北师大版（2024）八年级上册（2024）2 认识一次函数教学设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）2 认识一次函数教学设计，共29页。教案主要包含了情境导入，复习导入，课堂引入，探究新知，典型例题，变式训练，课堂检测等内容，欢迎下载使用。
新课导入设计
【情境导入】
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
(1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t，l)对应的点．
(2)估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由．
(3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由．
(4)试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式．
教学设计
教学设计
续表
续表
续表
第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数
新课导入设计
【复习导入】
活动内容：复习前面学习的内容，教师提出问题：
问题1：什么是函数？
问题2：函数有哪些表示方式？
问题3：假设你在从家去学校的过程中，以20 km/h的速度行驶，随着行驶时间t的增加，行驶的路程s的增加是“均匀”的吗？你能写出s与t之间的关系式吗？你能不能再举出类似的例子？
教学设计
教学活动
续表
续表
续表
第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数
新课导入设计
【情境导入】
近日，“黄沙”再次肆虐我国多地，引起公众对沙尘天气的关注．植树造林是应对沙尘暴的重要措施．某校计划组织学生进行植树活动，现要去育苗基地购买树苗，由于数量较多，需要基地把树苗运送到植树目的地，育苗基地给出了两种方案：
方案一：基地把树苗运送到植树目的地，按6元/棵的价格支付购买树苗的费用，学校无需支付运费；
方案二：基地把树苗运送到植树目的地，按3.5元/棵的价格支付购买树苗的费用，另外学校需一次性支付运费800元．
(1)若学校购买这种树苗x棵，请分别写出按方案一购买树苗所需的总费用y1(元)和按方案二购买树苗所需的总费用y2(元)(含运费)与x(棵)之间的函数关系式．
(2)假设你是学校的决策者，你认为应该选择哪种方案更加合算？并说明理由．
教学设计
教学活动
续表
续表
续表
燃烧时间t/min
1
2
3
4
5
…
香可燃烧部分的长度l/cm
22.4
21.9
21.4
20.9
20.4
…
课题
第1课时 认识生活中的“均匀”变化的现象
授课人
素养目标
1.能识别生活中“均匀”变化的现象．
2．描述具体是如何“均匀”变化，并写出关系式．
3．会用数学知识表达生活中的“均匀”变化的现象.
教学重点
根据“均匀”变化现象写出关系式.
教学难点
建立数学模型解决实际问题.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.在函数关系中，一个量随着另一个量的变化均匀吗？
2．函数有哪些表达方式？
学生回忆并回答，温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流．
为了激发学生的兴趣，采用生活中熟悉的情境，让学生感受到生活中的数学，又能引出新知识.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
(1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯．每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表．在坐标纸上描出(t，V)对应的点．你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？
时间t/min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
漏水量V/mL
(2)下表是小明通过实验得到的数据．请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出(t，V)对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
时间t/min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
漏水量V/mL
5.5
11.0
16.5
22.0
27.5
33.0
38.5
44.0
49.5
55.0
…
(3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？
(4)你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
学生活动：学生思考，讨论并回答上述问题.
进一步探究：
学生分享各组的实验数据和结果，并交流以下问题：
(1)比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
(2)引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面？
(3)假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化？
根据小明的实验数据，教师引导学生作出总结：时间每增加1 min，漏水量增加5.5 mL.也就是说，随着时间的增加，水龙头漏水量在“均匀”地增加.
所谓“均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的．
通过具体的实验操作，把整个探索过程交给学生完成，教师只作为一个协助者，让学生思考、讨论，从而感受什么是“均匀”变化，以及均匀变化用表格、图象、关系式分别怎么体现.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 一蓄水池中装有40 m3水，按一定的速度放水，水池里的水量y(m3)与放水时间t(min)满足如下关系：
放水时间t/min
1
2
3
4
…
水池中的水量y/m3
38
36
34
32
…
(1)在平面直角坐标系中描出(t，y)对应的点.
(2)估计8 min后水池内的水量，并说明理由.
(3)试着写出水池里的水量y与放水时间t之间的关系式.
(4)估计多长时间水池中的水全部放完.
解：(1)图略.
(2)由表中数据可知，时间每增加1 min，水池中的水量减少2 m3，所以8 min后水池内的水量为24 m3.
(3)y与t之间的关系式为y＝40－2t.
(4)20 min.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
【变式训练】
一个水库的水位在最近5 h内持续上涨．下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
t/h
0
1
2
3
4
5
y/m
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，由此你能发现水位变化有什么规律吗？
(2)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将达到多少米.
