2025年山东省中考数学模拟试题（二）（中考模拟）

这是一份2025年山东省中考数学模拟试题（二）（中考模拟），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法正确的是（ ）
A．2025的绝对值是B．2025的相反数是
C．2025的倒数是D．2025的相反数的绝对值是
2．若，则下列各式不能成立的是（ ）
A．B． C． D．
3．如图，是一种结构简单的长方体中空结构件，则该结构件的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2025年“五一”假期河南接待游客6450.3万人次，旅游收入371.1亿元．数据“371.1亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
5．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（ ）
A．B．C．D．
6．已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
7．025年是抗战胜利80周年，为铭记抗战历史、传承红色精神，七（3）班预开展抗战纪念馆研学活动．现将具有代表性的5个纪念馆分别制成卡片（卡片除正面图案外其余完全相同），并将其背面朝上放置，打乱排序后随机抽取一张，则恰好抽到“太原解放纪念馆”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，M，N分别是BC，BA上的点且，将沿着直线MN对叠，得到，点B落在BA上，对应点为D．设，已知，与重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．哥尼斯堡七桥问题是一条河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来，那么一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点？图1是欧拉解决该问题所画的示意图，其中A，B，C，D四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一笔画问题，即要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边，在图2中，根据以上一笔画问题的规则，不同走法的总数是（ ）
A．6种B．8种C．10种D．12种
二、填空题
11．因式分解： ．
12．已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则 ．
13．如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为 ．

13题图 14题图
14．如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ．
15．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是 ．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）先化简，再求值： ，其中m的值为方程 的解．
17．在中，，，，点D为边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线的对称点E．
(1)小明给出了下面框图中的作法：
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
(2)当点E在边上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接，并求出的长；
(3)连接，当为直角三角形时，求的正切值．
18．某校组织七、八年级学生去曲阜研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表：
①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为个等级：
A．；B．；C．；D．．
②八年级B等级学生成绩为：；
分析数据：
根据以上信息解答下列问题：
(1)补全条形统计图，题中______，表格中______；八年级等级所占圆心角度数为______；
(2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共______人；
(3)请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？
19．“一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红．”夕阳西下的晋阳湖美如画．周末小明和爸爸、妈妈泛舟湖上，尽享惬意时光．
小明在点乘船以的速度向北行驶，同时，小船以的速度向北行驶，行驶过程中，小明作了如下记录：
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________．
(2)若两只小船不改变行驶路线和速度，求这两只小船的运动方向与之间的距离？
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象交于第一象限内的点，点也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线与点D．
(1)求这两个函数的解析式及点D的坐标；
(2)求：的面积；
(3)过反比例函数图象上一点P作直线于点E，过点E作轴于点F，过点P作于点G，记的面积为的面积为，求的值．
21．如图，过菱形的顶点，，，且切⊙于点，的延长线交于点，且与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，若，，求的长．
22．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：．

【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），．
【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______．
【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上．
①试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长．
23．已知二次函数的图象为抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用表示）；
(2)若，在抛物线上，
①若，求证：．
②若抛物线经过，且，，对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为_______．
③若对于任意的，，总有，则的取值范围是_______．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
80
79
45.7
八年级
85
86
32.9
游玩记录
记录一：傍晚7时，小明在点A处测得小船B在他的北偏东方向上；
记录二：傍晚7时10分，小明在C处测得小船B在他的北偏东方向的D处；
记录三：根据气象预报可知：当天下午6时到晚上8时，湖面平静，没有一丝波澜，．
《2025年山东省中考数学模拟试题（二）》参考答案
1．B
【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可．
【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误；
B． 2025的相反数是，故该选项正确；
C． 2025的倒数是，故该选项错误；
D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误．
故选B．
2．D
【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握乘法公式进行整式的混合运算是解题的关键．
根据整式的混合运算法则计算判定即可．
【详解】解：、，，
，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，，
