山西省晋中市寿阳县2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份山西省晋中市寿阳县2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：B．
2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程移项得：x2−4x=1，
配方得：x2−4x+4=5，
即(x−2)2=5．
故选A．
3. 二次函数的最小值是（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】∵＝（x-2）2+1，
∴其图象开口向上，顶点为（2，1）．
∴函数的最小值为1．
故选：A．
4. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
又的半径为3，
∴扇形（阴影部分）的面积为．
故选：D．
5. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】∵点与点关于原点成中心对称，
∴，
，
故选C．
6. 抛物线y＝﹣3x2﹣1是由抛物线y＝﹣3（x+1）2+1怎样平移得到的（ ）
A. 左移1个单位上移2个单位
B. 右移1个单位上移2个单位
C. 左移1个单位下移2个单位
D. 右移1个单位下移2个单位
【答案】D
【解析】由抛物线y＝﹣3（x+1）2+1右移1个单位下移2个单位得到抛物线y＝﹣3x2﹣1．
故选：D．
7. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：．
8. 如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为的内心，
，，
，
，
，
即，
．故选：．
9. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，
∵A与关于BC对称，
∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，∴，
∵对称，∴，∴，
在中，，故选：D．
10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（ ）

A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】∵二次函数的对称轴为，
即，
∴，
∴，故①结论正确；
∵，
∴，
整理得，
则，
∵抛物线开口向下，
∴，
故，，
∴，
故方程一定有两个不相等的实数根，②结论正确；
∵，，
故抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为；
当时，，
故当时，；即③结论正确；
根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为，
故抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，，
∵，，
∴，
∴，故④结论错误；
∵抛物线的对称轴为，
故点关于对称轴的对称点坐标为，
∵抛物线的开口向下，
故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小，
若，
则或，故⑤结论错误；
综上，结论正确的有①②③，有个．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一．如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为______度．（写出一个即可）
【答案】60
【解析】正六边形的中心角是，
∴．
故答案为：60°
12. 将二次函数的图像沿x轴对折后得到的图像解析式______．
【答案】
【解析】∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴函数的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为-，即；
故答案为：．
13. 已知方程和方程的根完全相同，则______．
【答案】
【解析】，
，，
把代入方程得，解得，
解方程方程，解得，，
，
．
故答案为．
14. 一元二次方程的两根为，则________________
【答案】
【解析】∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案为．
15. 有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人．
【答案】
【解析】设每轮传染中平均一个人传染不超过x人，
由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，
解得：x1=11，x2=-13，
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．
故答案为11．
16. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是矩形ABCD内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，则的最小值为___________．
【答案】8
【解析】设点O为的中点，由题意可知，点E在以为直径的半圆O上运动，
作半圆O及线段关于的对称图形（半圆），点O的对称点为，点E的对称点为，
连接，，则，
易知当点D，P，，共线时，的值最小，为的长，
如图所示，
在中，，，
∴
又∵
∴，即的最小值为8
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程．
（1）
（2）
解：（1），
，
∴或，
∴，．
（2）
，．
18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”
解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10，
∴AE=BE=AB =5（寸），
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x
∵DE=1，
∴OE=x-1，
在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2
，
解得：x=13
所以CD=26（寸）．
故答案为CD=26寸．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线函数解析式；
（2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，.若，求的值．
解：（1）∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
设，将代入，得：
，
∴直线的函数解析式为；
（2）∵直线与轴交于点，
∴当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，，
∴当时，，，
∴，
∵，
∴，
解得或．
20. 如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成430平方米的矩形花园?
解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为
（60-x+2）米，依题意列方程得：
（60-x+2）x=300，
x2-62x+600=0，
解这个方程得：x1=12，x2=50，
∵28＜50，
∴x2=50（不合题意，舍去），
∴x=12．
（60-x+2）x=430，
x2-62x+860=0，
解这个方程得：x1=31+ x2=31-，
当 x=31+＞28， 不符合题意，舍去；
当 x=31-＜28， 符合题意，
∴能围成430平方米的矩形花园。
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米;能围成430平方米的矩形花园．
21. 如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：AB＝BH．
证明：连接BE，
∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CB=CE，
∴∠EBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠BEA，
∴∠BEA=∠BEC，
在△EAB和△EHB中，，
∴△EAB≌△EHB(AAS)，
∴AB=BH．
22. 已知，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为，且满足，求m的值．
解：（1）根据题意得：△，
，
，
．
（2）根据题意得：，．
∵，
解并检验得：，（不合题意，舍去），
的值为．
23. 如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的长（结果保留）．
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又为的半径，
∴为切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长．
24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？
（3）若是倍根方程，求的值．
解：（1）在方程①中，
解得：，
，
方程为“倍根方程”，
在方程②中，
解得：，
，
方程不“倍根方程”，
在方程③中，
解得：，
，
方程为“倍根方程”，
是倍根方程的是①③．
故答案：①③．
（2）∵方程是“倍根方程”，
∴可设方程的两根为和，
则，，
∴，，
∴，
∴；
（3）整理得：，
是倍根方程，
，
，即，
，
或，
或，
的值为4或1，
故答案为：4或1．
25. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．

（1）请求出该抛物线的函数解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上一点，设点D横坐标为m．
①如图2，连接，，，当面积为4时，求点D的坐标；
②如图3，连接，将线段绕O点顺时针旋转，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值及此时点D的坐标．
（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C，当时，；当时，；
∴点A坐标为，点C坐标为，
∵抛物线过A、C两点，
将A、C两点坐标带入得：，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，
解得：，，
∴B点坐标为，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点D作轴交于P，

设点D横坐标为m，则，，
∴，
∵面积为4，
∴，
解得：，
∴；
②如图，过点D作于点H，交y轴于点G，
∴，

由旋转得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设点D横坐标为m，则，
∴，，
∴，，
又∵点D在第二象限，绕点O顺时针旋转得，
∴点E在第一象限．
∴点E坐标为，
∵轴交直线于点F，
∴点F的纵坐标与点E纵坐标相等，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得,
∴直线的解析式为，
将F点纵坐标代入得，
解得，
∴F点坐标为，
∴，
∴当时，最大，最大值为3，
当时，，
∴点D的坐标为，
∴线段的最大值为3，此时点D的坐标为．