（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末培优练习拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练（2份，原卷版+解析版）

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类型一 异面直线所成的角（2道）
1、如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，；
(1)求证：直线面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【解题思路】（1）证明平行四边形得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可证明.（2）根据空间直角坐标系根据向量的夹角求线线角.
【解题过程】(1)证明：取的中点P，连
因为分别为的中点，所以
且，又在直三棱柱中，
且，所以且 .
所以四边形为平行四边形，所以
因为平面平面，
所以直线平面；
(2)解：在直三棱柱中平面，所以，又侧面侧面，平面平面，所以平面，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，所以；
所以．
所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为．
2、如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，
(1)求异面直线所成角的余弦值；
(2)求二面角的余弦值．
【解题思路】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案;
(2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.
【解题过程】(1)以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
所以，
所以直线所成角的余弦值为；
(2)设为平面的一个法向量， ,
则m⋅AD=12x+12y=0m·AB1=x+z=0,∴x+y=0x+z=0 ，
，
同理,
则,
可取平面的一个法向量为，
则,
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
类型二 直线与平面的夹角（5道）
3、四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
【解题思路】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【解题过程】(1)证明：因为，，，
由余弦定理，
所以，则，所以，即，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面，又平面，所以；
(2)解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
4、如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【解题思路】（1）由线面平行的判定定理求解即可；
（2）建立坐标系，用向量法求解即可
【解题过程】(1)取的中点，连接，，
在△中，，且，
又，，
所以，且.
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
(2)取的中点为，连接，则.
又平面平面，则平面.
建立如图空间直角坐标系.由已知得
，，，，.
所以，，.
设是平面的法向量，则
即，令，则
设直线与平面所成的角为.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
5、在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成角，点M，N分别是PA，PB的中点.
(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
(2)求二面角的大小的余弦值.
【解题思路】（1）以为原点，向量､､的方向为､､轴的正方向，建立坐标系，设，设面的法向量为，直线与面所成的角为，求出法向量和，再代入公式计算；
（2）由（1）知面的法向量为，设面的法向量为，求出再代入公式计算；
【解题过程】(1)以为原点，向量､､的方向为､､轴的正方向，建立坐标系，
设，则，
∵底面，∴为直线与平面所成的角，
∴，∴，
∴，，，，，，，
，，设面的法向量为，
直线与面所成的角为，
则且，
取，则，，∴，∴.
(2)由（1）知面的法向量为，设面的法向量为，
∵，，，
∴且，
取，则，，则，
∴，
又∵，，
∴二面角的大小的余弦值为.
6、在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
【解题分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；
【解题过程】(1)解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则
(2)解：依题意可得，则，
设平面的法向量为，所以，令，则，
则，显然二面角的锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
7、如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB．
(1)证明：DM⊥PC.
(2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值.
【解题思路】（1）连接AC，交DM于点O，连接PO，根据线段长度关系可得四边形AMCD为菱形，从而得到DM⊥AC，再根据等腰三角形证明DM⊥PO即可证明DM⊥平面PCO ，从而得到DM⊥PC.
（2）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再由（1）可得∠POC＝60°，进而得到，再根据线面角的向量求法求解即可
【解题过程】(1)证明：连接AC，交DM于点O，连接PO.
因为AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点，所以AM＝AD＝CD.
又四边形ABCD为梯形，则四边形AMCD为菱形，所以DM⊥AC.
又PD＝PM，O是DM的中点，所以DM⊥PO.
因为AC⊂平面PCO，PO⊂平面PCO，AC∩PO＝O，所以DM⊥平面PCO
又PC⊂平面PCO，所以DM⊥PC.
(2)以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为二面角P－DM－C的大小为60°，由（1）DM⊥平面PCO ，所以∠POC＝60°，
易得∠BAD＝60°，则.
平面ABCD的一个法向量，设PB与平面ABCD所成的角为，
则，即PB与平面ABCD所成角的正弦值为
类型三 平面与平面的夹角（二面角）（12道）
8、如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．
(1)证明：BE⊥平面PCD；
(2)求二面角P−BD−E的余弦值．
【解题思路】（1）取PD的中点F，连接AF，EF，根据题意证得，，结合线面垂直的判定定理证得结果；（2）如图建立空间直角坐标系，求得平面PBD的法向量为，平面EBD的法向量为，利用向量所成角的余弦值，进而得到二面角P−BD−E的余弦值
【解题过程】(1)证明：取PD的中点F，连接AF，EF，
则，．
又，，所以，，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以．
因为，，所以．
所以
因为平面PAD⊥平面ABCD，，
所以PA⊥平面ABCD，所以，
所以．
又点E为PC的中点，所以
又，所以BE⊥平面PCD．
(2)
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）．
于是
设平面PBD的法向量为，则
得．取．得
设平面EBD的法向量为，则，
得取．得．
所以，
所以二面角P−BD−E的余弦值为.
