2025年山东省青岛市初中学业水平考试模拟测试九年级上学期数学一模试题（含答案解析）

这是一份2025年山东省青岛市初中学业水平考试模拟测试九年级上学期数学一模试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（）
2. 已知且，将多项式中的n个（，且n为整数）字母添加一个括号（括号里不能再有括号），并同时改变括号前的符号后得到一个新多项式，并写出整个新多项式的绝对值，然后再进行去绝对值运算，称这种操作为“绝对变括操作”，例如：等，下列结论正确的个数是（ ）
①若时，存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式的和为；
②存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式相同；
③当时，所有的“绝对变括操作”共有4种不同的运算结果．
3. 现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（ ）
若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数；
若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数；
在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为．
4. 阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论：
①点到直线的距离是；
②直线和直线的距离是；
③若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是．
④抛物线上存在两个点到直线的距离是；其中，正确结论的个数是（ ）
5. 已知，，作射线，使得，作于点，则长的最大值是（ ）
6. 在平面直角坐标系中，有两点，，将，两点的横纵坐标分别对应相加作为点的横纵坐标，将，两点的横纵坐标分别对应相减作为点的横纵坐标，此操作称为第一次坐标变化操作；将，两点的横纵坐标分别对应相加作为点的横纵坐标，将，两点的横纵坐标分别对应相减作为点的横纵坐标，此操作称为第二次坐标变化操作． 例如：，两点第一次坐标变化操作后的点为，点为；下列说法中：
①当，时，经过次坐标变化操作后，的面积为；
②经过次坐标变化操作后，直线的解析式为；
③若，，且，，时，则经过次坐标变化操作后，点的坐标为或．
其中正确的个数是（ ）
7. 抛物线，，是常数，经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其正确结论的序号是（ ）
8. 已知，其中n，为非负整数．均为正整数．规定：，整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法：①；②若，则所有满足条件的整式的和为；③若，则所有满足条件的整式有6个．其中正确的个数是（ ）
二、填空题
9. 关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____．
10. 我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，则称这个四位自然数为“加乘数”．例如：2786，满足，且，所以2786是“加乘数”．按照这个规定，最小的“加乘数”为_________；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若能被11整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为_________．
11. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m，n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为， 30与38的十位数字相同，个位数字0与8的和为8，所以938是“方和数”，938分解成的过程就是“方和分解”．按照这个规定，最小的“方和数”是__________．把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将m放在n的左边组成一个四位数S，将S的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的四位数T，记，若能被7整除，则满足条件的正整数A的最大值与最小值的差是__________．
12. 一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是_______；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为_______．
13. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
（1）若该抛物线与x轴交于点，则______；
（2）已知点，，若该抛物线与线段始终有两个不同的交点，则n的取值范围是______．
14. 在四边形中，，，，，则四边形的面积是________．
三、解答题
15. 设计一个有关青岛旅游宣传的图案，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形．
16. 若点满足，则称点P为“t系点”，例如：满足，则称为“3系点”．
(1)关于x的二次函数的图象上是否存在“3系点”，若存在，请求出该“3系点”，若不存在，请说明理由；
(2)关于x的函数与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3系点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求a的值；
(3)已知关于x的二次函数的图象上存在2个不同的“3系点”A、B，且对于该二次函数有当，时，，相应的函数值，总满足，请求出线段长度的取值范围．
17. 给定圆和直线，过圆上一点作直线于点，直线与圆的另一个交点记为，将称为点关于直线的特征值．特别地，当点与点或重合时，点关于直线的特征值为；当点和重合时，点关于直线的特征值为．
在平面直角坐标系中，
(1)圆是以点为圆心，为半径的圆，
若点的坐标是，则它关于轴的特征值是：_______；
点是圆上一动点，将点关于轴的特征值记为，则的取值范围是__________；
(2)已知圆的半径为，直线，若圆上存在关于直线的特征值是的点，直接写出的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点．点是该抛物线上的动点，其横坐标为．将点沿轴正方向向上平移1个单位长度得到点，过点作轴于点，连结，以、为边作矩形．
(1)求此抛物线对应的函数关系式．
(2)当该抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大时，求的取值范围．
