数学拓展模块一（上册）直线与平面的位置关系教学演示课件ppt

这是一份数学拓展模块一（上册）直线与平面的位置关系教学演示课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与平面所成的角等内容，欢迎下载使用。
如图所示, 将一支铅笔平放到桌面上, 然后水平拿起来, 再竖直放置在桌面上．在此过程中, 这支铅笔(看作一条直线)与桌面分别有几个公共点？
当笔平放在桌面上时, 它与桌面有无数多个公共点; 将笔水平拿起, 它与桌面没有公共点; 当笔竖直放置时, 它与桌面只有一个公共点．
根据公理2, 当一条直线与一个平面有两个公共点时, 这条直线上的所有点都在这个平面内． 直线与平面或者只有1个公共点, 或者没有公共点． 直线与平面有三种位置关系．
1．直线在平面内．此时直线与平面有无数个公共点．
如图(1)所示, 当直线a在平面α内时, 记作 a ⊆ α．
2．直线与平面相交．此时直线与平面只有一个公共点．
如图(2)所示, 当直线b与平面α相交于点B时, 记作b∩α=B ．
3．直线与平面平行．此时直线与平面没有公共点．
如图(3)所示, 当直线 c 在平面α平行时, 记作c∥α ．画图时, 把直线画在表示平面的平行四边形外, 并与平行四边形的一条边平行．
直线l与平面α相交或平行, 称直线 l 在平面α外, 记作l⊈α．
如图所示, 一本打开的书的封面右边沿所在直线 m 已经不在书内页所在平面α内, 那么, m与α是相交还是平行呢？
观察发现, 书脊所在直线n是封面所在平面与书内页所在平面的交线, 且m∥n．
能否通过m∥n来判断直线m与平面α之间的位置关系呢？
直线与平面平行的判定定理  如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条平面外直线与这个平面平行．
一般地, 设m⊈α, n⊆α, 且m∥n, 如图(1)所示．  假设直线m与平面α相交, 记交点为点P, 如图(2)所示．由m∥n知P∉n．根据异面直线判定定理, m与n是异面直线, 这与m∥n 矛盾． 故直线 m 与平面α不相交, 从而m∥α．
例1 如图所示, 在棱柱ABCD-A1B1C1D1中： （1）与平面AC平行的棱所在直线有哪些？ （2）判断 AA1与平面DBB1D1的位置关系．
解（1）因为棱柱各侧面均为平行四边形, 所以A1B1∥AB ．
  （2）因为  AA1∥BB1, 且AA1⊈平面 DBB1D1, BB1⊆平面DBB1D1, 所以AA1 //平面DBB1D．
又因为A1B1⊆平面AC, AB ⊆平面AC, 所以A1B1 ∥平面AC; 同理可知, 直线B1C1、C1D1、A1D1均与平面AC平行．
因此, 与平面AC平行的棱所在直线有A1B1、B1C1、C1D1、 A1D1．
例2 在空间四边形ABCD 中, 点E、F分别是AB、AD 的中点, 如图所示, 求证：EF//平面BCD．  
证明 连接E、F．因为E、F分别是 AB、AD 的中点, 所以EF//BD． 又因为E⊈平面BCD, BD⊆平面BCD, 所以BF//平面 BCD．
既然直线与直线的平行可以用来判定直线与平面平行, 那么能否利用直线与平面的平行来判定直线与直线平行呢？
如上图所示, m∥α, m⊆β, α∩β=n．那么, m与n是什么位置关系？
显然, m与n共面于平面β 内, 则n与n要么相交, 要么平行．若m与n相交, 且交点为P, 如图(2)所示, 则P也是直线m与平面α的交点, 这与条件m //α相矛盾．所以m//n．
  直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行, 那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行．
例3 已知n //m, m//α, n⊈ α, 求证：n //α．
 证明 过直线m作平面β交平面α于直线l, 如图所示．
因为m//α, 根据直线与平面平行的性质定理, 可知m//l ．又 m //n, 故n//l．
根据直线与平面平行的判定定理, 由n⊈l, l⊆α, 可知 n //α．
1．判断下列命题的真假, 并说明理由． （1）如果m//n, n⊆α, 那么m//α; （2）如果m//n, m⊈α, 那么m//α; （3）如果m//α, n⊆α, 那么m//n; （4）如果m//α, m⊆β, α∩β=n, 那么m//n．  
1．填空题． （1）如果一条直线与一个平面平行, 那么这条直线与这个平面有 个公共点; （2）如果一条直线与一个平面有两个公共点, 那么它们的位置关系是 , 此时直线与平面面共有 个公共点;   （3）如果一条直线与一个平面相交, 那么它们有 个公共点; （4）如果一条直线与一个平面平行, 那么这条直线与平面内的 条直线平行．
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1．求证： （1）CD∥平面A1C1 ; （2）A1C1∥平面AC．
无人机广泛应用于生产生活各个领域, 我国无人机技术已达世界先进水平．某型号无人机如图所示, 其螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直, 垂足是B．设螺旋桨旋转时构成的平面为α, 显然, 无人机的每根螺旋桨都在平面α内．试问, 平面α与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？
容易看出, 平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直．对于平面α内不过点B的任意一条直线, 它一定与平面α内过点B的某条直线平行．由异面直线所成角的定义可知, 这条直线也与旋转轴AB 垂直．因此, 平面α内的每一条直线都与AB 垂直．
  如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 那么称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线称为这个平面的垂线, 这个平面称为这条直线的垂面, 直线与平面的交点称为垂足．直线 l 与平面α 垂直, 记作 l ⊥α．
如图所示, 若l⊥α, m⊆α, 根据直线与平面垂直的定义, 可知l⊥m．这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法．
在日常生活和生产中, 常常需要判断直线与平面的垂直关系．例如, 国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等．但是, 判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的．
  如图所示, 若m、n是平面 α 内的两条相交直线, 且直线l⊥m, l⊥n, 则 l⊥α．
  直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线与这个平面垂直．
例4  四个面都是正三角形的四面体称为正四面体．已知正四面体ABCD, 如图所示．求证：BD⊥AC．
证明 设BD的中点为O, 连接 AO 、CO. 