9、如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面是正方形，是的中点，，，．
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【解题思路】（1）由正方体对角线垂直结合可得，结合题意根据线面垂直的判断定理证明；
（2）利空空间向量处理面面夹角，．
【解题过程】(1)证明：连，因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又，所以，
而，，所以平面，
因为平面，所以．
(2)解：取的中点，连、，则，所以、、、四点共面，
又平面，平面，所以，
又，，所以面，
以为原点，过垂直于的向外的射线为轴，为轴，为建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
由，所以，
所以，又
设为平面的法向量，
由，则，取，可得，
又是平面的一个法向量，
设平面与平面所成的角为，
所以．
10、如图，在四棱锥中，底面，E､分别为棱的中点
(1)作出平面与平面BFE的交线，并说明理由.
(2)求二面角的余弦值.
【解题思路】（1）根据证明平行四边形可得平行线，进而可得四点共面，进而根据交点可找交线.
（2）根据空间坐标法，利用法向量的夹角求二面角大小.
【解题过程】(1)如图，取的中点，连接交于，
连接，则平面平面
以下为证明过程
，则四边形为正方
形，四边形为平行四边形，，又，故
为平行四边形，.
则，B､F､E､四点共面，平面，
又平面为平面与平面的公共点，又为平面与平面的公共点
平面平面
(2)因为底面平面，所以，
.由题意可知，两两垂直，建立如图所示的空间直角
坐标系，不妨令，则，
所以，
设平面的一个法向量为.
由得：不妨令，得.
故平面的一个法向量，
，所以
设平面的一个法向量为.
由得令，得，
所以.
因为二面角为锐角，所以一面角的余弦值为
11、如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点.
(1)求证：；
(2)若，求二面角的大小.
【解题思路】（1）取中点，由面面垂直和线面垂直性质可证得，结合，由线面垂直判定可证得平面，由线面垂直性质可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果.
【解题过程】(1)取中点，连接，
为等边三角形，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
分别为中点，，又，，
平面，，平面，
又平面，.
(2)以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
由得：，解得：，即，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，；
由图象知：二面角为锐二面角，二面角的大小为.
12、如图，点O是正方形ABCD的中心，，，，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若直线OE与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【解题思路】（1）由正方形性质和线面垂直判定可知平面，由此可得，结合，由线面垂直的判定可得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角定义可求得，利用二面角的向量求法可求得结果.
【解题过程】(1)四边形为正方形，
，又，，平面，
平面，
平面，
；
又，，平面，
平面.
(2)
以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
平面，
直线与平面所成角为，
，
解得：；
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
；
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
13、已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.
(1)若，求证：；
(2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.
【解题思路】（1）根据题意可证平面BDG，可得，得证平面ACE，得，再根据面面平行的性质可证；（2）根据题意可得，，利用空间向量求二面角．
【解题过程】(1)连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴，
由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，
又，BD，平面BDG，
∴平面BDG，因为平面BDG，
∴
已知，又，AC，平面ACE，
∴平面ACE，
因为平面BDG，∴
∵平面平面CFGD
平面平面，平面平面，
∴，则
(2)
已知，，可求，
由，则
在直四棱柱中，底面ABCD，
所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则
在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则
设平面BCE的法向量为，
则
取，得，，得，
由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为
则，
所以锐二面角的余弦值为
14、如图，在四棱锥中，平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且．
(1)若，证明：平面AMN．
(2)若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长．
【解题思路】（1）根据条件首先证明，再证明，由线面垂直的判定定理即可证明平面.
（2）如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面MNA与底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的长.
【解题过程】(1)证明：连接BD，因为底面为正方形，
所以．
因为平面，平面，
所以．
又，平面，平面，
所以平面
因为平面，所以．
同理，．
在中，M，N分别为PB，PD的中点，所以．
因为，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
(2)解：如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，解得．
所以，．
15、如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点.
(1)证明：；
(2)若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小.
【解题思路】（1）先证明 平面PAC，再证明 ；
（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求二面角.
