（人教A版）必修一高一数学上册期中模拟卷03（2份，原卷版+教师版）

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1．设集合．若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】由题可得，，当时，，满足；
当时， ，则或，即.综上所述，或.故选：D.
2．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可
【详解】对于A，若，则满足，此时，所以A错误，
对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，故选：C
3．某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【分析】画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案1、2，利用特殊情况判断方案3；
【详解】解：方案1：设米，则米，
则菜园面积，当时，此时菜园最大面积为；
方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，所以，即当且仅当，时取等号；
方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，此时菜园最大面积；故选：C．
4．幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.故选：A.
5．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.
【详解】由，又，所以，
即，充分性成立；当时，即，显然时成立，必要性不成立.故“”是“”的充分非必要条件.故选：A
6．已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】C
【分析】通过已知可判断是周期为4的函数，利用周期性即可求出.
【详解】因为为偶函数，所以，则，
所以，则，所以，所以是周期为4的函数，因为，，所以.
故选：C.
7．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( )
A．、中至少有一个关于乘法是封闭的
B．、中至多有一个关于乘法是封闭的
C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．、中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集、的并集，如为奇数集，为偶数集，或为负整数集，为非负整数集进行分析排除即可．
【详解】若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.故选：A．
8．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．故选：C
选择题：
9．已知是定义在上的奇函数，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】又函数为奇函数可得，，再结合即可得出答案.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，故A一定成立；
又，所以，即，故C一定成立；
无法比较及的大小关系.故选：AC.
10．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD
11．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】AC
【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，又，即关于对称，故B不正确；所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，因为在区间上，有，所以在上单调递增，因为，即，所以的图象关于点成中心对称，故A正确；因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，故C正确；因为，故D错误；故选：AC
三．填空题
12．函数的单调递增区间是________.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据的单调性即可得出.
【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，
而函数的对称轴是，故函数的单调递增区间是.
故答案为：.
13．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
【答案】4880
【分析】设，则可表示出这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出.
【详解】设，，则，则这个简易工作房总造价为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.故答案为：4880.
14．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据给定的全称量词命题和存在量词命题都是真命题分别求出a的取值范围，再求其公共部分即可得解.
【详解】由，得，，因的否定是假命题，则是真命题，于是得，
因，，即方程有实根，则，解得，又是真命题，则，因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是.
故答案为：
四．解答题：
15．设：实数满足，．
(1)若，且，都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）解不等式确定命题，然后求出中范围的交集可得；
（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．
(1)时，，，即，又，而，都为真命题，所以；
(2)，，
是的充分不必要条件，则且等号不能同时取得，所以．
16．已知函数.
(1)当时，证明在区间上的单调递减；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由时，得到，利用函数单调性的定义，即可证得在区间上的单调递减；（2）由对恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合二次函数的性质，得到，得到，即可求解.
(1)证明：当时，函数，设任意的且，
则，
因为且，可得，，且，即，
所以在上是减函数．
(2)解：因为对恒成立，即对任意恒成立，令，
根据二次函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，所以实数的取值范围是.
17．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素；
(2)是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素
【答案】(1)(2)不是集合A中的元素；可以取a=，则A中的元素还有：，，
【分析】(1)根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素；
(2)先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素.
(1)由题意可知：，则，，，，
所以A中其他所有元素为；
(2)假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A的元素，
取，则，，，，
所以当，A中的元素是：，，，；
19．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【分析】(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；
(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.
【详解】解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
（2）因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，所以.
19．已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；
(2)函数为R上的减函数，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明；
（3）先利用赋值法可求出，从而原不等式可化为，再根据函数的单调性可得，然后通过分离参数求最值即可解出．
(1)因为函数的定义域为R，令，所以，即，
令，所以，即，所以函数为奇函数．
(2)不妨设，所以，
而，所以，，
即，故函数为R上的减函数．
(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，
故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，
又，所以，而，当且仅当时取等号，
所以，即实数m的取值范围为．