，
，故此选项符合题意；
故选：．
3．D
【分析】本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：长方体中空结构件的俯视图是长方形，中空部分的俯视图也是长方形，里面没有看不到的棱，不需要用虚线表示，D符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：371.1亿，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可．
【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．D
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵
∴解不等式①，得，解不等式,②，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查简单概率的计算，理解概率的意义并掌握计算公式是解题的关键．
简单概率，利用概率公式求解．
【详解】解：5个纪念馆卡片（卡片除正面图案外其余完全相同），并将其背面朝上放置，打乱排序后随机抽取一张，则恰好抽到“太原解放纪念馆”的概率是．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H，
∵六边形是正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴；
故选C．
9．C
【分析】本题主要研究与重叠部分面积和之间的函数关系．需要分情况讨论：当时，重叠部分就是，通过相似三角形和的性质求出的面积表达式，发现是二次函数且抛物线开口向上，随增大而增大，时取得最大值．当时，重叠部分是四边形，其面积通过的面积减去的面积得到．同样利用相似三角形和以及和的性质求出面积表达式，是二次函数且抛物线开口向下，进而确定最大值及函数图象．本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质．解题关键在于根据的取值范围分情况讨论重叠部分的形状，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，进而得到面积表达式，再依据二次函数的系数判断开口方向、求最值，从而确定函数图象．
【详解】解：当时，与重叠部分的面积为的面积．
，即，
解得．
．
，
∴抛物线开口向上．当时，S随x的增大而增大．当时，S有最大值，最大值为4．当时，与重叠部分的面积为四边形AEMN的面积，如图所示．由，则．
，
．
，即，
解得．
．
，
∴抛物线开口向下．当时，S有最大值．观察图象可知只有C符合题意，
故选：C
10．D
【分析】本题考查了列举法，以及对题干规则的理解，根据题意记图2中各顶点为E、F、G、H，分别以E、F、G、H为起点分4种情况讨论，再分别列出其走法，即可解题．
【详解】解：记图2中各顶点为E、F、G、H，
①以E为起点，无法一笔画完；
②以G为起点，无法一笔画完；
③以F为起点，则可按以下顺序一笔画完，
，
，
，
，
，
，
共有6种不同的走法；
④以H为起点，则可按以下顺序一笔画完，
，
，
，
，
，
，
共有6种不同的走法；
综上所述，不同走法的总数是12种．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了平方差公式分解因式；原式变形为两数的平方差的形式，再用平方差公式即可求解．
【详解】解：；
故答案为：．
12．8
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系；把代入，整理得到方程，由根与系数的关系得到，得出，解得即可．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数有两个交点，
∴联立方程得，，
整理得，，
∵是方程两根，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：8．
13．10
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质，证明，设点，从而得到，再将点和代入一次函数解析式，求出、的值，进而得到的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
设点，
，，
，，
，
一次函数的图象经过正方形的顶点和，
，解得：，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分的对应点落在和上，分别画出图形，根据折叠的性质，勾股定理分别求解，即可．
【详解】解：正方形的边长为2，为边的中点，
∴，，
∴
如图，当的对应点落在上时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当落在上时，如图，，
∴，
∴
设，则，
在中，
在中，
∴
解得：
即
综上所述，的长为或
故答案为：或．
15．9901
【分析】根据“23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19”，归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m-1)+1，把m=100代入，计算求值即可．
【详解】解：23＝3+5，且3＝2×1+1，
33＝7+9+11，且7＝3×2+1，
43＝13+15+17+19，且13＝4×3+1，
∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m﹣1)+1，
∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901，
故答案为9901．
【点睛】本题考查了数字类的规律变化，一般按照题中给出的形式写出前几组式子，正确找出数字的变化规律是解题的关键．
16．（1）；（2），1
【分析】本题主要考查了分式化简求值、一元二次方程的解、实数运算、含特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先根据零指数幂运算法则、绝对值的性质、立方根的定义、乘方运算法则以及特殊角的三角函数值进行运算，然后相加减即可；
（2）首先进行括号内的运算，并将除法转化为乘法，再约分，然后进行分式加法运算，根据一元二次方程的解得定义可得，整理可得，之后代入求值即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
：
，
∵m的值为方程 的解，
∴，整理可得，
∴原式
．
17．(1)符合题目要求．理由见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）连接，，，由作图可知 ，，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知是的垂直平分线，所以点与点关于直线对称；
（2）作的角平分线，交于点；以点为圆心，以为半径作弧，交于点；可证，得出，从而可证结论；
（3）当为直角三角形时，分、，三种情况，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：符合题目要求，
理由如下：
如下图所示，连接，，，
由作法可知 ，，
点，均在的垂直平分线上，
垂直平分．
点和点关于直线对称；
（2）解：如下图所示，作的角平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作弧，交于点；
点D，点E即为所求作的点．
，，，
，
点和点关于直线对称，
垂直平分，
，，
，
，
即，
∴；
（3）解：若，
如下图所示，作于点，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
；
若，
如下图所示，作于点，
又，
，
，
，，
，
，
又，
，
；
若，不符合题意，舍去．
综上所述，的正切值为或．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、锐角三角函数、勾股定理，解决本题的关键是根据要求作出图形，再分情况求解．
18．(1)
(2)
(3)八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由见详解
