高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全称量词命题和存在量词命题的否定教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全称量词命题和存在量词命题的否定教案设计，共4页。

知识点一 全称量词命题的否定
1．命题的否定
(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
[微提醒] 命题的否定是只否定结论，不否定条件．
2．全称量词命题的否定
[微思考] 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一．如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
知识点二 存在量词命题的否定
题型一 全称量词命题的否定与真假判断
[典例1] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：对于任意的实数m，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：任意一个实数乘－1都等于它的相反数；
(3)r：正方形的对角线相等．
[解] (1)綈p：存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m＜0，即m＜－eq \f(1,4)时，方程x2＋x－m＝0没有实数根，∴綈p是真命题．
(2)綈q：存在一个实数乘－1不等于它的相反数．假命题．
(3)綈r：有的正方形的对角线不相等．假命题．
[方法技巧]
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“∀x∈M，p(x)”，其否定形式为“∃x∈M，p(x)”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题．
【对点练清】
写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：所有自然数的平方都是正数；
(2)q：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)r：对任意实数x，x2＋1≥0.
解：(1)有些自然数的平方不是正数．真命题．
(2)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．真命题．
(3)存在实数x，使得x2＋1＜0.假命题．
题型二 存在量词命题的否定与真假判断
[典例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：有些三角形的三条边相等；
(2)q：有的平行四边形是矩形；
(3)r：∃x，y∈Z，使得 eq \r(2)x＋y＝3.
[解] (1) p：所有三角形的三条边不全相等．假命题．
(2)q：“没有一个平行四边形是矩形”，即“每一个平行四边形都不是矩形”．由于矩形是平行四边形，因此该命题的否定是假命题．
(3)綈r：∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3.
因此，该命题的否定是假命题．
[方法技巧]
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“∃x∈M，p(x)”，其否定形式是“∀x∈M，p(x)”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反，要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
【对点练清】
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0.
(2)q：存在x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)＜0.
(3)r：有些分数不是有理数．
解：(1)任意x∈R,2x＋1＜0.为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)≥0.
因为x2－x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0，所以是真命题．
(3)一切分数都是有理数．是真命题．
题型三 全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题
[典例3] 已知命题“∀x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] 全称量词命题“∀x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定形式为“∃x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴有两个公共点”．
由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由二次函数的图象易知Δ＝1－4a＞0，
解得a＜eq \f(1,4)，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜\f(1,4))))).
[方法技巧]
已知命题p为假时，一般转化为綈p是真命题来求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理地选择方法．
【对点练清】
已知命题p：“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
解：由题意可知，綈p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0.为真命题，
等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解，即a＝0或故a≤1.
故实数a的取值范围是{a|a≤1}．
明确目标
发展素养
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，并会判断真假．
2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，并会判断真假.
1.借助全称量词命题和存在量词命题的否定判断命题的真假性，提升逻辑推理素养．
2．通过对命题否定的学习，学生能使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，提升数学抽象素养.
全称量词命题
全称量词命题的否定
结论
∀x∈M，p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题
存在量词命题的否定
结论
∃x∈M，p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题