高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）双曲线教课内容ppt课件

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）双曲线教课内容ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等内容，欢迎下载使用。
广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑．广州塔的两侧轮廓线是什么曲线？有什么特点？
可以看出, 广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线, 它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸, 人们称这样的曲线为双曲线．
那么, 如何画出双曲线呢？
我们通过一个实验来完成．
（1）取一条拉链, 把它拉开分成两条, 将其中一条剪短．把长的一条的端点固定在点F1 处, 短的一条的端点固定在点F2处;
（2）将笔尖放在拉链锁扣M 处, 随着拉链的拉开或闭合, 笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线);
（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处, 长的一条的端点固定在点F2处．类似地, 笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线)．
一般地, 把平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值为常数(小于| F1F2 | )的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点, 两焦点之间的距离称为双曲线的焦距．
拉链是不可伸缩的, 笔尖(即点M )在移动过程中, 与两个点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值始终保特不变．
我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系, 并推导了椭圆的标准方程．对于双曲线, 如何建立适当的坐标系求它的方程呢？
以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴, 以线段F1F2的垂直平分线为y 轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示．
设M(x, y)为双曲线上的任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 则焦点F1、F2的坐标分别为(-c, 0)、(c, 0) ．
又设双曲线上的点 M 与焦点F1、F2的距离之差的绝对值为 2a(a>0), 即||M F1 |-|M F2 ||=2a, 则有 |M F1 |-|M F2 |=±2a.
两边再平方, 整理得 a4+c²x²= a²x²+a²c²+ a²y² ,
由双曲线定义可知, 2c>2a>0, 即c>a>0, 因此c²-a²>0．令c²-a² = b²得 (b>0), 则上式可化为b²x²-a²y²= a²b² ．
例1 根据条件, 求双曲线的标准方程． （1）焦点在x轴上, 焦距为14, 双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6; （2）焦点为F1(0, -6)和F2(0, 6), 双曲线上一点M的坐标为(2, -5) ．
又因为c=6, 所以b²= c²-a²=36-20=16.
又由双曲线的标准方程知a2=4, 得a=2．于是有|5-|MF2||=4, 所以|MF2|=1或|MF2|=9．
要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上, 可将双曲线的方程化为标准方程．然后, 观察标准方程中含x项与含y项的符号, 哪项的符号为正, 焦点就在哪个坐标轴上．
前面, 我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么, 如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？
令y=0, 得到x=±a．因此, 双曲线与x轴有两个交点  A1(-a, 0) 和 A2(a, 0) (如图)．双曲线与它的对称轴的两个交点A1、A2称为双曲线的顶点, 线段A1 A2称为双曲线的实轴, 它的长等于2a, a是双曲线的实半轴长．
令x=0, 得到y²=-b², 这个方程没有实数解．因此, 双曲线与y 轴没有交点．我们仍将点B1(0,-b)与B2(0, b)画在y轴上, 如图所示．线段B1B2称为双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b是双曲线的虚半轴长．
显然, 双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．
为什么从远处看过去, 冷却塔的塔身的轮廓大多是双曲线的形状？
例4 求双曲线4y²-16x²=64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程．
分析 双曲线具有对称性, 因此只需先画出双曲线在第一象限内的图像, 然后对称性地画出全部图像．
以表中的 x 值为横坐标, 对应的 y 值为纵坐标, 在平面直角坐标系中依次描出相应的点(x, y), 用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图像．然后利用对称性, 画出全部图像．
（3）作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形, 画出矩形两条对角线所在的直线, 即双曲线的两条渐近线;   （4）依据双曲线经过实轴端点, 且逐渐接近渐近线这一特点, 画出大致图像．
（1）由a²=16, 得a=4, 得到双曲线的两个顶点A1(-4, 0)、 A2(4, 0); （2）由b²=9, 得b=3, 得到双曲线的虚轴端点B1(0, -3), B2 (0, 3) ;
可以利用双曲线的顶点和渐近线, 画出双曲线的大致图像．具体步骤如下：
分析 根据题意, 由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差, 它是一个定值．因此, 爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上, 又因为爆炸点距离A处比距离B处远, 所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上．  
例7 已知A、B两个哨所相距1 600 m, 在A 哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3 s, 求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(空气中声速约为 340 m/s)．  
解 如图所示, 建立平面直角坐标系, 使A、B两点在x轴上, 且坐标原点为线段 AB 的中点．
设爆炸点M 的坐标为(x, y), 则|MA|-|MB|=340×3=1020, 于是有 2a=1020, a=510, a²=260100．
因为 |AB|=1600, 所以 2c=1600, c=800, b²=c²-a²=379900．
能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？
1．求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标, 离心率与渐近线方程． （1）x²-9y²=81; （2） 9x²-4y²=-36 ．