2025年高二下学期数学期末押题卷（二） 解析版-A4

这是一份2025年高二下学期数学期末押题卷（二） 解析版-A4，共15页。试卷主要包含了设某商场今年上半年月销售额，已知函数，若在上单调递减，若，则等内容，欢迎下载使用。
单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（ ）
A．11B．16C．D．
【答案】A
【分析】根据等比数列前n项和公式求解.
【详解】根据题意，.
故选：A
2．设某商场今年上半年月销售额（万元）关于月份…的经验回归方程为，已知上半年的总销售额为万元，则该商场月份销售额预计为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将的值代入可得，再代入12可得答案.
【详解】由已知数据可得，
因为经验回归方程经过样本的中心点，
所以，解得,
则经验回归方程为.
所以，该商场月份销售额预计为.
故选：C.
3．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．36D．18
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】在等比数列中，，则，
所以，所以，
所以，
则.
故选：C
4．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（ ）
（附：，，）
A．AB．BC．CD．D
【答案】A
【分析】根据正态分布的性质即可求解.
【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，，
由于等级的概率之和为，
所以
，而即
故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级，
故105分为A等级．
故选：A.
5．已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求导根据函数的单调性得，分离常数，结合令在单调递增，解出答案.
【详解】由，得，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即，得在上恒成立，
令，易得在单调递增，
所以，即，所以．
故选：B.
6．若，则（ ）
A．4048B．C．1D．
【答案】D
【分析】通过赋值法令即可求解.
【详解】的展开式的通项公式为，
结合，知均为负值，
，
令，得，
故，
故选：D.
7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．五位二进制数与出现的概率相同
【答案】D
【分析】依题意可得，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可.
【详解】由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为或，且每个数位上的数字互不影响，
故的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且的取值表示出现的次数，由二项分布的定义，可得，
故，故A错误；
因为，所以，故B错误；
，故C错误，
五位二进制数与出现的概率均为，故D正确．
故选：D．
8．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.
【详解】根据指数函数性质在上单调递增，
故当时，则在上单调递增，
，
根据零点存在定理，在存在唯一零点，
则当时，无零点
时，，
令，则，时，则；
在上单调递减，在上单调递增，
于是时，有最小值
依题意，，解得，所以最小整数为
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（ ）
A．被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为
B．被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为
C．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法
D．如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法
【答案】AC
【分析】先求出从9人中任意选4人，共种，再分别求出被选中的4人中恰有1名高一学生和被选中的4人中恰有1名高二学生的方法数，利用古典概率的求法，可判断选项A、B；如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，分甲和乙都不入选，和甲乙恰有1人入选两种情况求解，判断C、D.
【详解】被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为，A正确；
被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为，B错误；
如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，
包含两种情况，第一种情况，甲和乙都不入选，有种；
第二种情况，甲乙恰有1人入选，有种选法，
则如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，
共有种选法，C正确，D错误．
故选：AC
10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件B．
C．D．
【答案】AB
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
11．微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则（为常数）
C．是函数的极值点
D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】代入计算判断A；利用复合函数求导法则求导判断B；求出函数。利用导数探讨单调性判断CD.
【详解】对于A，由，当时，，而，则，A正确；
对于B，，且（为常数），B正确；
对于CD，由选项B知，，又，则，
，求导得，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递减，无极值点，C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，所有项的系数和为 .
【答案】
【分析】令计算可得.
【详解】令，可得所有项的系数和为.
故答案为：
13．有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】先算2名老师都不站在两端的站法；再算站3名学生的站法，结合分步乘法计数原理解得答案.
【详解】2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法，
故不同的站法共有种．
故答案为：.
14．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ．
（参考公式：决定系数，参考数据：）；
【答案】
【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数.
【详解】由，将两边同时取对数可得，
令，由最小二乘法得经验回归方程为，
所以，
又
，
所以．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据的关系由：求解即可；
（2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.
【详解】（1）当时，.
当时，，
当时，也符合.
综上，.
（2）由
则
，
故的前项和.
16．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若恒成立，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义分析判断；
（2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）由题意可得不合题意，当时，由（2）可得，所以将问题转化为，构造函数，利用导数求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以，即切点坐标为，切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）由题意得：的定义域为，
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，令，解得：，
所以当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间，
时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）当时，，不合题意，
当时，由（2）知，
则，
令，则，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
实数的取值集合为
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
17．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．
(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．
参考公式：，．
附表：
【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关
(2)分布列见解析，期望值为2.5分
【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；
（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.
【详解】（1）
假设: 此次竞赛成绩与性别无关.
,
所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）p,
P(X=0)=
P(X=5)=,
P(X=10)=,
X的分布列为：
期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）
18．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）对求导，然后对分类讨论即可求出的单调区间；
（2）根据的单调性，得出，必有，即，构造，求导，得出在上单调递增，故由得，接下来验证当时的零点情况即可.
【详解】解：（1）的定义域为，
因为，
若，则，则在单调递增；
若，则当时，，当时，，
则在单调递减，则单调递增；
（2）由（1）可知，要使有两个零点，则，
则，即，
构造，则，故在上单调递增，
又，故当时，，故由得，
当时，由，则
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
构造，，则，
故在单调递减，又，故，即，
则，故，
则，则，又，
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
综上，当有两个零点时，.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题.
19．甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 与 ；
(2)设 ，求证：数列是等比数列；
(3)求 的数学期望 （用 表示）.
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求；
（2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列；
（3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到.
【详解】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则，
为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则.
（2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个、0个3种情况，所以
是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以，
从而数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（3）由（2）知，即，，
的取值范围为，所以
【点睛】思路点睛：找、与、的关系，结合（1）中、的求解思路，进行次操作后甲口袋中黑球的个数与进行n次操作后甲口袋中黑球的个数的关系，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个、0个黑球3种情况，求分进行n次操作后甲口袋中有2个、1个黑球2种情况，利用全概率公式求得、与、的关系，进而由递推公式得到表达式.
成绩
人数
5
10
15
25
20
20
5
优秀
非优秀
合计
男
10
女
35
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
优秀
非优秀
合计
男
10
40
50
女
15
35
50
合计
25
75
100
X
0
5
10
P