2025年高二下学期数学期末押题卷（三） 解析版-A4

这是一份2025年高二下学期数学期末押题卷（三） 解析版-A4，共16页。试卷主要包含了已知，则的值为，已知数列满足，，，则，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.
【详解】成等差数列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或.
故选：C.
2．2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900B．600C．450D．150
【答案】C
【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可.
【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，
所以可以分成1，2，3或2，2，2两类，
当6人分成1，2，3三组，有种分法，
当6人分成2，2，2三组，有种分法，
所以不同的安排方法种数为种，
故选：C
3．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，
每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件，
则，
，则.
故选：D．
4．若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】先求导函数，再分类讨论大小根据极值点求参数.
【详解】因为若为函数的极大值点,
所以,
,
当,单调递减，单调递增,
所以是的极大值点符合题意；
当时，
当即,单调递增,单调递减，
所以是的极大值点符合题意；
当即,单调递增,单调递减，
所以是的极小值点不符合题意；
当即,单调递增,无极值点不符合题意.
故或.
故选：C.
5．已知，则的值为（ ）
A．255B．256C．511D．512
【答案】A
【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可.
【详解】令，得，
令，得，
令，得，
两式相加得，
得，
则.
故选：A.
6．甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．事件，，是两两互斥的事件B．事件与事件为相互独立事件
C．D．
【答案】B
【分析】由互斥事件，互相独立事件的概念以及条件概率的计算公式逐项判断即可.
【详解】由题意可得，，，
显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确；
，故D正确；
，，
所以，故事件与事件不是相互独立事件，故B错误；
，故C正确；
故选：B.
7．已知数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得.
【详解】，即，
可得，又，
即有数列是首项为1，公差为4的等差数列，
可得，
即.
故选：D.
8．已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令可得或（舍），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，故，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD.
【详解】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量的方差，则
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D．若随机变量服从二项分布，则的分布列可表示为，
【答案】BC
【分析】利用随机变量的线性关系：，正态分布的概率性质，超几何分布的期望公式，二项分布的概率计算公式，就能解决各选项问题.
【详解】对于A，由方差性质可知：，所以A是错误的；
对于B，由于的均值是，所以,
又因为，所以，
则，所以B是正确的；
对于C，由于服从超几何分布，所以，所以C是正确的；
对于D，由于服从二项分布，所以，所以D是错误的；
故选：BC.
11．甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确.
【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为，
不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，
对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确；
对于B，易知随机变量的所有可能取值为；
当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得
，
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得
；
当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得
，
随机变量的分布列为
所以期望值，
可得，即，可得B正确；
对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量的分布列可得结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ．
【答案】
【分析】根据等差前项和的性质即可结合等差中项求解.
【详解】．
故答案为：
13．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 种．
【答案】72
【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果.
【详解】根据题意按照的顺序分5步进行涂色，
第一步，点的涂色有种，
第二步，点的颜色与不同，其涂色有种，
第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种，
第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择；
第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择；
根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种.
故答案为：72
14．已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果.
【详解】由题意得，，故，
取，，，
当，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
为函数的极值点，满足要求，故，
所以即在上恒成立，
只需在上恒成立；
令，则，令，解得；
当时，，可知在上单调递减；
当时，，可知在上单调递增；
所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点，
故，即，
即只需即可.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数；
(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：
根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，，，
参考数据： .
【答案】(1)；37
(2)不能
【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论；
（2）根据题给数据分析列联表求解得出结论
【详解】（1）由表中的数据可知，，
，
，，
不满意人数与月份之间的回归直线方程为，
当时，
预测该小区10月份对这款不满意人数为37；
（2）提出假设：是否使用这款与性别无关，
由表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，我们不能推断不成立，
即不能认为使用这款与性别有关.
16．已知，为常数.
(1)若，求在上的单调区间；
(2)若，在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）求导，利用导数分析的单调区间；
（2）求导，分析可知，则在上单调递减，进而可得最值，列式求解即可.
【详解】（1）若，则，可得，
且，令，可得；令，可得；
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意可得：，
若，，则，可得，
可知在上单调递减，
则在上的最小值为，解得.
17．已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为．
(1)求；
(2)记，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得，即可求；
（2）先令，则，再令，则即可求解.
【详解】（1）由题意，二项式的通项公式为，
根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得
，即，
解得.
（2）由（1）可知，
令，则，
令，则，
则.
18．学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
(3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)13个工时
【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；
（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
；
（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
19．已知函数，.
(1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；
（2）构造函数，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程的实数根的个数.
【详解】（1），则有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
则当时，恒成立，
故在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即有，故；
（2）当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下：
当时，令，即，
令，则，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故存在，，使，
由，故是方程的一个根，
则，，又时，，
故存在，使，即是方程的一个根，
存在，使，即是方程的一个根，
综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根.
0
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2
3
4
月份
1
2
3
4
5
不满意的人数
120
105
100
95
80
使用
不使用
女性
48
12
男性
22
18
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
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2