高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线课后作业题，共8页。试卷主要包含了已知点F，直线l，焦点坐标为的抛物线的标准方程是，经过点P的抛物线的标准方程为等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.已知点F(1,0)，直线l:x=−1，点B是l上的动点。若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
2.(2025山西太原五中月考)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(4,y0)到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A.x=−2 B.x=2 C.y=−2 D.y=2
3.(2025湖北重点高中联考协作体联考)已知抛物线x2=2py(p>0)过点M(4,1)，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
4.(2024黑龙江鸡西十九中期中)焦点坐标为(−1,0)的抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=−2x B.x2=2y C.x2=−4y D.y2=−4x
5.(2025湖南长沙期中)已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点B(4,3)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A.172 B.3 C.25 D.92
6.(2025陕西榆林期中)设P是抛物线y2=8x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点A(4,4)，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二、多选题
7.已知mn≠0，则方程mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系内表示的曲线可能是（ ）
A.椭圆与抛物线 B.双曲线与抛物线 C.两条双曲线 D.椭圆与直线
8.(2024黑龙江哈尔滨德强高级中学月考)经过点P(4,−2)的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2=x B.x2=8y C.x2=−8y D.y2=−8x
9.(2025江苏盐城五校期中联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，AB是经过焦点F的弦，M是线段AB的中点，过点A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN，垂足分别是C,D,N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF,NF,NB,NA，则下列说法正确的是（ ）
A.|MN|=12|AB| B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM=∠QMF
三、填空题
10.已知抛物线x2=4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|=3，则点M到y轴的距离为______。
11.(2025江苏常州田家炳高级中学期中)以双曲线x26−y23=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______。
12.若点P到点(2,0)的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程为______。
四、解答题
13.动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x,y)的轨迹方程。
14.(2025江西南昌期中)将抛物线y2=mx绕坐标原点顺时针旋转90∘之后，正好与抛物线y=2x2重合，求m的值；若进一步，设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以点F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，求y0的取值范围。
15.(2024江苏宿迁沭阳期中)一隧道内设有双行线公路，其截面近似由一长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米。已知行车道的总宽度为8米，即|AB|=8米。
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；
(2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道。
一、单选题
1.答案：D
解析：根据抛物线的定义——平面内到定点与定直线的距离相等（定点不在定直线上）的点的轨迹为抛物线。
已知点F(1,0)（定点），直线l:x=−1（定直线），点M在BF的垂直平分线上，故|MF|=|MB|。
因MB⊥y轴且B在l:x=−1上，|MB|即为M到直线l:x=−1的水平距离，即M到定直线l的距离。
综上，M到定点F的距离等于到定直线l的距离，符合抛物线定义，故点M的轨迹是抛物线。
2.答案：A
解析：抛物线y2=2px(p>0)的核心性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（定义推论）。
焦点坐标为p2,0，准线方程为x=−p2；
点A(4,y0)到焦点的距离为6，故4+p2=6（点到准线的距离为横坐标加p2），解得p=4；
