2026甘肃职教高考 数学 总复习7．3　平面向量的内积课件

这是一份2026甘肃职教高考 数学 总复习7．3　平面向量的内积课件，共55页。PPT课件主要包含了°～180°，0°180°，a⊥b，a·c＋b·c，－15等内容，欢迎下载使用。
7．3　平面向量的内积
第7章　平 面 向 量
1．两个向量的夹角设两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，由射线OA与OB所形成的 范围内的角叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围用区间表示为 ，并且〈a，b〉＝〈b，a〉．
当a与b方向相同时，〈a，b〉＝ ；当a与b方向相反时，〈a，b〉＝ .当〈a，b〉＝ 时，向量a与b垂直，记作 .
2．两个向量的内积(1)定义：两个向量的内积等于这两个向量的 与它们夹角的 的积，记作a·b，即a·b＝ .【注意】　两个向量的内积是数量而不是向量．
|a||b|cs〈a，b〉
(2)性质①当〈a，b〉＝0时，a·b＝__ _；当〈a，b〉＝π时，a·b＝__ __；a·0＝__ __，0·a＝__ __.②|a|＝________(模的计算公式).③cs 〈a，b〉＝________(夹角计算公式).
(3)满足的运算律：①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝ .【注意】　(a·b)·c≠a·(b·c).
3．向量内积的坐标表示在平面直角坐标系xOy内，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .(1)模的计算公式：|a|＝__________.(2)夹角的计算公式：cs 〈a，b〉＝___________________.
4．向量垂直的条件对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________.
【例1】已知|a|＝2，|b|＝2 ，〈a，b〉＝45°，求a·b，a·(2a－3b)，(a＋b)·(a－b)，|a－b|.
|a－b|＝ ＝ ＝ ＝ ＝2.
【解】a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝2×2 cs 45°＝4；a·(2a－3b)＝a·2a－a·3b＝2a·a－3a·b＝2|a|2－3a·b＝2×22－3×4＝－4；(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝22－ ＝－4；
【变式训练1】已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，求(2a＋b)·b.
解：a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝3×4cs 120°＝－6.(2a＋b)·b＝2a·b＋|b|2＝2×(－6)＋4×4＝4.
【例2】 已知向量a·b＝－6，|a|＝4，|b|＝3，则向量a与b的夹角是(　　) A． B． C． D．
【变式训练2】已知a·b＝－2，|a|＝|b|＝ ，则向量a与b的夹角是(　　) A．60° B．120° C．150° D．180°
【例3】 已知a＝ ，b＝ ，求a·b，|a|，〈a，b〉．
【点拨】本题主要考查向量的内积、模的计算公式及夹角的坐标计算公式．
【解】a·b＝－ ×1＋(－1)× ＝－2 ，|a|＝ ＝2，同样可求得|b|＝2.∵cs 〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝ .
【变式训练3】已知a＝(3，－2)，b＝(1，－5)，c＝(－2，3)，求：(1)|c|；(2)a·(b＋c).
解：(1)|c|＝ ＝ .(2)b＋c＝(1，－5)＋(－2，3)＝(－1，－2)，a·(b＋c)＝3×(－1)＋(－2)×(－2)＝1.
【例4】(2024年甘肃省分类考试)已知向量a＝(－3，4)，b＝(8，m)，若a⊥b，求m的值．
【点拨】对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
【解】由a⊥b可知a·b＝0，即－3×8＋4m＝0，解得m＝6.
【变式训练4】(2020年甘肃省分类考试)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3－k，k)，若a⊥b，求k的值．
解：由a⊥b可知，a·b＝0，即3－k－2k＝0，解得k＝1.
【例5】　已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，且(3a＋5b)⊥(ma－b)，求m的值．
【点拨】本题主要考查非零向量垂直的充要条件．
【解】由(3a＋5b)⊥(ma－b)，得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，∴3m|a|2＋(5m－3)|a||b|cs 60°－5|b|2＝0，
∴3m×12＋(5m－3)×1×2× －5×22＝0，解得m＝ .
