数学抛物线教课内容ppt课件

这是一份数学抛物线教课内容ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，对称性，离心率等内容，欢迎下载使用。
平南三桥位于广西壮族自治区, 是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥, 它采用的多项技术填补了世界拱桥空白, 成为“中国桥梁”建造的新名片．观察下图, 桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出, 拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线, 人们称之为抛物线．
那么, 如何画出抛物线呢？
我们可以通过一个实验来完成.
（1）将一把直尺固定在画板上, 再取一个直角三角板, 使其一直角边紧靠直尺的一边 l 放置; 
（2）取一条拉链, 把它的一端固定在三角板的顶点C 处, 另一 端固定在画板上的点F处;  
（3）将笔尖(点 M )放在拉链锁扣处．保持锁扣与C 端的拉链部分始终在直角三角板的边 CA 上, 让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动, 笔尖随之移动, 就画出了一段曲线;
（4）当直角三角板的边 CA 经过点下时, 向下翻转三角板．保持锁扣与C 端的拉链部分始终在 CA 上, 让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动, 笔尖又画出一段曲线．
一般地, 把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点, 定直线 l 称为抛物线的准线．
显然, 笔尖(即点M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等 ( |MF|=|MC| )．
我们从椭圆和双曲线的定义出发, 通过建立合适的平面直角坐标系, 分别求出了椭圆和双曲线的方程． 那么, 如何从抛物线的定义出发, 建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？
方程y²=2px(p>0)称为抛物线的标准方程．
类似地, 通过建立不同的平面直角坐标系, 可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px, x² =2py, x² =-2py．它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表：
例1 根据条件, 求抛物线的标准方程． （1）焦点为F(0, -3); （2）准线方程为x=1; （3）焦点在y轴的正半轴上, 并且p=3．
（3）由于焦点在y轴的正半轴上, 故抛物线有形如x²=2py的标准方程．因为p=3, 所以抛物线的标准方程为x²=6y．
例2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． （1）y²=8x ; （2）x²+4y=0．
判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键．因此可将抛物线方程化为标准方程, 观察标准方程中的一次项, 如果一次项含变量x, 并且系数为正(或为负), 则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上; 如果一次项含变量y, 并且系数为正(或为负), 则焦点在 y 轴的正半轴(或负半轴)上．
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． （1）y2=10x; （2）x2-2y=0; （3）2y2+10x=0; （4）x2+6y=0． 3．求抛物线 y²=-12x上到焦点的距离等于9的点坐标．
前面, 我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质, 是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？
下面以抛物线的标准方程 y²=2px为例, 研究抛物线的几何性质．
这说明, 抛物线向右上方和右下方无限延伸．
在方程 y²=2px 中, 由p>0, y²≥0, 可知x≥0．这表明, 抛物线在y 轴的右侧, 如图所示．当 x 的值增大时, y²的值也随着增大, 即 | y | 的值增大．
这说明, 抛物线关于x轴对称．一般地, 把抛物线的对称轴称为抛物线的轴．
在方程中, 将y换成-y, 方程不改变．
在方程中, 令 y=0, 得 x=0．因此, 抛物线的顶点为原点．一般地, 抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点．
抛物线上的点M 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率, 记作e．由抛物线的定义知, e=1．
为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？
例3 根据条件, 求抛物线的标准方程． （1）关于y轴对称, 且过点P(4, -2) ; （2）对称轴为坐标轴, 且过点P(10, 5)．
解（1）由于物线关于 y 轴对称, 而点P为第四象限的点, 故抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上．
设拋物线的标准方程为 x2=-2py(p>0).将点 P 的坐标(4, -2)代人方程, 得42=-2p×(-2), 解得p=4．   因此, 抛物线的标准方程为x2=-8y ;
当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时, 一般需要分情况讨论．
例4 用“描点法”画出抛物线 y²=4x的图形．
分析 抛物线具有对称性, 因此只需先画出抛物线在第一象限内的图像, 然后根据对称性画出全部图像．
以表中的 x 值为横坐标, 对应的 y 值为纵坐标, 在平面直角坐标系中依次描出相应的点(x, y), 用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图像．然后利用对称性, 画出全部图像．
例5 建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑．2021年年底, 我国高速公路里程已位居世界第一．在修建A市到B市的高速公路过程中, 需要挖掘一条横截面如图(1)所示的隧道．已知横截面的顶部是抛物线拱, 拱高为2 m, 跨度为6 m．试建立平面直角坐标系, 求抛物拱形线的方程．
解 以抛物线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴, 建立平面直角坐标系, 如图(2)所示, 则抛物线方程可设为 x²=-2py．
例6 已知斜率为1的直线过抛物线x²=-2py (p>0) 的焦点F, 且与(x-7)2+y2=8相切, 求该抛物线的方程．
例7 抛物线y2=8x上各点向x轴作垂线, 求垂线段的中点的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形．
1．根据条件, 求抛物线的标准方程． （1）准线方程为 x=4; （2）焦点为F(0, -3); （3）关于x轴对称, 且过点(5, -4); （4）对称轴为坐标轴, 且过点(6, 3)．