准线方程为x=−42=−2。
3.答案：B
解析：先由抛物线过点求参数p，再确定焦点坐标。
抛物线x2=2py(p>0)过点M(4,1)，代入得42=2p×1，即16=2p，解得p=8；
抛物线x2=2py的焦点在y轴正半轴，坐标为0,p2，代入p=8得焦点(0,4)。
4.答案：D
解析：根据焦点位置确定抛物线标准方程形式：
焦点(−1,0)在x轴负半轴，对应抛物线标准方程为y2=−4cx（c>0，c为焦点到原点的距离）；
此处c=1，故方程为y2=−4×1×x=−4x。
5.答案：C
解析：利用抛物线定义转化距离，结合“两点之间线段最短”求最小值。
抛物线x2=4y的焦点F(0,1)，准线方程为y=−1；
由定义，点P到准线的距离等于|PF|，故所求距离和为|PB|+|PF|；
当P、B、F三点共线时，|PB|+|PF|最小，即|BF|；
计算|BF|=(4−0)2+(3−1)2=16+4=25。
6.答案：C
解析：同理利用抛物线定义转化，结合“点到直线的垂线段最短”求最小值。
抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线方程为x=−2；
由定义，|PF|等于P到准线的距离，故|PA|+|PF|等于|PA|+P到准线的距离；
当P在过A且垂直于准线的直线上时，距离和最小，即A到准线的距离；
计算A(4,4)到准线x=−2的距离为4−(−2)=6。
二、多选题
7.答案：AB
解析：先分析第二个方程的曲线类型，再结合第一个方程判断：
方程mx+ny2=0可整理为y2=−mnx（mn≠0），含y2与x的一次项，必为抛物线；
第一个方程mx2+ny2=1：若m、n同正且不等，为椭圆；若m、n异号，为双曲线；
选项C（两条双曲线）、D（椭圆与直线）均不含抛物线，排除；故正确选项为AB。
8.答案：AC
解析：分抛物线开口方向设方程，代入点P(4,−2)验证：
开口向右（y2=2px,p>0）：代入得(−2)2=2p×4，即4=8p，解得p=12，方程为y2=x（选项A正确）；
开口向下（x2=−2py,p>0）：代入得42=−2p×(−2)，即16=4p，解得p=4，方程为x2=−8y（选项C正确）；
开口向左（y2=−2px,p>0）：代入得4=−8p，p=−12（不符合p>0，排除）；
开口向上（x2=2py,p>0）：代入得16=−4p，p=−4（不符合p>0，排除）。
9.答案：ABD
解析：结合抛物线定义、梯形中位线性质及斜率关系分析：
选项A：AC⊥l、BD⊥l、MN⊥l，M是AB中点，故MN是梯形ACDB的中位线，MN=AC+BD2。由定义AC=AF、BD=BF，故AC+BD=AF+BF=AB，得MN=12|AB|（正确）；
选项B：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则Mx1+x22,y1+y22、N−p2,y1+y22。FN的斜率为y1+y22−p2−p2=−y1+y22p，AB的斜率为y2−y1x2−x1=2py1+y2，两者乘积为−1，故FN⊥AB（正确）；
选项C：Q是MN与抛物线的交点，QyQ22p,y1+y22，结合焦点弦性质y1y2=−p2，计算得MQ≠13MN（错误）；
选项D：由QF=xQ+p2、QM=xM−xQ，代入xM=x1+x22、xQ=yQ22p，结合y1y2=−p2，可证QF=QM，故∠QFM=∠QMF（正确）。
三、填空题
10.答案：22
解析：抛物线x2=4y的焦点F(0,1)，准线y=−1。由定义，|MF|=3即M到准线的距离为3，故yM+1=3（yM为M的纵坐标），解得yM=2。代入抛物线方程得xM2=4×2=8，故M到y轴的距离为|xM|=22。
11.答案：y2=12x
解析：先求双曲线右焦点：双曲线x26−y23=1中，a2=6、b2=3，故c2=a2+b2=9（c=3），右焦点为(3,0)。
抛物线以(3,0)为焦点，开口向右，标准方程为y2=4cx，代入c=3得y2=12x。
12.答案：y2=8x
解析：转化距离条件：点P到(2,0)的距离比到x=−3的距离小1，即P到(2,0)的距离等于到x=−2的距离（将“小1”转化为到左移1个单位的直线距离）。
由抛物线定义，焦点(2,0)、准线x=−2，故方程为y2=4cx=8x（c=2）。
四、解答题
13.解：根据题意列距离关系，分情况化简：
动点M到y轴的距离为|x|，到定点(2,0)的距离为(x−2)2+y2，由条件得：
|x|+2=(x−2)2+y2
当x≥0时：方程化为x+2=(x−2)2+y2，两边平方得：x2+4x+4=x2−4x+4+y2 ⟹ y2=8x
当x0 ⟹ (y0+6)(y0−2)>0
因x02=8y0≥0（抛物线开口向上），故y0>2。
综上，m=−12，y0的取值范围为(2,+∞)。
15.解：先建立坐标系，确定抛物线方程，再计算限制高度及车辆通行情况：
(1) 建立坐标系与抛物线方程：
设隧道截面中，长方形底边AB在x轴上，AB中点为原点O，则A(−4,0)、B(4,0)。
设抛物线顶点为(0,6)（假设总高6米，长方形高4米，抛物线过(±4,4)），方程为x2=−2p(y−6)，代入(4,4)得：
16=−2p(−2) ⟹ p=4
故抛物线方程为x2=−8(y−6)，即y=−x28+6。
计算限制高度：
车辆顶部与隧道顶部的高度差至少0.5米，行车道宽8米（x∈[−4,4]），抛物线在x∈[−4,4]的最低值在x=±4处，y=4。
故限制高度为4−0.5=3.5米。
(2) 判断车辆能否通过：
载重汽车宽3.5米，故车辆边缘对应的x=±1.75（以中线为界）。
代入抛物线方程计算此处隧道高度：
y=−(1.75)28+6=−3.06258+6≈5.617
车辆顶部高度4.2米，高度差为5.617−4.2=1.417>0.5，故该车能安全通过。
综上，(1)车辆通过隧道的限制高度为3.5米；(2)该车能安全通过隧道。