯的单价最高不超过40元，
∴，
在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，
，
解得：，
最小值为30．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积．
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点代入抛物线中，
得：，解得：
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M，
抛物线中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为，
此时，的面积为；
（3）∵抛物线的对称轴为，
设，
∴，
①当时，
则，
解得：，
此时，三点共线，不存在；
②当时，
则，
解得：，
∴点的坐标为或；
③当时，
则，即，
解得：，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，
设，延长至点，使得，连接，
易知，所以．