山西省运城市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市2025-2026学年九年级上学期开学摸底考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】∵的方程的一个根是，
∴，
解得 a=，
故选C.
3. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2022年全国生活垃圾无害化处理能力约为4亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2024年提升到约4.4亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，
由题意得：41+x2=4.4．
故选：C．
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【答案】B
【解析】 “射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．
故选择B．
5. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ）
A. 68°B. 64°C. 58°D. 32°
【答案】C
【解析】∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴∠ADC=90°-32°=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
故选：C．
6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，，
在中，，
如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
∴，
∴，
点O为跷跷板的中点，
∴，
是的中位线，
，
故选：D．
7. 如图，在中，为上一点，且，则（ ）
A. 6B. 5C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】扇形的弧长是：，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr，
即：R=4r，
R与r之间的关系是R=4r．
故选：D．
9. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线过点、，
∴抛物线的对称轴为，
又∵抛物线过点，，
∴，
∴抛物线与轴的交点为、，
设抛物线解析式为，
整理得：
又∵二次函数
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
∴当时，，
当时，，
当时，最大值，
∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
∴．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 二次函数的图象的顶点坐标是_______．
【答案】
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故答案：．
12. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为______．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的两根为和，
∴，
故答案为：．
13. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有2000个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，则盒子中的黑球约有______个．
【答案】
【解析】由图象可知通过大量实验“摸出黑球”的概率稳定在0.2，
所以从布袋中“摸出黑球”的概率约为0.2；
则布袋中的黑球约有（个）
故答案为：．
14. 某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 _____个．
【答案】6
【解析】综合主视图，俯视图，左视图，底层有4个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是个．分布如下：
故答案为：6．
15. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径画圆，将绕点逆时针旋转得到，使得与轴相切，则的度数是____．
【答案】或
【解析】∵，将绕点逆时针旋转得到
∴A在以O为圆心，为半径的圆上运动，
当A转到时，，作轴于点B，
∵半径为1，与轴相切，
∴，
由勾股定理可得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，，即旋转角度为；
当A转到时，，作轴于点C，
∵半径为1，与轴相切，
∴，
由勾股定理可得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，，即旋转角度为；
故答案为：，
三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程：．
解：，
，
，
，
，
解得．
17. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
（1）证明：∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，则，
解得，
故该方程的另一个根为2．
18. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为．
（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（2）若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由．
（1）解：树状图如下：
此游戏共有6种结果．
（2）解：不公平，理由如下：
根据树状图可知：
共有2种结果；
共有3种结果；
∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为；
小刚胜的概率大；
∴游戏的规则对双方不公平．
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，为的直径，为弦，点在外，，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
（1）证明：如图，连接，记，，
为的直径，为弦，
，．
，
，
∵，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，，，，
，
，
在中，，，，
，
．
20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
21. 如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集．
解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴，即，
解得：DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝4，
∴D点坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y1＝得，k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）由（1）知，点D的坐标为（4，2）；
对于，当y＝6时，即6＝，解得x＝，故点E（，6）；
从函数图象看，＜k2x+b时，x的取值范围为＜x＜4，
故不等式＜k2x+b的解集为＜x＜4．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 在中，．
（1）特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：；
（2）探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度．
（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，证明如下：
由旋转可知，，
∵，，∴，
∴；
（3）解：如图，把线段绕点逆时针旋转至，连接，
则，，
∴， ，
∴，
∵，∴，
∴，，，
∴，
∵ ，
∴．
23. 如图，抛物线y=x2-2mx+3m与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求该拋物线解析式；
（2）点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标；
（3）若点为线段上一动点，试求AE+22EC的最小值．
解：（1）把点的坐标代入抛物线表达式y=x2-2mx+3m，
得：，
解得：，
故该抛物线的解析式为：；
（2）过点作轴的垂线，交轴于点.
设：点的坐标为(t,t2+2t-3)，
当时，，
解得：，，
即：，，
∴，，
∵点，
∴，
∵∠DAB=∠ACO，
∴tan∠DAB=tan∠ACO，
即：DHAH=AOCO，t2+2t-31-t=13，
解得：t=-103或，
∵点D第二象限内，
∴t=-103，舍去，
当t=-103时，t2+2t-3=-1032+2×-103-3=139，
∴点的坐标为-103,139；
（3）过点作，交于点；
当三点共线时，AE+22EC的值最小，
由（）可知，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
则EC=OC-OE=3-1=2，
AE=OA2+OE2=12+12=2，
∴AE+22EC=2+22×2=22，
AE+22EC的最小值．
…
…
…
…