2026甘肃职教高考 数学 总复习7．2　平面向量的坐标表示课件

这是一份2026甘肃职教高考 数学 总复习7．2　平面向量的坐标表示课件，共41页。PPT课件主要包含了第2页共42页，a＝xi＋yj，－57，5－7，7－6，－2－1，3－2，－7－5，－22等内容，欢迎下载使用。
7．2　平面向量的坐标表示
第7章　平 面 向 量
1．向量的坐标在平面直角坐标系中，设x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向量为j，则对于任意向量a都有唯一一对有序实数对(x，y)，使得 ，有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝ .
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的坐标等于________________，也就是说任意向量 的坐标等于 的坐标减去 的坐标．(2)设A(x，y)，则 (O为坐标原点)的坐标等于 ，也就是说起点在原点的向量的坐标等于 的坐标．
2．向量线性运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，a－b＝_______________，λa＝_______________.
3．向量平行条件的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔________________.
【例1】已知 ＝(－3，2)，点B(2，－1)，则点A的坐标是(　　) A．(5，3) B．(5，－3) C．(－5，－3) D．(－5，3)
【提示】本题主要考查任意向量坐标的求法．设A(x1，y1)，由(2，－1)－(x1，y1)＝(－3，2)，得(x1，y1)＝(2，－1)－(－3，2)＝(5，－3).
【变式训练1】已知点A(x，3)，B(5，y)，且 ＝(3，－1)，则x，y的值为(　　) A．2，－2 B．－2，－2 C．2，2 D．－2，2
【提示】 本题主要考查任意向量坐标的求法．由(5，y)－(x，3)＝(3，－1)，得(5－x，y－3)＝(3，－1)，即5－x＝3，y－3＝－1，得x＝2，y＝2.
【例2】 (2020年甘肃省分类考试)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，1)，则|2a＋b|＝________．
【变式训练2】已知向量a＝(3，6)，b＝(－1，2)，则| | ＝________．
【例3】　已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－5)，c＝(2，－3)，且c＝xa＋yb，求x和y的值．
【点拨】将向量的坐标等式正确转化为方程组是解题的关键．
【解】由c＝xa＋yb且a＝(1，2)，b＝(－2，－5)，c＝(2，－3)，得(2，－3)＝x(1，2)＋y(－2，－5)，即 解得
【变式训练3】已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，－2)，c＝(－3，14)，试用a，b表示c.
解：设c＝ma＋nb，得 解得 故c＝9a＋2b.
【例4】已知i和j分别是x轴和y轴上与坐标轴正向同向的单位向量，并且a＝4i－3j，b＝2i＋5j，求5a－3b.
【点拨】将向量a，b分别用单位向量i，j线性表示进行计算，也可以直接用坐标进行计算．直接写出坐标进行计算比较简单．
【解】(方法一)5a－3b＝5(4i－3j)－3(2i＋5j)＝20i－15j－6i－15j＝14i－30j，故5a－3b的坐标是(14，－30).(方法二)由于a＝(4，－3)，b＝(2，5)，故5a－3b＝5(4，－3)－3(2，5)＝(20，－15)－(6，15)＝(14，－30).
【变式训练4】已知i和j分别是x轴和y轴上与坐标轴正向同向的单位向量，并且a＝2i＋3j，b＝i－7j，求|a＋b|.
解：(方法一)a＋b＝2i＋3j＋i－7j＝3i－4j，故a＋b的坐标为(3，－4)，|a＋b|＝ ＝5.(方法二)由于a＝(2，3)，b＝(1，－7)，故a＋b＝(3，－4)，|a＋b|＝ ＝5.
【例5】　已知▱ABCD的三个顶点的坐标为A(－2，1)，B(－3，3)，C(3，4)，求顶点D的坐标．
【点拨】a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)相等⇔x1＝x2且y1＝y2.
【解】设顶点D的坐标为(x，y)，由题意可知 ＝ ， ＝(x，y)－(－2，1)＝(x＋2，y－1)， ＝(3，4)－(－3，3)＝(6，1)，故(x＋2，y－1)＝(6，1)，即 解得因此，顶点D的坐标是(4，2).
【变式训练5】已知向量a＝(1，1)，点A(2，0)，点B为直线y＝2x上的点，若 ∥a，求点B的坐标．
解：设点B的坐标为(a，2a)， ＝(a－2，2a).∵ ∥a，∴x1y2－x2y1＝0，解得a＝－2.
【例6】(2023年甘肃省分类考试)若非零向量a∥b，a＝(2，4)，b＝(x，6)，则x＝________．
【点拨】本题主要考查两个向量平行的条件．平行的条件：两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)平行⇔x1y2－x2y1＝0.由a∥b可知，x1y2－x2y1＝0，即2×6－4x＝0，解得x＝3.