【解题过程】(1)如图，在中，因为，，由正弦定理得：
，故，又因为，所以，
则，即.
又因为平面ABC，所以，
又，所以平面PAC，又因为平面PAC，
所以；
(2)因为平面ABC，，所以CA，CB，CP两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，
设平面BCM的一个法向量为
由 ，即 ，可取，
可取为平面PBC的一个法向量，
所以，
所以平面PBC与平面BCM所成角的大小为；
综上，平面PBC与平面BCM所成角的大小为.
16、如图，在三棱锥中，，平面，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面的夹角大小.
【解题思路】（1）从所要证明的结论分析：要证平面平面，即证平面，即证平面，即证，进而得到证明思路；
（2）方法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的大小；方法二：过作，垂足为，连接，找出二面角的平面角，利用余弦定理求其大小.
【解题分析】(1)证明：因为平面，平面，
所以.
因为，，
所以平面.
因为，，
所以，
故平面.
因为平面，
所以平面平面.
(2)方法一：因为，，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以，
所以.
所以平面与平面的夹角的大小为.
方法二：如图，过作，垂足为，连接.
由（1）中的垂直关系及条件，可计算得
，，
所以.
所以.
所以为二面角的平面角.
，
.
.
所以.
在中，由余弦定理可得
.
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为.
17、如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，.
(1)若E为劣弧的中点，求证：平面POE；
(2)若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值.
【解题思路】（1）推导出平面，，，由此能证明平面．
（2）推导出，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【解题过程】(1)证明：为圆锥的高，
平面，又平面，，
为劣弧的中点，，
，平面，平面．
(2)解：为劣弧的三等分点（靠近点，
为底面圆的直径，为圆上一点，并且，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，，，，0，，，3，
，0，，，，，，，，，3，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则，．
二面角的余弦值为．
18、如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【解题过程】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
19、如图，在四棱锥中，∥,，,为边的中点，异面直线与所成的角为90°．
(1)在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值；
(2)若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．
【解题思路】(1)由题意可得是正方形，平面，建立坐标系，用空间向量求解；
(2由题意可得∥平面PBE,于是到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，由解得，进而得平面的法向量，再求得平面的法向量，即可求解.
【解题过程】(1)解：∥,，,为边的中点，所以四边形是正方形，
因为,异面直线与所成的角为90°,
所以,
又因为在平面内相交，
所以平面,建立如图所示的坐标系：
设，,则，
令，
因为，，
所以是平面PBE的法向量.
要使平面PBE，
只需，
解得：；
(2),
因为∥,
又因为平面PBE, 平面PBE,
所以∥平面PBE,
所以到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，
于是，
解得：，
所以,,
令，
因为，
所以是平面的法向量，
由(1)可知平面的法向量，
因为平面与平面的夹角为锐角，
所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为：.
类型四 点到面的距离（3道）
20、如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．
(1)求证：平面；
(2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离．
【解题思路】
（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
（2）取中点，然后证明平面，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
【解题过程】(1)作，交于点，由，则，
∵，
∴，即，
∴且，连接，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
(2)取中点，连接、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，
则，又平面平面，平面平面，
∴平面，
∵是等边三角形，
∴，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为.
21、如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点.
（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
【解题思路】（1）取的中点，连结、，可以证明得四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点；
（2）先证明，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角的余弦值为，求出的长度，进而利用点面距的坐标公式求解即可．
【解题过程】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点.
证明：取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且.
四边形为平行四边形.
，又平面，平面，
平面；
（2）取中点，
因为底面为菱形，所以，
又，且，
所以平面，即.
又，即，而
所以平面.又，
所以为正三角形，即，也即
所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
所以，.
设平面的一个法向量为.
由，取，得；
取平面的一个法向量为.
由题意，，解得.
.
设点到平面的距离为，则.
即点到平面的距离为
22、在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
【解题思路】
（1）利用线面平行的判定定理即得；
（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.
【解题分析】(1)设PB的中点为G点，连接GF和GE，
因为点G、点F分别为PB和PC的中点，
所以且，又且，
所以且，
所以四边形GFDE为平行四边形，
所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，
所以DF∥平面PBE；
(2)由二面角的大小为可知，平面平面，
取BE得中点O，连接，则，平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
设平面PCD的法向量为，
则，
令则，又，
所以点A到平面PCD的距离为.
类型五 空间向量动点的设法（3道）
23、如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，.
