2026甘肃职教高 总复习8．2　直线的方程课件

这是一份2026甘肃职教高 总复习8．2　直线的方程课件，共56页。PPT课件主要包含了直线的方程，0°180°，正切值，tanα，不存在，y＝kx＋b，Ax＋By＋C＝0，x－y－4＝0，y－3＝0等内容，欢迎下载使用。
第8章　直线和圆的方程
1．直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，直线l向上的方向与x轴的______方向所成的最小正角叫作直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行(或重合)时，规定直线l的倾斜角为________，所以直线的倾斜角范围是_____________.
2．直线的斜率(1)直线的倾斜角α≠90°时，倾斜角α的__________叫作直线的斜率，用k表示，即k＝_________.当α＝90°时，直线的斜率k__________；当α＝0°时，直线的斜率k＝______；当α∈(0°，90°)时，直线的斜率k____0；当α∈(90°，180°)时，直线的斜率k________0.
【注意】　平面上任意一条直线都有唯一确定的倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)斜率的计算公式①已知直线的倾斜角为α，则斜率k＝__________(α≠90°).②已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则斜率k＝____________.【注意】　当x1＝x2时，公式右边无意义，直线的斜率__________，倾斜角为_________.
③已知直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则斜率k＝________，纵截距b＝________.
3．直线的截距直线l与x轴相交于点(a，0)，与y轴相交于点(0，b)，把____叫作直线l在x轴上的截距(或横截距)，把____叫作直线l在y轴上的截距(或纵截距).求x轴上的截距(横截距)就是直线方程中令y＝0，求x；求y轴上的截距(纵截距)就是直线方程中令x＝0，求y.直线与坐标轴所成三角形的面积S△＝ |横截距||纵截距|.
4．直线的方程(1)直线的点斜式方程：__________________[其中P0(x0，y0)为直线上的点，k为直线的斜率].(2)直线的斜截式方程：__________________(其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距).(3)直线的一般式方程：__________________(其中A，B不全为零).
y－y0＝k(x－x0)
【注意】　①直线的斜率k不存在(即垂直于x轴)时，不能用点斜式方程和斜截式方程求直线方程．②若直线过P0(x0，y0)且平行于x轴，则直线方程为y＝y0，其中x轴所在直线方程为y＝0.若直线过P0(x0，y0)且平行于y轴，则直线方程为x＝x0，其中y轴所在直线方程为x＝0.③若直线过原点，且斜率k存在，则直线的方程为y＝kx.
【例1】　已知直线经过A(4，－3)，B(－1，2)两点，求直线的斜率和倾斜角．
【解】　直线的斜率k＝ ＝－1，∵k＝tan α＝－1，α∈[0，π)，∴α＝
【变式训练1】　已知直线过点M(1，－1)，N(n，－2)，且直线的斜率是－1，则n的值是(　　) A．2 B．－2 C．－1 D．1
【例2】　下列四个命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有倾斜角，并且都有斜率 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α D．直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α
【变式训练2】　下列命题中正确的有(　　)①任意一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以是180°；③倾斜角为90°的直线只有一条． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】　(2018年甘肃省分类考试)设直线l平行于直线3x－2y＋5＝0，并且经过点P(1，2)，求直线l的方程．
【点拨】　利用“待定系数法”求平行直线的方程可简化计算过程．
【解】　(方法一)∵两直线平行的条件是斜率相等，∴所求直线的斜率为k＝－ .又∵所求直线经过点P(1，2)，∴由点斜式方程得y－2＝ (x－1)，即直线l的方程为3x－2y＋1＝0.
(方法二)∵直线l平行于直线3x－2y＋5＝0，∴设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，将P(1，2)的坐标代入，得3×1－2×2＋c＝0，解得c＝1.∴直线l的方程为3x－2y＋1＝0.
【变式训练3】　(2024年甘肃省分类考试)已知直线过点(3，－7)与(2，－5)，求直线方程．
解：直线的斜率k＝ ＝－2，又∵直线过点(2，－5)，∴y＋5＝－2(x－2)，即2x＋y＋1＝0.
【例4】　根据下列条件，求出直线的方程，并化为一般式方程．(1)经过点A(－3，4)，倾斜角是60°；(2)经过点B(－1，5)，平行于x轴；(3)经过点C(2，1)，D(2，－4)；(4)经过点A(3，－2)，B(5，4)；(5)在x轴和y轴上的截距分别是－2和－1.
【点拨】　观察已知条件，判断用何种方程形式求解方程．一般情况下，最后的结果化成一般式方程．另外，要注意平行于坐标轴的直线方程的求法．
【解】　(1)∵直线的斜率k＝tan 60°＝ ，∴直线的点斜式方程为y－4＝ (x＋3)，化为一般式方程为 ＋4＝0.(2)∵直线经过点B(－1，5)，并且平行于x轴，∴直线方程为y＝5，化为一般式方程为y－5＝0.(3)∵直线经过点C(2，1)，D(2，－4)，∴x1＝x2＝2，故直线平行于y轴，斜率k不存在，∴直线的方程为x＝2，化为一般式方程为x－2＝0.
(4)∵直线斜率k＝ ＝3，直线过点A(3，－2)，∴直线的点斜式方程为y＋2＝3(x－3)，化为一般式方程为3x－y－11＝0.(5)∵在x轴和y轴上的截距分别是－2和－1，∴直线经过(－2，0)，(0，－1)两点，故直线的斜率k＝－ ，∴直线的斜截式方程为y＝－ x－1，化为一般式方程为x＋2y＋2＝0.
