（人教A版）必修一高一数学上册期末专题强化练习01 基本不等式的应用技巧（2份，原卷版+解析版）

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【技巧目录】
一、加项变换求最值
二、平方后使用基本不等式求最值
三、展开后求最值
四、常数代换法求最值
五、代换减元求最值
六、换元法求值
七、利用两次基本不等式求值
八、建立求解目标不等式求最值
【例题详解】
一、加项变换
例1 求函数的最小值.
【答案】5
【分析】式子化为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
当且仅当即时取等号，此时取得最小值5.
例2 已知关于x的不等式x＋eq \f(1,x－a)≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．
【答案】5
【详解】∵x>a，∴x－a>0，∴x＋eq \f(1,x－a)＝(x－a)＋eq \f(1,x－a)＋a≥2＋a，当且仅当x＝a＋1时，等号成立，
∴2＋a≥7，即a≥5.
例3 已知，则函数 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵， ,∴，当且仅当 时，即时等号成立，因此，函数,的最大值为,故选：C．
二、平方后使用基本不等式
例4 若x>0，y>0，且2x2＋eq \f(y2,3)＝8，则xeq \r(6＋2y2)的最大值为________．
【答案】eq \f(9,2)eq \r(3)
【详解】(xeq \r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(y2,3)))≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2.当且仅当2x2＝1＋eq \f(y2,3)，即x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(\r(42),2)时，等号成立．故xeq \r(6＋2y2)的最大值为eq \f(9,2)eq \r(3).
三、展开后求最值
例5 若a，b是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】∵a，b是正数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝1＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)＋4＝5＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)≥5＋2eq \r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝5＋4＝9，
当且仅当b＝2a时取“＝”．
四、常数代换法求最值
例6 若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．
【详解】若，都是正数，且，，
当且仅当时等号成立，故选：A.
例7 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数，
所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.
例8 已知，求的最小值．
【答案】
【分析】因为，所以，利用构造思想，用基本不等式可得出答案.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当 “”时取等号，即且，
即时取等号.所以的最小值为：.
例9 已知正实数，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为正实数，，故，
所以，
故，当且仅当时取得等号，故选：C
五、代换减元求最值
例10 负实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为负实数、满足，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.故选：A.
例11 若实数x，y满足xy＋3x＝3(0