（人教A版）必修一高一数学上册期末模拟卷03（2份，原卷版+教师版）

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1．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】因为命题：，，所以为，，故选：B
2．设集合，则的子集共有（ ）
A．15个B．16个C．31个D．32个
【答案】B
【分析】分别解出集合，即可求出，则可求出答案.
【详解】由题意得，，或.所以，
所以的子集共有个.故选：B.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合和的正弦公式和辅助角公式即可求出.
【详解】因为，即，即，
即，所以.故选：D.
4．已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，若，则（ ）
A．－8B．－4C．0D．4
【答案】B
【分析】结合条件证得的周期为8，即可求出结果.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，所以的周期为8，所以，故．
故选：B.
5．不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】关于的不等式的解集为.当时，即当时，则有恒成立，符合题意；②当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
6．在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】讨论时和时，函数的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】当时，为指数函数，且递减，为幂函数，且在时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；当时，为指数函数，且递增，为幂函数，且在时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,故选：B
7．已知函数的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简,对称轴为,求出a和，得到解析式.由，且函数在区间上具有单调性，,可得与关于对称中心对称,即可求解的最小值.
【详解】函数，其中.因为函数的一条对称轴为，所以，解得：，所以.对称中心横坐标满足可得：.又，且函数在区间上具有单调性，
所以.所以当k=1时,可得最小.故选：D.
8．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，，
当时，，无零点；当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，则可解得a的取值范围是.
选择题：
9．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABCD
【分析】直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B.
【详解】A中，因为，由基本不等式可知成立；
B中，因为，所以，所以，所以成立；
C中，因为，由基本不等式可知成立；
D中，因为，由基本不等式可得成立.故选：ABCD
10．已知正实数x，y，z满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】在同一坐标系中画出（）的图象，并画出直线的图象，根据图象可判断的大小
【详解】在同一坐标系中画出（）的图象，如图所示
的关系有四种情况 ：，所以AB正确，
的关系有四种情况：，所以CD正确，故选：ABCD
11．已知函数的最小正周期为，图象的一个对称中心为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式公式将函数化简，根据函数的周期求出，再根据函数的对称性求出.
【详解】解：因为，所以，
解得，即.又因为图象的一个对称中心为，
所以，所以，，得，.
因为，所以，.故选：BC
三．填空题
12．把函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数解析式记为，则___________.
【答案】
【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的图像变换性质，运用代入法进行求解即可.
【详解】，由题意可知：，所以，
故答案为：
13．若函数的值域为的子集，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意，对定义域内任意实数，使得恒成立，由此进行讨论分析可求的取值范围．
【详解】解：解析式要有意义，有；
①当时，定义域为，，此时的值域为满足值域为的子集；
②当时，定义域为， 则
所以，满足值域为的子集；
③当时，在略大于时，有，不符合题意；
④当时，有在，上恒成立，
在，上恒成立，要使的值域为的子集，
，．综上可得：实数的取值范围是.故答案为：.
14．已知非负实数，满足，则的最小值为______________.
【答案】
【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】非负实数，满足，有，
则
，当且仅当，即时取“=”，
由，得，所以当时，的最小值为.
故答案为：
四．解答题：
15．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
(1)解：依题意，解得，所以；
(2)解：由（1）可得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，，
即、，所以.
16．已知集合：；集合（m为常数）．
(1)定义且，当时，求；
(2)设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可；
(2)由题意可解得，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得，求解即可.
(1)解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为．故．由可得 即，解得，故，则．
(2)由，即，解得．
因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或，解得，
故m的取值范围为．
17．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【答案】(1)，对称中心为，．
(2)单调递减区间为；，．
【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．
（2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．
(1)解：根据函数，，的部分图像，可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，．
(2)解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，即，
令，，解得，，可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为．
又，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．
18．已知函数
(1)求的值；
(2)从①，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在区间上的最小值，并直接写出函数的一个周期.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)2(2)选①，最小值为，.选②，最小值为，周期为
【分析】（1）直接将代入即可得解；
（2）选①，利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.
选②，根据平方关系可得，求出的范围，再根据二次函数的性质即可求得最值，根据三角函数的周期性即可求出函数的一个周期.
(1)解：;
(2)解：选①，由，，得，
因为，所以，所以，
所以函数在区间上的最小值为，.
选②，由，，得，
因为，所以，所以当时，取得最小值为，
因为，
所以函数的周期可以为.
19．已知函数为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).
【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；
（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.
（3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.
(1)由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；所以；
(2)单调递增，证明如下：由（1）知：，若，
则，
而，即，所以，故单调递增.
(3)由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故