(3)试写出水位高度y与时间t之间的关系式.
解：(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，如图.
由此可知，这些点在同一条直线上.
水位变化的规律：每经过1 h，水位上涨0.3 m.
(2)若这种上涨规律还会持续2 h，则t＝7，
当t＝7时，y＝0.3×7＋3＝5.1，
∴再过2 h水位高度将达到5.1 m.
(3)水位高度y与时间t之间的关系式为y＝0.3t＋3.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
通过例题和变式训练，让学生巩固知识，加强对“均匀”变化现象的理解.
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1.下列变化过程属于均匀变化的是(C)
A.春天到了，竹笋的生长过程
B.百米赛跑时，运动员从起点到终点的速度随时间的变化
C.车辆以恒定的速度从甲地行驶到乙地时，油箱中剩余油量的变化
D.体育课上，投掷出的铅球飞行高度的变化
2.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度T/℃
－20
－10
0
10
20
30
声速v/(m·s－1)
318
324
330
336
342
348
根据表格所得到的信息，下列说法正确的是(C)
A.声速v不是温度T的函数
B.温度越低，声速越快
C.当温度每升高10 ℃时，声速增加6 m/s
D.声速v与温度T之间的关系式为T＝0.6v
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
3.一蓄水池中最多可以容纳40 m3水，配有两根相同的进水管道，设水池中的水量为y(m3)，进水时间为x(min)，若打开一根进水管道进水，则它们的变化情况如下表：
进水时间x/min
1
2
3
4
5
…
水池中的水量y/m3
1.5
3
4.5
6
a
…
回答下列问题：
(1)当x每增加1，y增加的值为1.5，表格中a＝7.5.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出(x，y)对应的点，并写出此时y与x之间的关系式.
(3)若同时打开两根进水管，请在平面直角坐标系中描出此时(x，y)对应的点，并写出此时y与x之间的关系式.
(4)观察发现，打开一根进水管与同时打开两根进水管，对于图象有什么影响？
解：(2)y＝1.5x.
(3)y＝3x.
(4)同时打开两根进水管时，图象更陡一些(言之有理即可).
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2.布置作业：
教材第80页随堂练习.
巩固提高，形成体系.
板书设计
第1课时 认识生活中的“均匀”变化的现象
所谓“均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的．
提纲挈领，重点突出
教学反思
本节课通过具体的实验数据，让学生感受生活中的均匀变化的现象，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界．
反思，更进一步提升.
课题
第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数
授课人
素养目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系，利用一次函数和正比例函数解决实际问题．
2．会建立一次函数模型解决实际问题.
教学重点
1.一次函数、正比例函数的概念．
2．一次函数、正比例函数的关系．
3．会根据已知信息写出一次函数的关系式.
教学难点
一次函数知识的运用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.什么是函数？
2．函数有哪些表示方式？
学生回忆并回答，温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)的关系如下表所示：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
(1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？
(2)写出y与x之间的函数关系式，并说明理由．
为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情境，既能让学生感受生活中的数学，又能引出新知识.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1.小组讨论【课堂引入】中教师提出的弹簧问题.
教师可做如下分析：当不挂物体时，弹簧长度为3 cm，当挂1 kg物体时，弹簧长度增加 0.5 cm，总长度为3.5 cm；增加1 kg物体，即所挂物体为2 kg时，弹簧长度又增加 0.5 cm，总共增加1 cm.由此可见，随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的，所挂物体为x kg时，弹簧长度就增加0.5x cm，则弹簧总长为原长加增加的长度，即y＝3＋0.5x.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
2.某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L.
(1)完成下表：
汽车行驶路程x/km
0
50
100
150
200
250
300
耗油量y/L
(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式吗？
(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式吗？
学生活动：独立思考，有困难再讨论，得出y＝0.08x；z＝40－0.08x.
观察·思考
(1)在上面情境中，我们得到y＝3＋0.5x，y＝0.08x，z＝40－0.08x，它们有什么共同特征？
(2)请你写出一个具有这种特征的关系式.
3.通过观察、探索、总结，归纳出一次函数与正比例函数的概念：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．
经历对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】

例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系.
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
(3)一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y cm.
解：(1)由路程＝速度×时间，得y＝60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
(2)由圆的面积公式，得y＝πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
(3)这棵树每月长高2 cm，x个月长高了2x cm，因而y＝50＋2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动三：开放训练、体现应用
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h.
