高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练

抛物线及其标准方程同步练习

一、选择题

1. 已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 

A. 3 B. 4 C.  D.

2. 抛物线的焦点坐标是  

A.  B.  C.  D.

3. 已知动点满足方程，则动点M的轨迹是       

A. 抛物线 B. 椭圆
C. 圆 D. 不是上述三种曲线

4. 已知抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（ ）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

5. 若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹是（ ）

A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 轨迹不存在

6. 过抛物线的焦点作两条垂直的弦，则  

A. 2 B. 4 C.  D.

7. 若是抛物线上一点，点F为抛物线的焦点，则 

A.  B.  C.  D.

8. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是   

A. 5 B. 8 C.  D.

9. 顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点的抛物线方程是（ ）

A.  B.
C. 或 D. 或

10. 抛物线的焦点坐标是     

A.  B.  C.  D.

11. 抛物线的准线方程为

A.  B.  C.  D.

12. 对抛物线，下列描述正确的是

A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，焦点为

13. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为  ．

A.  B. 2 C.  D.

14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则   

A.  B.  C. 2 D.

二、填空题

15. 设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若为坐标原点的面积为4，则抛物线的方程为_______________．
16. 己知抛物线，过点作直线l交抛物线于另一点B，Q是线段AB的中点，过Q作与y轴垂直的直线，交抛物线于点C，若点P满足，则的最小值是_______．
17. 已知点，，过A的直线与抛物线相交于P，Q两点．若P为AQ中点，则______．
18. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽______米．
    
     

三、解答题

19. 已知动圆M过点且与直线相切．

Ⅰ求动圆圆心M的轨迹C的方程；

Ⅱ斜率为的直线l经过点且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点N，求的值．
 

20. 已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
    求t，p的值；
    设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且，其中O为坐标原点．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线C：的焦点为F，点为直线l与抛物线C的准线的交点，直线l与抛物线C相交于A，B两点．
    求抛物线C的方程；
    设，求直线l的方程．
    
     
22. 如图，已知椭圆：，抛物线：，点A是椭圆与抛物线的交点．过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M不同于．
    若，求抛物线的焦点坐标；
    若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

答案和解析

1.【答案】A
【解答】
解：抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得：，
的最小值为点F到l：的距离，
的最小值为．
故选A．
2.【答案】D

【解答】

解：抛物线，

，

焦点在y轴正半轴，，

，

焦点坐标为．

3.【答案】A

【解答】

解：由已知得，

它表示点到定点的距离等于M到直线的距离，

由抛物线的定义可得点M的轨迹是抛物线．

故选A．

4.【答案】C
【解答】
解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为，
根据抛物线定义，
，
解得，
点M到x轴的距离为2．
故选C．
5.【答案】B
【解答】
解：因为点P到直线的距离比它到点的距离小1，
所以点P到直线的距离等于它到点的距离，
因此点P的轨迹为抛物线．
故选B．
6.【答案】D
【解答】
解：如图所示，抛物线，可知，
设直线AB的倾斜角为，则CD的倾斜角为，
因为AB、CD都过焦点，设A到准线的距离为d，B到准线的距离为，
由抛物线的性质可得，
，
解得，，
则，
同理可得，
，
故选D．

7.【答案】C
【解答】
解：由题意可知抛物线开口向左，且，
因此抛物线的准线方程为，因此到抛物线准线的距离为，
故．
故选C．
8.【答案】D
【解答】
解：抛物线的焦点为，
圆的圆心为，半径为1，
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，

进而推断出当P，Q，F，E四点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小，
P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小值为：
，
故选D．
9.【答案】D
【解答】解：因为点在第二象限，
所以设抛物线方程为或，
又点在抛物线上，
所以，或，，
从而所求抛物线方程为或
10.【答案】B
【解答】
解：由得 ，焦点在y轴上，
即，
所以抛物线的焦点坐标为．
故选B．
11.【答案】A
【解答】
解：，
抛物线的准线方程为，
即．
故选A ．
12.【答案】A
【解答】解：抛物线方程，化成标准方程形式为，
可得其开口向上，焦点坐标为．
故选A．
13.【答案】C
【解答】

解：如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线的距离d等于点P到焦点的距离．
因此点P到点的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点的距离与点P到点F的距离之和，
其最小值为点到点的距离，则距离之和的最小值为 ．
故选C．
14.【答案】B
【解答】
解：抛物线C：的焦点为，
准线为l：，
设，，M，N到准线的距离分别为，，
由抛物线的定义可知，，
于是．
，
直线MN的斜率为，
，
直线PF的方程为，
将，
代入方程，
并化简得，
，
于是．
故选B．
15.【答案】y2
【解答】

解：抛物线y2的焦点坐标是，

故直线l的方程为，

令，得，

故的面积为，，

故抛物线的方程为y2．
16.【答案】
【解答】
解： 由已知设，，
又，
所以C为PQ的中点，
则，
又，Q为AB的中点，
所以，
因为C，B在抛物线上，
所以
消去得，，
即P的轨迹为直线，
所以的最小值为原点到直线的距离．
故答案为．
17.【答案】

【解析】解：抛物线的焦点为，即B为焦点，准线方程为，
分别作点P，Q到准线的垂线段，垂足分别为点D，C，
由抛物线的定义，可得，，由，，
因为，且P为AQ的中点，
所以PD是的中位线，，
即，
故．
故答案为：．
于基础题．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了抛物线标准方程的应用，属于基础题．
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，则，将其坐标代入，可得，当水面下降2m，得，代入求解，则水面宽为．
【解答】

建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，则，将其坐标代入，得．
．
当水面下降2m，得，将其坐标代入，得，
水面宽 m．
故答案为．

19.【答案】解：Ⅰ由已知可得，点M到点的距离等于点M到直线的距离，
所以点M的轨迹是抛物线．
点P为抛物线的焦点，直线即为抛物线的准线．
设抛物线C的方程为，
所以，
所以，
故动圆圆心M的轨迹C的方程为．
Ⅱ由已知可得直线l的方程为，
记，
由
消去y整理可得．
由韦达定理可得，
所以．
所以AB的中点坐标为．
所以线段AB的中垂线方程为．
令，可得，
所以．
所以．
又由抛物线的定义可知．
所以．
20.【答案】由抛物线定义得，

所以抛物线方程为，

代入点，可解得．
故

设直线AB的方程为

联立消元得：，
则：

由得：，所以：或舍去

即，所以直线AB的方程为，

所以直线AB过定点

21.【答案】解：依题意知，解得，
所以抛物线C的方程为．
设，，则，且设直线l的方程为．
将代入，并整理得，
从而，．
所以，

．
因为，，
所以2
，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
即或．
22.【答案】解：，则，则抛物线的焦点坐标，
由题意可设直线l：，点，
将直线l的方程代入椭圆：得

点M的纵坐标。
将直线l的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当时，等号成立，
的最大值为．