山东省2025年初中学业水平考试模拟(二)数学试题（解析版）

这是一份山东省2025年初中学业水平考试模拟(二)数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
【答案】A
【解析】A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
2. 2024年1月8日，以“家家挂红灯，户户贴春联，村村有好戏——回村过大年”为主题的2024春节山东乡村文化旅游节启动．小明通过观看纪录片对剪纸产生了浓厚的兴趣，下列剪纸图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 2024年1月12日，中国海油发布消息，2023年，国内最大原油生产基地渤海油田累产油气当量超3680万吨，其中原油产量超3400万吨，天然气产量超35亿立方米，创历史最高水平．数据“3400万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】3400万用科学记数法表示为．
故选：A．
4. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据立体几何三视图的特点可知，题设中的俯视图是
故选：．
5. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
7. 如图，在中，，按如下作图：
（1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
（2）分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点P；
（3）作射线交于点D．
根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
；；
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
故①正确；
由题意得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确．
综上所述，正确的有①②③．故选：D．
8. 如图，，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故选：A．
9. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5
【答案】A
【解析】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；
，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，
最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标，
第2024个点的坐标为．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
11. 因式分解：=_______.
【答案】
【解析】
故答案为
12. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】，
等号两边同时乘以，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验，是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为．
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵O为中点，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面积为，
故答案为：．
14. 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为______．
【答案】3
【解析】当时，
变形得，
整理，得，
解得（舍去）．
当时，
变形得，
解得（舍去）．
故答案为：3．
15. 关于抛物线（是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
【答案】①④
【解析】当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确；
∵此抛物线与轴只有一个公共点，
∴方程的有两个相等的实数根，
∴，
解得：，故②错误；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴离对称轴距离越远点的纵坐标越大，
∵点，在抛物线上，且，
∴，故③错误；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标在直线上，
如图，过点A作直线于点B，则点，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确．
故答案为：①④
16. 聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______．
【答案】19
【解析】由所给分子结构图及结构简式可知，
图（1）的分子中含原子的个数为：；
图（2）的分子中含原子的个数为：；
图（3）的分子中含原子的个数为：；
…，
所以图（n）的分子中含原子的个数为个．
由图和图的分子中共含有242个原子，
，
解得，
所以m的值为19．故答案为：19．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. （1）计算：
（2）利用数轴确定不等式组：的解集．
解：（1）

；
（2）
由①得 ，
由②得，
以上解集在数轴上表示如下：

∴不等式组的解集为 ．
18. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）：
，，，，，
随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ；
（2） ，并补全图中的频数分布直方图；
（3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分；
（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
解：（1）“组”所对应的扇形的圆心角是:，
故答案：；
（2），并补全频数分布直方图如图，
故答案为：；
（3）由（）得：，即抽取名学生，
即中位数排在第，位平均数，为，故答案为：；
（4）甲：，乙：，
∵，∴乙将获得“环保之星”称号．
19. 如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在A处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴．
答：大桥的长度约为米．
20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，且，．
（1）点的坐标为______；
（2）求一次函数的解析式及的值；
（3）直接写出当时，关于的不等式的解集．
（1）解：在中，令，得，
∴点D的坐标为，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
，
∵，，
，
，
解得，
由，可得：，
解得，
，，
把分别代入与，即，，
解得：，
一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
（3）解：，
一次函数的图象要在反比例函数图象的上方（不包含临界点），
则由图可知，x的取值范围为．
21. 如图，内接于是的直径，过上的点P作，交的延长线于点D，交于点E，过点B作的切线交于点F．
（1）求证：F是的中点；
（2）若，，求的长．
（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）解：由 （1）得，，，
∴，
又∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
22. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
（1）解：由于抛物线经过点和点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：∵点，对称轴为直线，
∴点，
∵，，
∴长为定值，
作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M，
则，
∴，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点M的坐标为；
（3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，，
∵等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，1为半径的上，
，
当点在线段上时，有最小值为；
当点在射线上时，有最大值为；
∴的取值范围为．
23. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出．
（1）【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长．
（2）【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积．
（1）解：由对折可得：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
∴由等面积法得；
（2）解：如图，过作，而四边形是矩形，
，
四边形为平行四边形，
，
由对折可得：，
，
同（1）可得：，，
，
，
，，
，
；
（3）解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
由折叠可设，则，
由勾股定理得，
，
解得：，
，，
由折叠可得：，，
由 (2) 的结论同理可得：，， ，
， 由勾股定理得，
如图，连接，记，的交点为，

，，，
由勾股定理得，，
结合折叠可得：，
，
同理可得：，
， ，
， ，
，
，
折叠后重叠部分的面积为．