中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）平面评课ppt课件

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）平面评课ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了平面的特征和表示，平面的基本性质等内容，欢迎下载使用。
我们知道, 构成空间的基本要素是点、线、面． 在平面几何中, 我们学习的重点是点与直线, 下面我们先重点学习平面．
  茶卡盐湖被称为“中国的天空之镜”, 当其湖面平静之时就像一面镜子, 给人很“平”的印象．面对浩瀚的大海时, 我们会感慨大海“一望无际”．茶卡盐湖湖面和海面都可以用“平面”来描述．类似地, 课桌桌面、书本封面也可以用“平面”来描述．这些平面有什么共同特征呢？
这些面都是平的, 可以向各个方向无限延展．数学中的平面具有平和无限延展的特征．
怎样画出具有无限延展性的平面呢？
数学中, 因直线具有无限延伸性, 所以人们作直线时实际只画出直线的一部分来表示整条直线． 类似地, 我们用平面的一部分来表示平面．通常我们用平行四边形、三角形、圆等平面图形来表示平面．
观察下图粉笔盒的正面、顶面、侧面所在平面可以分别画成下图所示的三个图形．
为叙述方便, 常常把几何对象用字母表示．
例如, 点可以用大写英文字母A、B、⋯表示．直线可以用小写英文字母l、m 、⋯表示, 也可以用直线上两点的字母AB、CD、⋯表示．
类似地, 可以用小写希腊字母α、β、γ、⋯表示平面, 如平面α 、平面β、⋯ ; 也可以用多边形的顶点字母表示平面, 对于平行四边形, 可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面．
如图所示, △ABC 所在的平面可表示为平面ABC, ⏥ABCD 所在的平面可表示为平面 ABCD 或平面AC．
考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集, 当点P在直线 l或平面α内时, 可分别表示为P∈l, P∈α．当点P不在直线 l 上或不在平面α内时, 可分别表为P∉l, P∉α．
例1 用符号语言表示以下点与直线、平面的位置关系, 并画出满足条件的一个图形． （1）点 A在直线 l 上, 且在平面α内．
解（1） A∈l 且 A∈α, 如图所示．
画法： ①画平行四边形表示平面α; ②将点A画在平行四边形的内部; ③在平面α内, 经过点A画直线l．
例1 用符号语言表示以下点与直线, 平面的位置关系, 并画出满足条件的一个图形． （2）点C 不在平面β内, 直线m经过点C且与平面β有一个公共点B．
（2）C∉β, C∈m, B∈m, B∈ β, 如图所示．
画法： ①画平行四边形表示平面β ; ②将点C画在平行四边形的外部; ③将点B画在平行四边形内; ④连接点C与点B并向两个方向延长, 将直线CB标注为直线m, 并将直线被平面遮挡部分擦除或画为虚线．
画直线与平面相交时, 直线被平面遮挡的部分画成虚线或不画．
1．判断下列说法是否正确．  （1）平整的课桌面是一个平面的一部分; （2）不同平面的大小是不同的;  （3）光滑的玻璃球的表面是一个平面;   （4）长方体 ABCD-A1B1C1D1中, 四边形ABB1A1, 所在平面可表示为平面AB1;   （5）把一块长为3m、宽为1.5m 的黑板看作一个平面, 这个平面的面积是 4.5 m² ．
2．已知ABCD-A1B1C1D1, 如图所示．试用符号“∈”或“∉”填空． A 直线AD, A 直线 A1B1, A 平面BD, A 平面BC1．
3．请画出符合下列条件的一个图形． （1） A ∉ l, A∈α; （2） B ∉ l, 且B ∉ β ．   4．观察自己身边有哪些事物可以看作平面的一部分．
如图所示, 分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指尖顶起一块硬纸板, 看看哪种方式能比较稳地将硬纸板顶起来 你有什么发现？
尝试后发现, 当三个指尖不在同一条直线上时, 能将硬纸板平稳地顶起来．这种现象蕴含着平面的如下重要性质．
这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”．
公理1 经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面．
如图所示, 点A、B、C不共线．由公理 1可知, 存在唯一的平面α, 使得A∈α, B∈α, C∈α ．
容易看出, 经过一个点、两个点或共线的三个点有无数个平面, 也可以说成“一个点, 两个点或共线的三个点不能确定一个平面”．
将一根细线拉直, 然后把它的两个端点固定在桌面上, 如图所示, 观察细线上其他的点与桌面的关系．如果抓住细线中的一点并拉离桌面, 细线还是直线段吗？
容易看出, 当把拉直的细线的两个端点放在桌面上时, 细线上的所有点都在桌面上．
如果将细线抽象为直线, 桌面抽象成平面, 可以得出平面的如下性质．  