(3)在、两点之间的部分（包含、两点）图象记为．设与此抛物线的交点的横坐标为，图象最高点与最低点的纵坐标之差为，若，求的取值范围．
(4)设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出的值．（写出三个值即可）
19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，且经过点，且对称轴为直线．点、、是该抛物线上三个动点，其横坐标分别为，，．连结、，并以、为邻边构造平行四边形．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)当时，求的面积；
(3)当时，求的取值范围；
(4)当平行四边形的边与抛物线存在非平行四边形的顶点的其它交点时，记此交点为点，取的中点记为，当的面积是平行四边形面积的时，直接写出的值．
20. 阅读以下信息，完成下列小题
材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础．
材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作．
(1)请把下列算式写成对数的形式：，，
(2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算：
(3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空．
平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square rt），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0
21. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D是点C关于抛物线对称轴的对称点．过A，D两点的直线与y轴交于点E．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．线段PM与直线AD交于点N，当MN=2PN时，求点P的坐标；
(3)若点Q是y轴上的点，且满足∠ADQ=45°，求点Q的坐标．
22. 定义：如果实数，满足，，且，为常数，那么称点为“改革创新点”，例如点是“改革创新点”．
(1)，，三个点中，点 是“改革创新点”；
(2)设函数，的图象的“改革创新点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若点是“改革创新点”，用含的表达式表示，并求二次函数的函数值的取值范围．
23. 抛物线，直线的解析式为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；
(2)探究抛物线与直线的交点情况并说明理由；
(3)若抛物线经过点，且对于任意实数满足两个条件：
①不等式都成立；
②当时，抛物线的最小值为，求直线的解析式．
2025年山东省青岛市初中学业水平考试模拟测试数学试题
整体难度：困难
考试范围：函数、图形的变化、数与式、图形的性质、方程与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
A．点一定在二次函数图象上
B．
C．当最小时，的最小值是3
D．若两个函数图象在第四象限有交点，则
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A．个
B．个
C．个
D．个
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．②③④
B．①④
C．②③
D．③④
A．0
B．1
C．2
D．3
题型
数量
单选题
8
填空题
6
解答题
9
难度
题数
较易
1
适中
1
较难
1
困难
20
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；线段周长问题(二次函数综合)；一次函数图象与坐标轴的交点问题；线段问题(轴对称综合题)
2
0.15
绝对值的几何意义；整式的加减运算
3
0.15
有理数的除法运算；整式加减的应用；化简绝对值
4
0.65
一次函数与几何综合
5
0.15
斜边的中线等于斜边的一半；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质和判定
6
0.15
点坐标规律探索；求一次函数解析式；通过对完全平方公式变形求值
7
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；二次函数图象与各项系数符号；抛物线与x轴的交点问题
8
0.15
整式的加减运算
二、填空题
9
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；一次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化——轴对称
10
0.15
因式分解的应用；二元一次方程的解
11
0.15
整式加减的应用；一元一次不等式组的其他应用
12
0.15
y=ax²+bx+c的最值；列代数式；整式加减的应用
13
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
14
0.15
根据矩形的性质与判定求线段长；(等腰)梯形的定义；三线合一；用勾股定理解三角形
三、解答题
15
0.85
设计轴对称图案；中心对称图形的识别
16
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；反比例函数与几何综合；一元二次方程的根与系数的关系；y=ax²+bx+c的最值
17
0.15
一次函数与几何综合；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
18
0.15
y=a（x-h）²+k的图象和性质；特殊四边形(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
19
0.15
利用平行四边形的性质求解；面积问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点问题
20
0.4
有理数幂的概念理解；平方根概念理解
21
0.15
解直角三角形的相关计算；角度问题(二次函数综合)；求一次函数解析式；用勾股定理解三角形
22
0.15
其他问题(二次函数综合)；一次函数与反比例函数的交点问题；新定义下的实数运算；通过对完全平方公式变形求值
23
0.15
y=ax²+bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；把y=ax²+bx+c化成顶点式；待定系数法求二次函数解析式
序号
知识点
对应题号
1
函数
1,4,6,7,9,12,13,16,17,18,19,21,22,23
2
图形的变化
1,5,9,15,21
3
数与式
2,3,6,8,10,11,12,20,22
4
图形的性质
5,14,17,19,21
5
方程与不等式
10,11,16