初中北师大版（2024）第四章 一次函数2 认识一次函数第2课时教案

这是一份初中北师大版（2024）第四章 一次函数2 认识一次函数第2课时教案，共6页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”第二节的第2课时。从课时内容看，本课时通过进一步探究生活中的实际问题，抽象出一次函数模型，进而归纳一次函数和正比例函数的概念；同时，引导学生从关系式中感受一次函数的“均匀”变化，并理解k，b的实际意义。从章节整体来看，本课时是学生掌握一次函数概念，理解k，b的实际意义的关键环节，既承接了前面对函数表示方法及“均匀”变化特征的认知，又为后续深入学习一次函数的图象、性质及应用奠定基础，具有承上启下的重要作用。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过本章第一节的学习，已经可以运用图象法、列表法、关系式法来表示变量之间的变化关系，并进一步理解了函数的概念。在本节第1课时中，通过“水龙头滴漏”“线香可燃烧的时间”等实验，将实验数据列表、描点，并写出其函数关系，感受了函数的几种表示方法之间的相互转换，初步体会了一次函数的“均匀”变化。
学生的活动经验基础：学生学习了一元一次方程，经历了从实际问题中寻求数量关系并建立方程的过程，具备了一定的数学抽象能力。在函数的学习过程中，学生通过图象法、列表法、关系式法表示函数关系，初步感受了变量之间的相互依赖关系。学生经历了从现实到抽象的过程，积累了一些解决实际问题的经验，具备了一定的数学建模能力。同时在前面的数学学习中，学生已多次参与合作学习，积累了一定的合作经验，也具备了相应的合作与交流的能力。
三、教学目标
1.经历归纳一次函数和正比例函数概念的过程，进一步感受一次函数变量之间的“均匀”变化，体会从特殊到一般的数学思想，感知一次函数的意义，发展抽象能力。
2.应用一次函数解决简单实际问题，理解k，b的实际意义，感受一次函数模型在生活中的广泛应用，培养应用意识。
教学重点：一次函数和正比例函数的概念，理解k，b的实际意义。
教学难点：理解k，b的实际意义，及其对一次函数y＝kx+b的影响。
四、教学过程设计
【第一环节】创设情境
1.活动内容
测量问题
在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系见下表：
（1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？
（2）写出y与x之间的关系式，并说明理由。
尝试·思考
某辆汽车油箱中原有汽油40L，汽车每行驶50km耗油4L。
（1）请完成下表。
（2）写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。
（3）写出油箱剩余油量z（单位：L）与汽车行驶路程x之间的关系式。
2.活动目的
以弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系为情境，让学生进一步感受线性关系及对应的关系式，为认识一次函数的概念积累具体经验。
“尝试·思考”中汽车耗油量的问题，通过设计填写表格、列关系式等具体任务，让学生在处理数据的过程中感知变量间的变化规律，同时借助耗油量与行驶路程、剩余油量与行驶路程的关系式，自然渗透正比例函数、一次函数的概念。
3.注意事项
弹簧问题中需鼓励学生通过观察表格中的数据写出y与x的关系式，鼓励学生清晰表述自己的思考过程；汽车耗油问题需鼓励学生根据已知条件（汽车每行驶50km耗油4L）完成表格的填写。
【第二环节】呈现定义
1.活动内容
观察·思考
（1）在上面情境中，我们得到y＝3+0.5x，y＝0.08x，z＝40－0.08x，它们有什么共同的特征？
（2）请你写出一个具有这种特点的关系式。
归纳得出：
如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。
对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系；
（2）圆的面积y（单位：cm²）与它的半径x（单位：cm）之间的关系；
（3）某水池有水15m³，现在打开进水管进水，进水速度为5m³/h，经过x h这个水池内有水y m³。
思考·交流
（1）在例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少？它们的实际意义是什么？
（2）一般地，k，b对一次函数y＝kx + b有怎样的影响？与同伴进行交流。
2.活动目的
“观察·思考”引导学生对前面列出的关系式进行观察与思考，概括并认识列出的关系式的共同特征，为引出一次函数的概念做好准备。总结得到一次函数、正比例函数的概念后，结合前面课时对“均匀”变化的理解，进一步理解k的含义。
例1是一次函数、正比函数的概念辨析问题，旨在帮助学生巩固对一次函数概念的认识。“思考·交流”引导学生体会一次函数表达式中参数k和b的实际意义。
