初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.2 勾股定理及其逆定理授课ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.2 勾股定理及其逆定理授课ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，勾股定理，ABAB，解得x12，4解决实际问题，数学问题，直角三角形，实际问题，侧面展开图，数学思想等内容，欢迎下载使用。
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）
思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？
勾股定理的简单实际应用
实际问题：梯子顶端往上移动的距离.
解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m，
因此 A'A = A'B－AB≈3.87－3.71 = 0.16 (m).
即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m.
在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m，
例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在 Rt△ABC 中，AC = 6 米，BC = 8 米，由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（米）.
例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少？
分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'.
解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺，
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，
在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得，
52 + x2 = (x+1)2，
故芦苇长为 13 尺.
答：水池的水深 12 尺.
AB = AB' = (x + 1) 尺.
所以 B'C = 5 尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
解：(1) 在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 ∴这条“近路”的长为 5 米.
练一练 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草.(1) 求这条“近路”的长；(2) 他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？
(2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步).
AC+CB ＞AB（两点之间线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
利用勾股定理求最短距离
蚂蚁 A→B 的路线
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，蚂蚁怎么走最近？
根据两点之间线段最短易知上面路线最近.
若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3.
解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得
立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
例3 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?
解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米.
【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处放了一滴蜂蜜，你能帮小蚂蚁求出找到蜂蜜的最短路程么？
AB12 =102 + (6+8)2 = 296，
AB22= 82 + (10+6)2 = 320，
AB32= 62 + (10+8)2 = 360，
解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得
∴ AB1＜AB2＜AB3.
如图是一个边长为 1 的正方体硬纸盒，现在 A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面爬到 B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：由题意得 AC = 2，BC = 1.在 Rt△ABC 中，由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 22+ 12 = 5.∴ AB = ，即最短路程为 .
1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是(　　)A. 24 m B. 12 m C. m D. m
2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是(　　)A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
3. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C.由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)， 答：小鸟至少飞行 10 米.
4. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：台阶的展开图如图，连接 AB.
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得
AB2 = BC2＋AC2＝552＋482 ＝ 5329= 732.
∴AB = 73 cm.