（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型09 应用基本不等式求最值和证明不等式（2份，原卷版+解析版）

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1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数。因此基本不等式又被称为均值不等式。
2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。
3.几个常用的重要结论
(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当a=b时取等号)；
(2)a+1a≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a0，当且仅当a=b时取等号)。
考法一：求最值
1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。
(1)各项或各因式均为正；
(2)和或积为定值；
(3)各项或各因式能取得相等的值。
2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：
(1)加项变换；
(2)拆项变换；
(3)统一换元；
(4)平方后利用基本不等式。
3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。
考法二：证明不等式
1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。
2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。
3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。
探究一：基本不等式求积的最大值
已知，，，则的最大值为___________.
【变式练习】
1．已知，，，则的最大值为________．
2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．
探究二：基本不等式求和的最小值
已知，若，则的最小值为___________．
【变式练习】
1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．
2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．
探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值
不等式的解集为，则的最大值为____________.
【变式练习】
1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．
2．已知，则的最大值为______________;
探究四：利用基本不等式证明不等关系
已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
【变式练习】
1．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.
(1)若，则；
(2)若，则.
一、单选题
1．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
2．若，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
4．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（ ）
A．4B．C．9D．10
6．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是
A．周长的最大值为B．周长的最小值为
C．面积的最大值为2D．面积的最小值为1
二、多选题
9．以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2；
B．若且，则；
C．的最小值是2；
D．函数的最大值为0．
10．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
三、填空题
12．若实数满足，则的最大值为___________.
13．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.
14．已知，，下面四个结论:
①；②；③若，则；
④若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)
四、解答题
15．已知x，y都是正实数．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
16．已知，且满足．
(1)若，求的值；
(2)求：的最大值与最小值．
17．已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)是否存在，，使得的值为？并说明理由．
18．（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．