（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题05 利用基本不等式求最值（2份，原卷版+解析版）

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1.重要不等式
，有
，
当且仅当时，等号成立.
2.基本不等式
如果，，则
，
当且仅当时，等号成立.
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有
，
当且仅当时，等号成立.
（2）当，时，有
，
当且仅当时，等号成立.
（3）当时，有
，
当且仅当时，等号成立.
4.利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
【典型例题】
例1．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值．
【解析】（1）当时，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为；
（2）由得：，
（当且仅当，即，时取等号），
，即的最小值为.
例2．已知正数满足.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
【解析】（1）因为是正数，且，
所以由基本不等式得，即，所以，当且仅当时，取等号；
因为是正数，所以，所以的取值范围；
（2）因为正数满足，
所以，
当且仅当即时，取等号，所以的最小值为18
例3．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
【解析】（1）由题意有，得 故
∴
（2）由（1）知：
当且仅当即时，有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.
例4．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知x，y，z都是正数，求证：．
【解析】（1）令
所以，得所以
因为，所以，
所以，即故的取值范围为．
（2）证明：由x，y，z都是正数，则，，
相加可得，，当且仅当时，取得等号．
【过关测试】
一、单选题
1．的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得：；（当且仅当，即时取等号），的最大值为.故选：D.
2．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A：因为，为非零实数，所以，则，
即，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：当、异号时，故B错误；
对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B
3．的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号；
故选：C
4．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
【答案】B
【解析】设，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．故选：B．
5．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立
【答案】D
【解析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．
6．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．
7．若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】至少存在一组使得成立，即，
又由两个正实数满足，可得，
当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.
8．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【解析】∵不等式对任意正数a，b恒成立，
∴（，）恒成立，∵，
当且仅当且，即时等号成立.∴.故选：C.
二、多选题
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为
【答案】AB
【解析】对于A，，所以，都有成立，故为真命题.
对于B，显然当时，成立，故为真命题.
对于C，当时，则，故不成立，为假命题.
对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题.故选:AB.
10．设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】∵，，∴，∴，∴.
，∴，故A正确；
，∴，故B正确；
∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故C正确；
∵，∴，∵，∴，，
∴，∴，故D不正确.故选：ABC
11．若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】BCD
【解析】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；
由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；由
，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.故选：BCD.
12．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．
三、填空题
13．若，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】，当且仅当时，取得最小值.
故答案为：.
14．若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），
因为“，不等式恒成立”，故,故答案为：
15．已知为正实数，则的最小值为__________．
【答案】6
【解析】由题得，设，
则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.
故答案为：6
16．若实数，满足，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由于，(当且仅当时取等号)，∴，又，
所以，故，即的取值范围为.故答案为：．
四、解答题
17．（1）求函数的最小值.
（2）已知，，且，求的最小值.
【解析】（1） ，
，，
当且仅当时，即时，函数有最小值；
（2）由题意，，又，，
，当且仅当，即是等号成立，
结合，知时，有最小值为.
18．（1）已知，且，求的最大值.
（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.
【解析】（1）因为，即，由基本不等式可得，即
当且仅当时，即，等号成立.所以的最大值为
（2）由基本不等式，可得
当且仅当，即当时，等号成立，所以的最小值为
19．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
【解析】（1）因为a，b，c都是正数，所以
，当且仅当时，等号成立，所以；
（2），
当且仅当时等号成立.∴.
20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
【解析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得x+2y＝30，
又∵（）•（x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴的最小值是．
21．已知，且.
(1)求的最小值.
(2)是否存在正实数，使得？请说明理由.
【解析】（1）∵都为正数，且，∴，
当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为；
（2），即，即，
，
当且仅当2x＝y时取等号，故不存在正实数，使得﹒
22．设函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2）
因为，所以由可化为：，
因为（当且仅当，即时等号成立），
所以.所以a的取值范围为.