（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末专题强化练习01 对称问题(2份，原卷版+解析版)

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在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．
对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．
【题型目录】
题型一、求点关于直线的对称点
题型二、求直线关于点的对称直线
题型三、求直线关于直线对称问题
题型四、对称问题的应用
题型一、求点关于直线的对称点
1．已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．圆关于直线对称的圆的标准方程为______．
4．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．
5．将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.
(1)求直线的方程；
(2)求的值.
题型二、求直线关于点的对称直线
6．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
7．已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）边所在直线关于点对称的直线的方程.
题型三、求直线关于直线对称问题
8．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．一次函数所表示的直线为，若、关于x轴对称，则的倾斜角为___________.
10．在中，，
（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.
11．自点发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线l所在的直线方程．
题型四、对称问题的应用
12．已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______．
13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________．
14．已知点，直线．
(1)在上求一点，使的值最小；
(2)在上求一点，使的值最大．
1．在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
3．（多选）已知点与直线，下列说法正确的是（ ）
A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条
C．点P关于直线l的对称点坐标为
D．直线l关于点P对称的直线方程为
4．直线关于直线对称的直线方程是_______．
5．在平面直角坐标系内，一束光线从点出发，被直线反射后到达点，则这束光线从到所经过的距离为___________．
6．点关于直线对称的点的坐标是______．直线关于点对称的直线方程为___________.
7．已知直线，点．
(1)求点关于直线的对称点；
(2)求直线，关于点的对称直线的方程．
8．已知点，直线.求：
(1)直线l关于点A的对称直线的方程；
(2)直线关于直线l的对称直线的方程.
9．直线，在上求一点，使得．
(1)到和的距离之差的绝对值最大；
(2)到，的距离之和最小．
10．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
1．（多选）已知直线，圆，则（ ）
A．直线与圆相交
B．圆上的点到直线距离的最大值为
C．直线关于圆心对称的直线的方程为
D．圆关于直线对称的圆的方程为
2．（多选）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
3．直线关于直线的对称直线方程为__________．
4．直线和两点，若直线上存在点M使得最小，求点M的坐标_____.
5．已知圆C关于直线对称的圆的方程，则圆C的方程为_________.
6．已知直线和夹角的平分线所在直线的方程为，如果的方程是，那么的方程是_____________．
7．（1）求直线关于点M（2，3）对称的直线方程；
（2）求点关于直线对称的点的坐标．
8．已知直线的方程为，，且与轴交于点．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)与轴、轴分别交于，两点，点关于直线的对称点为，求的面积．
9．在中，点，边上中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求的边所在直线的方程.
10．在以O为原点的直角坐标系中，点为△OAB的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.
(1)求的坐标；
(2)设点，求以OC为直径的圆M关于直线OB对称的圆的方程.
11．在直线上求一点P，使得：
(1)P到和的距离之差最大；
(2)P到和的距离之和最小.