初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第5章 直角三角形5.2 勾股定理及其逆定理教案配套ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第5章 直角三角形5.2 勾股定理及其逆定理教案配套ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了学习目标，你知道为什么吗，勾股定理的认识及验证，一直角边2，另一直角边2，斜边2，方法一割，方法二补，方法三拼，∵S大正方形＝c2等内容，欢迎下载使用。
1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
小优去朋友家做客，看到她朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
问题4 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
下面的动图形象的说明了命题 1 的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
直角三角形两直角边 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方. a2 + b2 = c2.
利用勾股定理进行计算
例1 在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.(1) 若a = 1， b = 2，求 c. (2) 若a = 15，c = 17，求 b.
(2) 根据勾股定理得，b² = c² - a² = 17² - 15² = 64.因为 b > 0，所以 b = 8.
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c =5，求 a ；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
x2 + (2x)2 = 52，
(2) ∠A = 30°，b = 15，
因此设 a = x (x>0)，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152 ，
总结 方程思想与勾股定理的结合是解决求边长类问题的有效办法.
【变式题2】在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：当 AB 为斜边时，如图①，当 BC 为斜边时，如图②，
总结 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，需要进行分类讨论，否则容易漏解.
例2 如图，已知在等腰三角形 ABC 中，AB = AC =13，BC = 10，AD 是底边 BC 上的高线，求 AD 的长.
解 根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边 BC 上的中线，
在Rt△ABD中，由勾股定理得， AD² + BD² = AB²，
求下列图中未知边长 x，y 的值：
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15.
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数 k (k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
4.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
1.下列说法中，正确的是 （ ）A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 cm².
3.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
4.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角 形的面积.
解：设另一条直角边长是 x cm.由勾股定理得 152 + x2 = 172，即 x2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64，所以 x = 8（负值舍去），所以另一直角边长为 8 cm.
直角三角形的面积是
6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B = 45°，∠C = 30°，AD = 1，求△ABC 的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°．在 Rt△ADB 中，∵∠B +∠BAD = 90°，∠B = 45°，∴∠B = ∠BAD = 45°.∴BD = AD = 1，∴AB = ．在 Rt△ADC 中，∵∠C = 30°，∴AC = 2AD = 2.∴CD = ， ∴BC = BD + CD = 1+ .∴△ABC 的周长为 AB + AC + BC = ．
解：∵AE＝BE，∴S△ABE ＝ AE·BE ＝ AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2 ＝AB2.∴S△ABE ＝ AB2 ＝ ；同理可得 S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.又∵AC2＋BC2 ＝ AB2，∴阴影部分的面积为 AB2＝ .
7. 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB ＝ 3，求阴影部分的面积.
8. 已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6， S7 的值.
S5 = S1 + S2 = 4，
S7 = S5 + S6 = 10.
S6 = S3 + S4 = 6，