(1)求证：平面AEG；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）利用三角形中位线证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面SCD的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案;
（3）假设存在点H，设，表示出的坐标，根据BH与平面SCD所成角的大小为,利用向量的夹角公式计算，可得答案.
【解题过程】(1)证明：连接FG，在中，F，G分别为SD，SB的中点，
所以，
又因为平面AEG，平面AEG，
所以平面AEG.
(2)因为平面ABCD，AB，平面ABCD，
所以，，又，所以，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,，
，，
设平面SCD的法向量为，
则 ,即
令，得，，
所以平面SCD的一个法向量为，
又平面ESD的一个法向量为，
所以，
由图形可知，二面角的余弦值为.
(3)存在，理由如下：
假设存在点H，设，
则,
由（2）知，平面SCD的一个法向量为，
则，
即，所以，则，
故存在满足题意的点H，此时.
24、如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
(1)求二面角的大小；
(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面PAB的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证平面，则即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.
（2）假设存在点Q满足题意，设，因为，即可求得Q点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得值，即可得答案.
【解题过程】(1)由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
(2)假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
25、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.
(1)当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(2)若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.
【解题思路】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，
（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角
【解题过程】(1)因为底面ABCD，平面，
所以,
因为，
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，点E为棱PC的动点，
所以，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线BE与平面PBD所成角为，则
，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，
(2)，
因为E为棱PC上任一点，所以设，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则
，
所以二面角P-AB-E的余弦值为
类型六 与动点有关的最值问题（4道）
26、已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．
(1)求证：平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
【解题思路】（1）先由证得CD//平面PAB，再由线面平行的性质得，最后由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD的法向量，求出，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.
【解题过程】(1)由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，
平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，
CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；
(2)
取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，设，则，则有，，
设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，
设PC与平面MAD所成角为，则，令，，
则，当即时，有最小值，
即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.
27、如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.
(1)证明：；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面，满足，利用换元法结合二次函数的最值即可求解.
【解题过程】(1)证明：取中点，连接，
因为，所以，且，
所以平面，
又平面，所以.
(2)连接，则，由，可得，
于是，所以，
又，所以平面，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由，可得，
平面的法向量为，
设，则，
设与平面所成角为，
则，
令，则，
令，由对称轴知，当，即时，，
，于是
直线与平面所成角的正切的最大值为2.
28、已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：；
(2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.
【解题思路】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.
【解题分析】(1)因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面，底面，
所以，
因为，所以，
又，平面，
所以平面.
所以两两垂直.
以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
所以.
由题设.
（1）因为，
所以，
所以；
(2)设平面的法向量为，
因为，
所以，即.
令，则.
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则.
当时，取最小值为，
此时取最大值为，
所以，
此时，三棱锥的体积.
29、如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，且动点P在线段AC上运动．
(1)若Q为的中点，求点Q到平面的距离；
(2)设直线与平面所成角为，求的取值范围．
【解题思路】(1)以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法计算即可；
(2)设点，，进而得出的坐标，利用向量的数量积即可列出线面角正弦值的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【解题过程】(1)由题意，分别以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，
于是，，，．
，，设平面的法向量
所以，解得，，
令得，，
设点Q到平面的距离为d，
(2)由（1）可知，平面的法向量，
由P点在线段AC上运动可设点，．
于是，
，
所以，的取值范围是
类型七 立体几何的探索性问题（3道）
30、如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.
(1)求证：平面；
(2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）通过和即可证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.
【解题过程】(1)在图（1）中，，
所以，即，
则在图（2）中，因为，即，
因为，所以平面；
(2)因为平面，所以是四棱锥的高，
所以，则，
因为，则可以为原点建立如图空间直角坐标系，
假设存在大小为的二面角，设，又，
所以，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，令，则，则，
又，即，令，则，则，
则，解得或（舍去），
因此存在大小为的二面角，此时线段的长度.
31、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得；
（2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得.
【解题过程】(1)取棱的中点O，连接．
因为四边形是菱形，所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
(2)因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取得．
假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取，得．
由，
解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
32、如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点．
(1)求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；
(2)在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证两两互相垂直，以为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD的一个法向量 ，再由求解；
（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一个法向量，然后由求解.
【解题过程】(1)解：分别取AB，BC中点M，N，则，
又平面则两两互相垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设平面SCD的一个法向量为 ，
，，
则，
，
直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.
(2)假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，
，
，
设平面MEF的一个法向量 ，
，
令，则 ，
平面MEF平面SCD，
，
，
存在点，此时M与S重合.