【变式训练6】已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，若(a＋b)∥(2a－b)，则x＝________．
解：a＋b＝(1，2)＋(2，x)＝(3，2＋x)，2a－b＝2(1，2)－(2，x)＝(0，4－x)，∵(a＋b)∥(2a－b)，∴x1y2－x2y1＝0，解得x＝4.
【例7】已知三点A(2，1)，B(－4，x)，C(5，0)共线，求x的值．
【点拨】共线的三个点中，任意两点都可以确定一个向量，共可以确定三个向量，它们都是共线的，然后利用向量共线的条件解之．共线的条件：两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.
【解】由A，B，C三点共线可知 ∥ ， ＝(－4，x)－(2，1)＝(－6，x－1)， ＝(5，0)－(2，1)＝(3，－1)，∴－6×(－1)－3(x－1)＝0，解得x＝3.
【变式训练7】已知三点A(x，3)，B(－1，2)，C(5，2x)在同一条直线上，求x的值．
解：由A，B，C三点共线可知 ∥ ， ＝(－1，2)－(x，3)＝(－1－x，－1)， ＝(5，2x)－(x，3)＝(5－x，2x－3)，∴(－1－x)×(2x－3)＋(5－x)＝0，解得x＝2或x＝－2.
一、单项选择题1．已知A(－2，2)，B(4，6)两点，则向量 的坐标为(　　) A．(－6，－4) B．(6，4) C．(2，8) D．(－6，4)
2．已知 ＝(5，7)， ＝(－2，－1)，则2 －3 等于(　　) A．(16，4) B．(16，17) C．(－16，11) D．(4，11)
3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(3－k，k)，若a∥b，则k＝(　　) A．1 B．－2 C．6 D．2
4．已知A(－4，1)，B(0，5)两点，M为线段AB的中点，则向量 的坐标是(　　) A．(－2，3) B．(2，－2) C．(2，2) D．(－2，2)
5．下列各对向量中，互相平行的是(　　) A．a＝(4，2)，b＝(－3，5) B．a＝(－3，4)，b＝(4，3) C．a＝(2，－3)，b＝(3，－2) D．a＝(5，－2)，b＝(－5，2)
6．下列说法中，不正确的是(　　) A．零向量和任何向量平行 B．平面上任意三点A，B，C，一定有 ＋ ＝ C．若 ＝m (m∈R)，则 ∥ D．若a＝x1e1，b＝x2e2，当x1＝x2时，a＝b
7．若a＝(1，0)，b＝(1，2)，且ma＋nb＝(3，2)，则m，n的值为(　　) A．m＝2，n＝1 B．m＝2，n＝－1 C．m＝－2，n＝1 D．m＝－2，n＝－1
8．已知a＝(2，sin α)，b＝ ，若a∥b，α为第一象限角，则α＝(　　) A． B． C． D．
二、填空题9．已知线段AB的中点M的坐标是(－1，1)，点A的坐标是(－3，1)，则点B的坐标是________．
10．(1)已知A(7，－6)，B(2，1)，则 的坐标是________， 的坐标是________， 的坐标是________， 的坐标是___________．(2)已知A(4，－5)， ＝(－1，3)，则点B的坐标是________．(3)已知Q(－2，0)， ＝(5，5)，则点P的坐标是_________．
11．已知a＋b＝(2，4)，a－b＝(6，0)，则a＝________，b＝__________．
12．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，2)，且pa＋qb＝(3，2)，则p＝________，q＝________．
13．已知点P(x，－2)，Q(3，2)，A(0，1)，B(1，2)，且 ∥ ，则x的值是________．
14．已知▱ABCD的顶点A(1，2)，B(2，－1)，C(3，1)，则顶点D的坐标为________．
三、解答题15．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－1，x＋2)，若2a－b与a＋b共线，求b的坐标．
解：2a－b＝2(2，－3)－(－1，x＋2)＝(5，－8－x)，a＋b＝(2，－3)＋(－1，x＋2)＝(1，x－1)，∵2a－b与a＋b共线，∴5(x－1)－(－8－x)＝0，得x＝－ .
16．已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，6)，c＝(0，2)，实数x，y满足等式xa＋yb＝c，求x，y的值．
解：由xa＋yb＝x(2，1)＋y(－3，6)＝(2x－3y，x＋6y)＝(0，2)，得 解得
17．已知A(2，－1)，B(3，m)，C(－1，m＋1)三点共线，求实数m的值．
解：由A，B，C三点共线得 ∥ ， ＝(3，m)－(2，－1)＝(1，m＋1)， ＝(－1，m＋1)－(3，m)＝(－4，1)，故1×1－(－4)×(m＋1)＝0，解得m＝－ .