专题01空间向量定理与范围最值（期中专项训练）（原卷版+解析版）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

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题型1 基底
题型8 基底转化求数量积（重点）
题型2 双体系基底互换
题型9 基底转化求长度求模
题型3 空间“绕三角形”（重点）
题型10 空间轨迹与动点 （难点）
题型4 基底求参 （重点）
题型11 动点数量积最值范围
题型5 三点共线求参
题型12 动点长度最值范围 （常考点）
题型6 空间点共面求参
题型13 空间定理的应用
题型7 空间向量共面定理应用 （常考点）

题型一、基底 （共3小题）
1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．（23-24高二上·吉林长春阶段练习）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．C．D．或
题型二、双体系基底互换（共3小题）
4．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25高二上·河南·阶段练习）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型三、空间“绕三角形”（共3小题）
7．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型四、基底求参（共3小题）
10．（24-25高二上·福建福州·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．0
11．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
12．（22-23高二上·云南大理·期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
题型五、三点共线求参 （共3小题）
13．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．B．1C．3D．或3
15．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
题型六、空间点共面求参 （共3小题）
16．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
18．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
题型七、空间向量共面定理应用 （共3小题）
19．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
20．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
（24-25高二上·广东汕头·期中）已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ．
题型八、基底转化求数量积 （共3小题）
22．（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
23．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则
A．B．C．D．
24．（2025高三·全国·专题练习）已知空间四点满足，，，，则的值（ ）．
A．只有一个B．有两个C．有四个D．有无穷多个
题型九、基底转化求长度求模 （共3小题）
25．（25-26高二上·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
26．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（ ）
A．B．C．D．
27．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）．

B．C．D．
题型十、空间轨迹与动点 （共3小题）
28．（2025·江西·二模）已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．B．C．D．
29．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，已知点在棱长为4的正方体的表面上运动，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若点满足，则点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
30．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．3C．D．
题型十一、动点数量积最值范围 （共3小题）
31．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，，点在线段上，且是正方体表面上的一个动点，是空间内的两个动点，若且，则的最小值为 ；最大值为 ．

32．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 .
33．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 .
题型十二、动点长度最值范围 （共3小题）
34．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 ．
35．（2025高二·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为 ．
36．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为 .
题型十三、空间定理的应用 （共2大题）
37．（2025高二上·全国·专题练习）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)；
(3)三点共线．
38．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，．
(1)以为基表示；
(2)若，，，，求的最小值．