山西省运城市2025-2026学年九年级上学期第一次测试数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市2025-2026学年九年级上学期第一次测试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误；
B、形式是一元二次方程，但二次项系数a没有标注不等于0，选项错误；
C、符合一元二次方程定义．正确．
D、含有两个未知数，选项错误．
故选C．
2. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
在方程两边同时除以，得：，即，
配方，得：，
即．
故选：D．
3. 菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】菱形和矩形都具有性质是对角线互相平分，故选：A．
4. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】A
【解析】根据题意得: ,
计算得出:n=20, 故选A.
5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
6. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为（ ）
A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：B．
7. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
故选∶D．
8. 在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，交于点O．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（ ）
A. 互相垂直平分B. 互相平分且相等
C. 互相垂直且相等D. 互相垂直平分且相等
【答案】A
【解析】∵点E，F，G，H分别是边的中点，如图，
∴，
∴，
∵四边形的对角线相等，即，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
即线段与互相垂直平分，
故选：A．
9. 今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱、洗衣机、电视、空调等8类家电商品．某地出台最高补贴标准为每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过1000元）．马老师购买某品牌的全自动洗衣机一件，享受最高补贴后实际支付了2916元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设这个百分率为，根据题意得：
，
故选：C．
10. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，，的延长线交于点M，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④
【答案】C
【解析】四边形是正方形，
，
E、F分别是，的中点，
在与中，
，故①正确；
，故②正确；
点E是的中点，
是斜边的中线，
，故③正确；
不是等边三角形，
，故④错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共15个小题，每小题3分，共15分）
11. 构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为．这个一元二次方程可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据题意得：这个一元二次方程可以是．
故答案为：（答案不唯一）
12. 根据下表对应值：
判断方程的一个解为________．
【答案】（或）
【解析】由表可知，当时，，
是的一个解，
点是抛物线与x轴的一个交点，
与时，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即，
是的另一个解；
故答案为：（或）．
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
14. 为迎接杭州亚运会，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），其余部分铺设草坪，草坪的总面积为560平方米，根据题意列出的方程为_______．

【答案】
【解析】根据题意，得，
故答案为：．
15. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 用适当的方法解方程：
（1）
（2）
（1）解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
17. 下面是小颖同学解一元次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x2-3x﹣5＝0．
解：2x2﹣3x﹣5＝0．
，第一步
，第二步
第三步
x﹣第四步
x﹣或x﹣第五步
x1＝，x2＝﹣1．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是 ；
A．直接开平方法
B．因式分解法
C．配方法
D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是 ；
任务二：请你用“公式法“解该方程．
解：任务一：①小颖解方程的方法是配方法，
故答案为：C；
②解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式），
故答案为：等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式）；
任务二：
解方程：2x2-3x-5=0，
∵a=2，b=-3，c=-5，
∴b2-4ac=（-3）2-4×2×（-5）=49＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=-1．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长．
（1）证明：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得，，
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为1，3，3，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴的周长为；
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为3，3，5，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴的周长为；
综上可知，的周长为或．
19. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D，点P在何处时，矩形的面积为1？
解：在中，当时，，
当时，，
∴，
∵点P在线段上（不与点A、B重合）
∴可设点P的坐标为，
∵，
∴，
∵矩形面积为1，∴，
∴，解得或，均符合题意，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，点P的坐标为或，
20. 一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格将上涨元．那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利元？
解：设储藏个星期出售这批农产品可获利元，
依题意，得：，
解得：，
答：储藏个星期出售这批农产品可获利元．
21. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
（1）解：如图，

（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
22. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查_____名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是_____；
（2）补全条形统计图；
（3）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．
（1）解：本次调查的学生总人数为：24÷40%＝60（名），
则扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，
故答案为：60，90°；
（2）解：D类型人数为60×5%＝3（名），
则B类型人数为60−（24＋15＋3）＝18（名），
补全条形图如下：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为．
23. 综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．
解：（1）四边形是正方形
理由：由旋转可知：，，
又，
四边形是矩形．
∵．
四边形是正方形；
（2）．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
．
四边形是正方形，
，．
，
．
．
∵，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cs∠1=
∴sin∠2= ,cs∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE=．
x
0
1
2
3
4
0