3.注意事项
“观察·思考”环节在教学中结合上一环节得到的关系式，进一步体会关系式的共同特征，以此活动加深对关系式共同特征的认识和理解。在得到一次函数的概念后，可以结合前面弹簧长度、汽车耗油量等例子，进一步理解k的意义。
【第三环节】简单应用
1.活动内容
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y＝kt+b，并说明关系式中k和b的实际意义；
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）。
2.活动目的
结合汽车刹车的具体情境推导一次函数表达式，进一步理解表达式中k和b的实际意义，运用表达式解决问题，为下一小节深入研究一次函数的图象和性质做好铺垫。
3.注意事项
鼓励学生独立完成例题，巩固一次函数的概念及关系式，并能应用一次函数解决简单的问题，加深对一次函数相关特征的认识，培养学生的模型观念。例题难度适宜，能够凸显k和b的实际意义，有助于学生树立应用意识，主动探索一次函数关系式中的k和b的实际意义，使一次函数的学习不再局限于对数学符号的单纯学习，而是成为具有丰富现实承载的学习过程。
【第四环节】总结提升
1.活动内容
结合本节课所学内容，请总结一次函数的定义及特征。
2.活动目的
鼓励学生总结一次函数的定义，以及如何确定k和b的现实意义，帮助学生梳理本节课学习的主要内容。
3.注意事项
由于本节课的主体部分来自学生的实践操作和自主情境创设，学生能很好地完成对一次函数的概念的辨析，以及感知关系式中k和b现实意义。整个课堂以学生学习为主体，也为学生形成正确的概念打好了基础。
【第五环节】布置作业
1.活动内容
基础作业
（1）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y（单位：m/s）与时间x（单位：s）之间的关系；
②周长为10cm的长方形，其面积y（单位：cm2）与该长方形的一边长x（单位：cm）之间的关系。
（2）如图，甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离。
①写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
②当x＝0.5时，求y的值。
选做作业（选择其中一个完成即可）
（1）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子。随着投入围棋子数量的增加（投入的围棋子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。
①不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。
②实际做一做实验，验证你的想法。
（2）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子，随着投入石子数量的增加（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。为了保证水面均匀升高，你认为对石子应该有什么要求？
（3）写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并尝试给写出的两个一次函数补充相应的实际背景。
2.活动目的
分层作业的布置可以满足不同层次学生的需要。
五、教学反思
1.在解决实际问题过程中感知数学概念的来源
数学来源于生活且应用于生活。生活中存在大量的适用一次函数的情境，通过数学抽象与建模，可建立一次函数解决问题。在教学设计中创建情境，让学生在解决实际问题的过程中感知数学概念的来源，比直接让学生学习一个数学概念的效果好得多。学生不仅知其然，更知其所以然，学习自然更加主动，效果也会更加显著。本节课的教学设计紧紧围绕着情境展开，学生既经历了教师创设的情境，又经历了自己创设情境的过程，因此印象更加深刻，学习积极性也更高。
2.反复利用课堂生成的成果，使课堂更加真实自然
本节课的教学设计，以反复利用课堂生成的成果为主体。第一个环节，学生通过实践操作得到表格，接着得到了一次函数的关系式；第二个环节，由学生创设情境，呈现多种一次函数关系式。这些都是课堂上的学生生成性成果，在后继环节中被反复运用，使整个课堂的推进更加自然、真实。学生通过学习概念，并将其应用于解决自己创设的情境问题中，会产生天然的亲切感。这样的课堂，真正调动了学生的学习主动性和积极性，更符合“学生是课堂学习主体”的理念。
3.注意改进的方面
首先，教师在学生进行情境创设时可多加引导，拓宽学生的思维；其次，在学生对概念或应用进行归纳总结时，教师应给予时间让学生能充分讨论、完善归纳；最后，在授课过程中，教师需要发挥引导作用，把控好课堂节奏。
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
行驶路程x/km
0
50
100
150
200
250
300
耗油量y/L