公理2 如果一条直线上有两个点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
当一条直线上的所有点都在平面内时, 称直线在平面内, 或者说平面经过直线．
如图所示, 由A∈α, B∈α, 可知AB⊆α．
直线m在平面α内可表示为m⊆α(或m⸦α) ．当直线m不在平面α内时, 表示为 m⊈α (或m  α), 此时直线与平面有一个公共点或没有公共点．
表示直线在平面内时, 要把直线画在表示平面的图形的内部．
推论1 经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面．  
如图所示, Al, 存在唯一的平面α, 使得A∈α, l⊆α ．
由公理1、2得到以下结论． 
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面．  
如图所示, 直线m与直线n相交于点A, 存在唯一的平面α, 使得m⊆α, n⊆α．
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面．  
如图所示, m∥n, 存在唯一的平面α, 使得m⊆α, n⊆α ．
将一块薄的硬纸板平放到桌面上, 可视作硬纸板和桌面所在的平面重合, 如图所示．抬起硬纸板的一端, 让另一端紧贴桌面, 则硬纸板和桌面所在台面有一条公共直线．继续抬起硬纸板, 将纸板的一角支在桌面上, 则支点就是硬纸板和桌面所在平面的一个公共点．这时, 它们所在的平面就只有这一个公共点么？
平面具有无限延展性, 把硬纸板向下延展．容易看出, 硬纸板所在的平面与桌面所在的平面有一条公共直线．由此, 得到平面的性质：
公理3 如果两个平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条经过该点的公共直线． 
此时, 称两个平面相交, 并把公共直线称为两个平面的交线．当平面α与平面 β 相交于直线 l 时, 记作α⋂β=l ．
如图所示, A∈α, A∈β, 存在唯一的直线l, 使得A∈l, α⋂β=l．
画两个平面相交时, 一定要画出它们的交线, 平面被遮挡部分用虚线表示或不画．
例2 试用符号语言表示下列语句, 并画出相应的图形． （1）点A、B在直线 l 上, 直线l 在平面α内;
画法：①画平行四边形表示平面α; ②在平行四边形内画点A、B ; ③连接A、B并延长, 在直线AB上标出直线l．
例2 试用符号语言表示下列语句, 并画出相应的图形． （2）平面α和平面 β 相交于直线l ．
（2） α⋂β=l , 如图所示．
画法： ①画线段 AB表示交线l, 如右图所示; ②过点A画与 l 不同的两条相交线段CD、EF, 再过点B画 C'D'与E'F' , 使C'D'∥CD、E'F'∥EF , C'D'=CD, E'F’=EF ; ③连接 CC‘、DD’、EE‘、FF’, 分别将平面 CD‘ 和平面EF’ 标注为平面α 和平面 β, 再将被遮挡部分改为虚线或不画, 最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'、 E'、 F' ．
例3 判断下列说法是否正确.  （1）经过三个点有且只有一个平面; （2）如果直线l与平面α有三个公共点, 那么 l ⊆α ; （3）用三角板的一个顶点与桌面接触, 只有一个公共点, 故两个平面可以只有一个公共点．
（2）正确．当一条直线有两个点在平面内时, 这条直线就在平面内;  
（3）错误．当两个平面有一个公共点时, 这两个平面就有一条经过该点的公共直线, 因此它们一定有无数个公共点．
例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中, 找出符合下列条件的平面．  （1）经过点A1、B、D的平面; （2）经过直线 BC 和点 D1的平面; （3）经过直线 BD 和 DD1的平面; （4）经过直线 AB 和C1D1的平面．
（2）经过直线 BC 和点 D1的平面是平面BCD1, 如图(3)所示;
（3）经过直线 BD 和 DD1的平面是平面BDD1, 如图(3)所示;
（4）经过直线 AB 和C1D1的平面是平面ABC1D1, 如图(3)所示;
1．判断下列说法是否正确．（1）经过直线 m 和点 A 的平面有且只有一个; （2）两条相交直线可以确定一个平面;  （3）同时经过两条平行直线的平面不止一个;  （4）两个平面可以只有一条公共线段．
 2．根据平面的基本性质和推论证明平行四边形是平面图形(填空)．   已知：四边形 ABCD 是一个平行四边形． 求证：AB、BC、CD、DA 四条边共面． 证明：因为 AB∥CD, 所以 AB 和CD 确定平面α, 如图所示． 因为 A∈AB, B∈AB, C∈CD, D∈CD, 所以A、B、C、D均在平面α内． 从而, 有AD⊆ , BC⊆ , AB⊆ , CD⊆ ． 所以, AB、BC、CD、DA四条边共面．
3．试用12根长短相等的小木棍(或铁丝等)制作正方体模型ABCD-A1B1C1D1, 并指出由顶点A和棱CC1所确定的平面．