(1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y＝kt＋b，并说明k和b的实际意义．
(2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01 s)．
解：(1)刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1 s汽车的速度减少35 km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h，所以y与t的关系式是y＝－35t＋120.其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量，b＝120表示刹车开始时汽车的速度．
(2)汽车停止时速度y＝0，解方程0＝－35t＋120，得t＝eq \f(24,7)≈3.43.因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s.
【变式训练】
1．写出下列各题中y与x之间的表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付款y(元)与买笔记本的个数x(个)之间的关系．
(2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，y与x之间的关系．
解：(1)y＝2.5x，既是一次函数，又是正比例函数．
(2)y＝－x＋20，是一次函数，但不是正比例函数．
2．已知在一定温度范围内，声音在空气中传播的速度y(m/s)是气温x(℃)的一次函数，且温度每升高1 ℃，声音在空气中的传播速度增加0.6 m/s，当温度为0 ℃时，声音在空气中传播的速度为331 m/s，设速度y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式为y＝kx＋b.
(1)写出速度y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式．
(2)写出k和b的实际意义．
解：(1)y＝0.6x＋331.
(2)k的实际意义为温度每增加1 ℃时，声音在空气中的传播速度的变化量，b的实际意义为气温为0 ℃时，声音在空气中的传播速度．
师生活动：学生独立思考，分组讨论，教师适时引导．
通过以现实为背景的例题，学生进一步理解一次函数和正比例函数的概念．根据所给的条件写出简单的一次函数表达式，让学生体会数学的广泛应用，发展学生的抽象思维能力，充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动四：课堂检测
【课堂检测】

1.对于函数y＝2x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加(A)
A．2m B．2m－1 C．m D．2m＋1
2．已知一次函数y＝2x＋1，当x＝0时，函数y的值是1．
3．乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/时，则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)的函数表达式是s＝600－58t．
4．李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米，AB边的长为y米．
(1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围．
(2)长方形的宽为5米时，求长方形的长．
解：(1)由题意，得2y＋x＝24，故可得y＝－eq \f(1,2)x＋12(0＜x＜24)．
(2)当y＝5时，x＝14，故长方形的长为14米．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置课堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第82～83页随堂练习第1，2题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数
1．写出实际问题中的函数关系．
2．一次函数、正比例函数的概念．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
通过让学生分析大量具体的实例问题，既能深化学生对一次函数的理解，又能为学生运用一次函数解决问题打下基础．
反思，更进一步提升.
课题
第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数
授课人
素养目标
1.能利用一次函数解决方案选择问题．
2．能利用一次函数解决分段计费问题．
3．会建立函数模型解决实际问题.
教学重点
利用一次函数解决方案选择问题和分段计费问题.
教学难点
利用一次函数解决分段计费问题.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.什么是正比例函数？
2．什么是一次函数？
学生回忆并回答，为本节课的学习提供知识基础.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案(如下表)，且都送货上门．
方案
运费
肥料价格
方案一
12元
3元/kg
方案二
0元
3.6元/kg
若该班购买x千克肥料，按方案一购买的付款总金额为y1元，按方案二购买的付款总金额为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式.
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
以具体情境引入，可以调动学生学习新课的积极性，激发学生的学习热情.
教学步骤
师生活动
设计意图
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
探究1：学生分组讨论，交流，回答【课堂引入】中的问题．
教师提出新问题引导学生进一步探究：
(3)该班购买10千克肥料时，选择哪种方案费用更低？
(4)该班购买多少千克肥料时，两种购买方案费用相同？
学生分组讨论，交流，回答问题．
教师引导学生总结利用一次函数解决方案问题的一般解题步骤及需要注意的点．
探究2：
某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按2元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按3.5元收费．
(1)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，当x>14时，求y与x之间的关系式．
(2)若小名家9月份用水15吨，则9月份水费为多少元？
(3)若小名家10月份交水费49元，求他家10月份用水多少吨．
学生活动：独立思考，有困难再讨论，教师根据学生回答的情况，规范学生的答题规范，师生交流总结分段计费问题中的易错点．
教师提出问题，引发学生进一步思考：上述计费方式有什么意义？设计计费规则时需要注意什么？生活中还有哪些用到类似的计费方法？
培养学生的探究能力，通过一连串设问，引导学生根据实际问题建立数学模型，利用函数模型解决实际问题，提高学生的数学应用能力.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 (教材第83页例3)为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
计费档
户年用水量x/m3
单价/(元/m3)
第一档
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