【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本估算总体数量的计算方法，中位数，圆心角的计算，调查数据作决策的方法是关键．
（1）根据八年级组有人，占比为，可得，根据中位数的计算得到的值，根据圆心角度数的计算即可求解；
（2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解；
（3）根据调查数据作决策即可．
【详解】（1）解：八年级组有人，占比为，
∴（人），
∴七、八年级各抽取人，
∴，
八年级组有人，组有人，组有人，组有人，
∴中位数在第位同学成绩的平均数，
八年级等级学生成绩从大到小排序为：，
∴，
八年级等级所占圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：（人），
∴该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约人，
故答案为：；
（3）解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下，
∵七年级的中位数小于八年级的中位数，七年级的方差大于八年级的方差，
∴八年级中间部分比七年级中间部分多，八年级成绩比七年级成绩稳定，
∴八年级的传统文化知识掌握情况较好．
19．(1)，
(2)这两只小船的运动方向与之间的距离约为103米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角的定义等知识．
（1）根据方向角的定义得出，根据路程等于速度乘以时间即可计算出．
（2）过点作于点，过点作于点．可得出，都是直角三角形，四边形为矩形，设这两只小船的运动方向与之间的距离米．解Rt得出，解 Rt得出，最后根据代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵小明在点A处测得小船B在他的北偏东方向上，
∴，
根据题意可知，傍晚7时10分，小明到达C处，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点．
可知：，都是直角三角形，四边形为矩形
设这两只小船的运动方向与之间的距离米．
，，
，
在Rt中，，，
，
即．
在Rt中，，，
，
即．
．
，
即，
解得
答：这两只小船的运动方向与之间的距离约为103米
20．(1)，，
(2)12
(3)8
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题目，涉及求函数解析式，两函数交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将点，点代入反比例函数，求出n的值，进而得出A点坐标，利用待定系数法即可求函数解析式，再根据过点B作y轴的平行线，可得点B、D的横坐标相同，代入正比例函数解析式求解即可；
（2）过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，根据求解即可；
（3）设，则，进而证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，则，将其代入反比例函数解析式，可得，进而求解即可．
【详解】（1）∵点，点反比例函数图象上，
∴，
解得或0（舍去），
∴，
∴反比例函数解析式为，
将代入，得，
∴正比例函数解析式为，
∵过点B作y轴的平行线，
∴点B、D的横坐标相同，
当时，，
∴；
（2）过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，
∴；
（3）如图，
设，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
将其代入反比例函数，得，即，
∴．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，，证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，连接，，记与的另一个交点为，连接，证明，，可得，设，则，而，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵切⊙于点，
∴，
，
在和中，
，
，
，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，而，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
22．（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7．
【分析】（1）由分析思路知，只要或，利用（或）从而可证明，进而得到结论；
（2）由且得等腰三角形，得，从而判断①；延长至点M，使得，连接，先由证明，再由证明，即可判断②；由且，可得
，从而，由此即可判断③；假设，则得，从而得，得到矛盾，从而可判断④，最后可得到结论；
（3）①在上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得到与的数量关系；
②分两种情况考虑：P 在线段上；P 在线段延长线上；利用等腰三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：（1）（或）；（或）
解：（2）①②③，
①∵，且
∴是等腰直角三角形，
∴，即①正确；
②如图，延长至点M，使得，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即②正确；
③∵且，
∴，
又，
∴，即③正确；
假设，
则；
∵平分，且，
∴，
∴，
则；
∵，
∴,
∴，
这与相交矛盾，故④错误；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③；
解：（3）①；
证明：在上截取，连接，如图；
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则，
∴，
∴；
②或7；理由如下：
当P 在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当 P 在延长线上时，延长使，连接，
则是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴；
又，，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，或 7．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论．
23．(1)
(2)①见解析；②2；③或
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得解；
（2）①由题意可得：，，表示出，结合二次函数的性质即可得解；②求出抛物线的解析式为；从而可得，，求出，令，则，求出，求出当时对应，此时，求出当，时，、的值，计算即可得解；③由①可得，抛物线的对称轴为直线，结合题意得出，求出，得到或，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①∵，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵抛物线经过，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
∵，在抛物线上，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
令，则，
∴，
∵对于某一个实数，若的最小值为1，
∴当时，，解得，此时对应，，
当，时，则，，
解得：或，或，
∴的最大值为；
③由①可得，抛物线的对称轴为直线，
∵对于任意的，，总有，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴或，
解得：或，
综上所述，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解二元一次方程组、解一元一次不等式、因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
D
D
A
C
C
D