【变式训练4】　根据下列条件，求出直线的方程．(1)经过点A(1，－2)，B(0，3)；(2)过点M(－2，3)，倾斜角为900；(3)在x轴、y轴上的截距分别为2，－1；(4)斜率为 ，在y轴上的截距为2.
解：(1)5x＋y－3＝0.(2)x＝－2.(3)x－2y－2＝0.(4)x－2y＋4＝0.
【例5】　已知直线的方程为3x－(m－2)y－2m＋5＝0(m≠2)，求：(1)当m为何值时，直线的倾斜角是45°？(2)当m为何值时，直线的纵截距是－3?(3)当m为何值时，直线经过点(2，－1)?
【点拨】　含参数的直线一般式方程化为斜截式方程时，要注意其斜率的存在性．将直线上的点的坐标代入直线方程求出参数的值，是解决有关字母取值问题的常用方法．
【解】　(1)∵m≠2，∴直线的斜率存在．∴直线方程化为y＝ .∴ ＝tan 45°，解得m＝5.(2)∵直线的纵截距是－3，∴－ ＝－3，解得m＝1.(3)将点(2，－1)代入直线方程，得3×2－(m－2)×(－1)－2m＋5＝0(m≠2)，解得m＝9.
【变式训练5】　直线的倾斜角α＝120°，则直线的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D．
【例6】　已知A(－3，1)，B(2，m)，C(－4，－2)三点共线，求m的值．
【解】　(方法一)由A，B，C三点共线可知kAB＝kAC，故 ，解得m＝16.(方法二)由A，B，C三点共线可知，点B在直线AC上．而kAC＝3，故直线AC的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.将B(2，m)的坐标代入，解得m＝16.(方法三)由A，B，C三点共线可知
＝(2，m)－(－3，1)＝(5，m－1)， ＝(－4，－2)－(－3，1)＝(－1，－3)，故5×(－3)＋m－1＝0，解得m＝16.
【变式训练6】　已知点M(2，－2)在经过点P(m，2)，Q(5，m)的直线上，则m＝________．
【例7】　已知直线x＋my－3＝0(m≠0)与两坐标轴围成的三角形面积是3，求m的值．
【点拨】　直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，其面积取决于直线的横、纵截距．
【解】　令x＝0，得y＝ ；令y＝0，得x＝3.因此，直线的横截距为3，纵截距为 .由S△＝ ＝3，解得m＝±
【变式训练7】　直线y＝x＋3与两坐标轴围成的三角形面积等于________．
一、单项选择题1．已知点(m，0)， 在直线l上，若直线l的倾斜角为 ，则m的值为(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－2
2．斜率等于－ ，横截距为1的直线方程为(　　) A．3x－2y－3＝0 B．3x＋2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x－3y－2＝0
3．设A(1，3)，B(1，5)，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90°
4．直线3x＋ y－1＝0的斜率和倾斜角分别是(　　) A． B．－ C． D．－
5．已知直线l平行于y轴，且经过点M(－1，2)，则直线l的倾斜角和方程分别是(　　) A．0°，y＝2 B．90°，y＝2 C．0°，x＝－1 D．90°，x＝－1
6．过点A(3，2)，且倾斜角是 的直线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y＋1＝0
7．经过两点A(－2，5)，B(1，－1)的直线与y轴的交点坐标是(　　) A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，1) D．(0，－1)
8．若A(－2，3)，B(1，－6)，C(m，0)三点在同一直线上，则m的值是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2
二、填空题9．已知直线l与x轴、y轴的交点分别是A ，B(0，－3)，则直线l的斜率等于________，倾斜角等于________，直线l的方程是________________．
10．直线的倾斜角α的取值范围是______________．
11．若直线(a－1)x－2y＋a－2＝0在x轴上的截距为2，则a＝________．
12．若直线的横截距是2，纵截距是－4，则直线的一般式方程是______________．
13．经过点(－4，3)，且平行于x轴的直线方程是________．
14．若直线的倾斜角是 ，在y轴的截距为4，则直线的点斜式方程为_______________．
三、解答题15．已知直线mx＋2y－n＝0的斜率k＝－ ，在y轴的截距为－4，求m，n的值．
解：∵直线mx＋2y－n＝0的斜率k＝－ ，在y轴的截距为－4，∴由直线的斜截式方程，可得y＝－ x＋(－4)，即3x＋2y＋8＝0，∵直线方程为mx＋2y－n＝0，∴m＝3，n＝－8.
16．经过A(m，2)，B(－1，2m－1)两点的直线的倾斜角是 求：(1)m的值；(2)直线的方程；(3)直线在x轴、y轴上的截距．
解：(1)由 ，得m＝4.(2)点A的坐标为(4，2)，k＝ ＝－1，直线方程为y－2＝－(x－4)，即x＋y－6＝0.(3)在x＋y－6＝0中，令y＝0，则x＝6；令x＝0，则y＝6.故直线在x轴和y轴上的截距都是6.
17．已知直线l经过点P(0，1)，且平行于过两点A(1，－2)，B(2，3)的直线，求直线l的方程．
解：过点A(1，－2)、B(2，3)的直线的斜率k1＝5，因为直线l与直线AB平行，所以它们的斜率相等，所以，直线l的斜率k＝5，所以，直线l的方程为y－1＝5x，即5x－y＋1＝0.