2025年高二下学期数学期末押题卷（一）解析版-A4

这是一份2025年高二下学期数学期末押题卷（一）解析版-A4，共17页。试卷主要包含了已知数列为等差数列，且，则等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．33B．44C．66D．88
【答案】B
【分析】将用和表示，计算出的值，再由得的值.
【详解】依题意，是等差数列，设其公差为，由，
所以，即，
故选：B.
2．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A．B．945C．2835D．
【答案】D
【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解.
【详解】令，得，得，
则的展开式的通项，
令，得，则，故展开式中的系数为，
故选：D．
3．某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）（参考数据:若，则
A．134B．120C．116D．110
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性计算得解.
【详解】依题意，，
显然，
所以等级分数线大概为分.
故选：D
4．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．在处的切线的斜率大于0B．是函数的极值
C．在区间上不单调D．是函数的最小值
【答案】A
【分析】根据的图像分析的单调性和最值，即可判断BCD；对于A：根据导数的几何意义分析判断.
【详解】由图象可知：当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则为的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误；
对于A：可知，即在处的切线的斜率大于0，故A正确；
故选：A.
5．若将文盲定义为0，半文盲定义为1，小学定义为2，初中定义为3，职中定义为4，高中定义为5，大专定义为6，大学本科定义为7，硕士及以上学历定义为8，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入（单位：万元）的关系如下表：
由回归分析，回归直线方程的斜率，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为（ ）
A．1.40万元B．1.42万元
C．1.44万元D．1.46万元
【答案】D
【分析】求出样本中心，根据回归直线过样本中心点即可求得回归方程，再将带入回归方程即可得解.
【详解】由题可设回归直线方程为，
又，
所以，故，
所以当时，.
故选：D.
6．已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设相应事件，根据独立事件概率乘法公式求，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A，
“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B，
则，
所以.
故选：B.
7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为在区间恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得在恒成立，即恒成立，
设，则，所以，
所以在单调递减，所以.
故选：B．
8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.
【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为.
同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为.
所以每一轮甲得分低于3分的概率为．
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.
则，.
事件可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为；
②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为.
所以，
所以.
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知离散型随机变量的分布列如下表所示:
则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.
【详解】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确，
对于选项C，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以选项D正确，
故选：BCD.
10．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性.
【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；
对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．已知函数，其中实数，，且，则（ ）
A．当时，没有极值点
B．当有且仅有3个零点时，
C．当时，为奇函数
D．当时，过点作曲线的切线有且只有1条
【答案】BCD
【分析】对A，直接代入求导即可得到其极值点；对B，求导得到的单调性，再根据其零点个数得到不等式组，解出即可；对C，代入，化简即可；对D，设切点，求出切线方程，代入，再转化得，转化为直线与的交点个数问题.
【详解】对A，当时，，
则，当时，，
当或时，，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A错误；
对B，当时，，
当，，当或时，，
即在上单调递减，在和上单调递增.
当有且仅有3个零点时，且得，
得，故B正确；
对C，当时，，
，
设，定义域为，且，
所以为奇函数，选项C正确；
对D，，不在曲线上.
设过点的曲线切线的切点为，，
过点的曲线切线的方程为，
又点在的切线上，有，
即，设，，
当或时，单调递减，
当时，单调递增，
则，，
，根据图象知与只有一个交点，选项D正确.
故选；BCD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将代入切线方程得，最后转化为直线与函数的交点个数问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在等比数列中，，，则 ．
【答案】31
【分析】设，则，
利用等比数列的性质进行求解，
【详解】设，则
，
所以．
故答案为：31
13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种．
【答案】14
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，有种安排方法，
②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况，
则有种安排方法，
故答案为：14
14．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.
【详解】的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．
(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）
(2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，．
【答案】(1)159；
(2)分布列见解析，期望为19.5.
【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果；
（2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得，
因此，
所以估计初试成绩不低于的人数为人.
（2）的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为.
16．高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的名学生，其中男生占调查人数的，已知男生有的人选了物理，而女生有的人选物理.
(1)完成下列列联表：
(2)若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
(3)从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率.
附：
【答案】(1)列联表见解析
(2)120
(3)
【分析】（1）根据题意求出列联表中的数据即可；
（2）根据卡方公式得，则，解出即可；
（3）事件表示“2人性别恰好相同”，事件表示“2人性别相同且是女生”，根据条件概率的计算方法即可得到答案.
【详解】（1）依题意得，被调查的男生人数为，其中有的男生选物理；
被调查的女生人数为，其中有的女生选物理；
则列联表如下：
（2）由列联表数据，得.
要使在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，
则，解得，又且，所以，
即本次被调查的人数至少是120.
（3）设事件表示“2人性别恰好相同”，事件表示“2人性别相同且是女生”；
事件包含的基本事件数为，
事件含的基本事件数为，
所求的条件概率为.
17．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
18．四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数）
(2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值．
参考数据：．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
因为
，
同理，
所以
所以总样本的平均数为，方差．
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
且，则，，
所以，
，
，
则的分布列为：
数学期望．
19．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：函数在区间内有且只有一个极值点；
(3)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导得，再求出，从而得到切线方程；
（2）求导得，利用隐零点法即可证明；
（3）令，则，得到，再令，同样求导得，则，则原不等式即证明.
【详解】（1）的定义域为，且.
因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）.
当时，因为和都是增函数，
所以是增函数.
又因为，
所以，使得.
当时，：当时，.
于是，在上单调递减，在上单调递增.
因此，在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点.
（3）令，则.
当时，：当时，.
于是，在上单调递减，在上单调递增.
因此，.
令，则，
当且仅当时取等号.
于是，是增函数.
因此，当时，.
综上，，即.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造两函数和得到，，再相加即可得到原题不等式.
学历
初中
职中
高中
大专
本科
教育级别
3
4
5
6
7
月均纯收入
0.40
0.55
0.70
1.15
1.20
0
1
2
物理
历史
总计
男生
女生
总计
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
物理
历史
总计
男生
女生
总计
X
0
1
2
P