又AO∩CO=O, 且AO、CO ⊆平面AOC, 故BD⊥平面AOC．
因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形, 所以AO⊥BD, CO ⊥BD ．
根据直线与平面垂直的定义, 由AC ⊆平面AOC, 可知BD⊥AC ．
例5  证明：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面． 已知： m∥n, m⊥α, 如图所示．  求证：n⊥α．
证明 在平面α内任取两条相交直线 c和d  ． 因为 m⊥α, c⊆α, d ⊆ α, 所以m⊥c, m⊥d． 又m∥n, 故n⊥c, n⊥d．
根据直线与平面垂直的判定定理, 由c与d相交, n⊥α ．
例5是直线与平面垂直的另一个判定定理．
可以证明, 例5中所述命题的逆命题也成立．如图所示若m⊥α, n⊥α, 则m∥n．
  线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行．  
  在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
例6 如图所示, 已知一条直线 l 和平面α平行, 过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB' , 垂足分别为A'、B' ．求证：AA'=BB' ．  
证明 因为 AA' ⊥α, BB' ⊥α, 所以AA'∥ BB' ．
设经过直线AA' 、BB'的平面为β, 则β∩α=A'B' ．  
由l∥α , 可知l∥A'B' , 因此四边形AA'B'B 为平行四边形, 所以AA'=BB'．
1．判断下列命题的真假．（1）如果直线 m 垂直于平面α内的无数条直线, 那么m⊥α; （2）如果l⊥m, l⊥n, 且mα, nα, 那么 l⊥α ; （3）如果l⊥α , m⊥α , 那么 l⊥m．
2．已知 PO⊥α, 垂直为O, PA∩α=A, m⊆α, 且m⊥OA．求证： m⊥PA．
3．如果l⊥α, m//α, 求证: l⊥m． 4．己知线段AB、CD 位于平面α的同侧, AB⊥α, DC⊥α, 垂足分别为 B、C, AB=DC．求证: AD=BC ．
5．某中职学校建设新校区时, 修建了升旗台, 用于开展爱国主义教育活动．技术人员在安装旗杆时, 要保证旗杆与地面垂直．请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直．
我国是拥有斜拉索桥最多的国家．斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型, 依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩．斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容．如图所示, 斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面 α 相交, 但是它们并不垂直．不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的, 如何描述这种不同呢？
  如果直线与平面相交但不垂直, 就称直线是平面的斜线．斜线与平面的交点称为斜足, 经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线, 连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影．  
如图所示, 直线m是平面α的斜线, 点P为斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足为B, 则BP是斜线 m 在平面α内的射影． 显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度．  
  一般地, 平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角, 称为这条斜线与这个平面所成的角．  
例7 如图所示, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a． （1）找出BC1在底面ABCD上的射影; （2）求BC1与底面ABCD所成角的大小; （3）求BD1与底面ABCD所成角的正切值．
解（1）因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都是正方形, 所以CC1⊥DC, CC1⊥BC, 且DC∩BC=C, 从而, CC1⊥平面ABCD且垂足为C．
又BC1∩平面ABCD=B, 故BC是BC1在平面ABCD上的射影．
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为DD1⊥AD, DD1⊥DC, 且AD∩DC=D, 所以DD1⊥底面ABCD, 从而BD是BD1在平面ABCD上的射影, 且DD1⊥BD．
例8  中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标．如图所示, 为防止电杆倾斜, 工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳．受周围环境影响, 牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C 的距离是2.5 m ．若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°, 求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离．  
解 由题意可知电杆与地面是垂直的, 所以 BC⊥AC, 且AC是AB在地面上的射影, 于是∠BAC= 60°．
1．观察教室墙面, 从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形．  2．画出符合下列描述的一个图形, 并用符号表示出来． （1）直线l与平面α平行, 直线m 在平面α内;   （2）点M 在直线l上, 且在平面β内, l不在平面β内; （3）直线AB与平面γ相交于点 A, 直线 BC 垂直于平面γ, 且垂足为C ．
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 找出对角线AC1分别在六个面上的射影． 4．己知AB∩α=A, 线段AB的长是它在平面α上射影的2倍, 求直线 AB 与平面α所成的角的大小． 5．在长正方体  ABCD-A1B1C1D1中, 求：  （1）AD1与平面ABCD所成的角的大小; （2）AC1 与平面BCC1B1所成的角的正切值．