2025年高一下学期数学期末押题卷（二） 原卷版-A4

这是一份2025年高一下学期数学期末押题卷（二） 原卷版-A4，共6页。试卷主要包含了若复数，则的模为，在平行四边形中，点满足，则，若，则等内容，欢迎下载使用。
单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则的模为（ ）
A．2B．C．3D．
2．在平行四边形中，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
5．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）
A．互斥B．包含C．互为对立D．相互独立
6．已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ）
A．32，90B．32，92C．30，90D．30，92
7．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
8．已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（ ）
A．B．
C．与是互斥事件D．与相互独立
10．中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则面积的最大值为
C．不可能为锐角三角形
D．若为的外心，则
11．如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，平面经过点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．
D．二面角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 ．
13．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为 .
14．如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终为四棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面所在四边形的面积为定值；
④棱始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知向量，满足，，与的夹角为．
(1)求；
(2)，，求的值；
(3)若在方向上的投影向量为，求的最小值．
16．如图，在四棱锥中，，，是的中点．
(1)证明：平面．
(2)若平面，，求三棱锥的体积．
17．某快捷超市计划通过停车收费推动快速购物进而提升顾客流量，在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了100个停车时间的数据（单位：），按分成5组，其频率分布直方图如下.
(1)如果该超市计划奖励的快速购物顾客不收取其停车费，那么应该允许免费停车多长时间？
(2)记，其中为样本平均数，为样本标准差.如果该超市计划对停车时长超过的客户征收更高的停车费，求（精确到个位）.（注：假设频率分布直方图中每组数据在组内均匀分布，参考数据：）
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)设点为的费马点，若，求的最小值；
(3)设点为的费马点，，求实数的取值范围.