【变式训练5】已知单位向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，求〈a，b〉．
解：(a＋2b)·(5a－4b)＝5a·a－4a·b＋10a·b－8b·b＝5|a|2＋6a·b－8|b|2＝0，可得a·b＝ .根据cs 〈a，b〉＝ ＝ ，可得〈a，b〉＝ .
【例6】　如图7－8所示，在△ABC中，M是BC的中点， ＝3，点P在AM上，且满足 ＝2 ，求 .图7－8
【点拨】本题考查了向量内积的性质、数乘向量的意义等知识，在计算中巧妙地利用向量的加法进行了转化．
【解】由M是BC的中点可知 ，∴ ，又∵ ，∴ ，则 ，因此， .
解：∵△AOB是以O为顶点的等腰直角三角形，∴ ＝0，即(a＋b)·(a－b)＝0，得到|a|2－|b|2＝0；|OA|＝|OB|，即|a|2＋|b|2＋2ab＝|a|2＋|b|2－2ab，得到ab＝0.
一、单项选择题1．设a，b均为非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知a·b＝3 ，|a|＝3，|b|＝2，则〈a，b〉等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120°
3．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，x)，若a⊥b，则x＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2
4．下列各对向量中，相互不垂直的是(　　) A．a＝(2，－2)，b＝(－1，1) B．a＝(0，－5)，b＝(6，0) C．a＝(2，1)，b＝(－1，2) D．a＝(4，－3)，b＝(－3，－4)
5．已知A(－3，4)，B(4，－3)，下列说法正确的是(　　) A． ＝ B． ＝24 C． ⊥ D． ＝7
6．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－1)，B(3，1)，C(2，2)，则此三角形为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
7．在四边形ABCD中，若 ＝0，且 ，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．已知下列命题： (1)若k∈R，且kb＝0，则k＝0或b＝0； (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0； (3)若不平行的两个非零向量a和b，满足|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0； (4)若a与b平行，则a·b＝|a||b|. 其中真命题有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题9．已知a·a＝25，则|a|＝________．
10．已知i和j分别与x轴和y轴正方向相同的单位向量，当a＝3i＋2j，b＝i－3j，求5a·3b＝________．
11．在边长为2的正三角形ABC中， ＝________．
12．已知a＝(3，0)，b＝(－5，5)，则a·b＝________，〈a，b〉＝________．
13．已知a＝(2，－5)，b＝(－3，m).若a⊥b，则m的值为________；若a∥b，则m的值为________．
14．已知点A(1，－2)，B(2，6)，C(－3，5)，则 ＝________．
三、解答题15．已知向量a，b满足|a|＝8，|b|＝5，a和b的夹角是120°，求：(1)a·b；(2)|2a－b|；(3)(2a＋b)·(a＋b).
解：(1)a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉 ＝8×5×cs 120° ＝－20.
(2)|2a－b|＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝19.
(3)(2a＋b)·(a＋b)＝2a2＋3a·b＋b2 ＝2|a|2＋3a·b＋|b|2 ＝2×82＋3×(－20)＋52 ＝93.
16.已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时：(1)ka＋b与a－2b垂直？(2)ka＋b与a－2b平行？
解：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2) ＝(k，2k)＋(－3，2) ＝(k－3，2k＋2)，
a－2b＝(1，2)－2(－3，2) ＝(1，2)－(－6，4) ＝(7，－2).(1)∵(ka＋b)⊥(a－2b)，∴7(k－3)＋(－2)(2k＋2)＝0，解得k＝ .
(2)∵(ka＋b)∥(a－2b)，∴(－2)(k－3)－7(2k＋2)＝0，解得k＝－ .
17．已知向量a＝(6，2)，b＝(3，－1)，若向量c满足c∥(a－b)，b⊥(a＋c)，求向量c的坐标．
解：设c＝(x，y)，则a－b＝(3，3)，a＋c＝(6＋x，2＋y).由c∥(a－b)得3x－3y＝0，即x－y＝0①；由b⊥(a＋c)得3(6＋x)＋(－1)(2＋y)＝0，即3x－y＝－16②.
联立式①②，解得x＝－8，y＝－8，故向量c的坐标为(－8，－8).
18．已知a＝(2，sin α)，b＝(cs α，1)，且a⊥b，求sin α，cs α的值．
解：∵a⊥b，∴ 得 或