初中数学北师大版（2024）九年级上册菱形的性质与判定课后练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册菱形的性质与判定课后练习题，共58页。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选 项，其中只有一项符合题目要求）
（2025·浙江台州·二模）
1 ．菱形ABCD 与 3 个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为 a，则菱形 ABCD 的边长为( )
A ．2a B ． C ．3a D ．4a （2023·河南郑州·三模）
2 ．已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有 ( )
A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 （23-24 九年级下·山东威海·期中）
3 ．如图，对于线段AB ，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：（1）以点 A 为圆心，以 大于 的长为半径作弧；（2）以点 B 为圆心，以小于AB 的长为半径作弧，两弧交于点 C，D；（3）连接 AC, BC, AD, BD, CD ．对于四边形ACBD ，添加下列条件无法判定为菱形 的是( )
A ．AB = CD B ．AC = BC C ． ÐACD = ÐBCD D ．ADⅡBC
（23-24 八年级下·黑龙江牡丹江·期末）
4 ．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段 矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm 的蓝丝带，若上BAD = 45° ,则重叠部分图形形状和 面积分别是( )
A ．平行四边形，18cm2 B ．平行四边形，36 cm2
C ．菱形，18cm2 D ．菱形，36 cm2 （2025·辽宁铁岭·二模）
5 ．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B 均在 x 轴上，点 D 在y 轴上，已 知直线BD 的函数解析式为y = -2x + 3 ，则点 C 的坐标为( )
( 15 ö ( 16 ö ( 7 ö ( 8 ö
A ． çè 4 ,3,÷ B ． èç 5 ,3,÷ C ． çè 2 ,3,÷ D ． çè 3 ,3,÷
（2024·广东东莞·二模）
6 ．菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图 1）等，为兼顾美观性和实用性，活 动角a 的取值范围宜为60° ≤ a ≤ 120° （如图 2），亮亮选购了如图 2 所示的伸缩衣架，已知 图中每个菱形的边长为15cm ，则其拉伸长度 AB 的适宜范围是( )
A ．30 ≤ AB ≤ 45 B ．45 ≤ AB ≤ 45
C ．45 ≤ AB ≤ 30 D ．30 ≤ AB ≤ 45 （2024·山西太原·一模）
7 ．图 1 是一张菱形纸片ABCD ，点E, F 是边AB, CD 上的点．将该菱形纸片沿EF 折叠得到 图 2 ，BC 的对应边B¢C ¢ 恰好落在直线AD 上．已知上B = 60°, AB = 6 ，则四边形 AEFC¢ 的周 长为( )
A ．24 B ．21 C ．15 D ．12
（2025·安徽合肥·二模）
8 ．在菱形ABCD 中，已知AB = 5，BD = 8，AC 与BD 相交于点O ，点 E 为OD 上一点，将
△ADE 沿着AE 翻折得到 △AFE ，使点 F 落在边BC 上，则DE 的长为( )
A ． B ．2.5 C ．3 D ． （2024·河南商丘·模拟预测）
9．如图 1，菱形ABCD 中，点 A 为y 轴正半轴上一点，AB 丄 y 轴，直线l P y 轴交菱形两边 于 E、F 两点（点 E 在点 F 下方），直线 l 从y 轴出发，沿AB 以每秒 1 个单位长度的速度向 右平移，设运动时间为 x（秒）， △OEF 的面积为y，y 与 x 的大致图象如图 2，则菱形ABCD 的面积为( )
A ．2 B ．6 C ．4 D ．8 （23-24 八年级上·四川遂宁·期末）
10 ．如图，在等边 △ABC 中，过点C 作射线CD 丄 BC ，点 M ，N 分别在边AB ，BC 上，
将 △ABC 沿MN 折叠，使点B 落在射线CD 上的点B¢ 处，连接AB¢ ,已知 AB = 2 ．给出下列 四个结论：① CN + NB¢ 为定值；②当上NB¢C = 30° 时，四边形BMB ¢N 为菱形；③当点N与 C 重合时，上AB¢M = 18° ; ④当AB¢ 最短时， 其中正确的结论是 ( )
A ．①②④ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
（24-25 九年级上·山西太原·期末）
11 ．已知，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ．若增加一个条件，将 它边的数量关系特殊化，可使AC T BD ，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） （2025·宁夏银川·一模）
12 ．如图，已知ABCD 是菱形，BD 是对角线，且上A = 30° ,分别以点 A ，B 为圆心，以大 于 AB 的长为半径作弧交于两点，过此两点的直线交AD 边于点 E（作图痕迹如图所示）， 连接BE ，则 上EBD的度数为 ° .
（24-25 八年级下·天津和平·期中）
13 ．如图， 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， 7DAB = 60° , E 为 AB 的中点， F 为 CE 的中点， AF 与DE 相交于点G ，则 GD 的长等于 ．
（23-24 八年级下·江苏扬州·阶段练习）
14 ．在。ABCD 中， 7BAD 的平分线交线段BC 于点E ，交线段DC 的延长线于点F ，以 EC 、CF 为邻边作。ECFG ，若 上ABC = 120° ,则上BDG = ．
（2025·浙江杭州·三模）
15 ．如图，在菱形ABCD 中，上ADC = 120° , 点 E 关于上A 的平分线的对称点为 F，点 F 关
于上B 的平分线的对称点为 G，连接 EG ．若AE = 1 ，AB = 4 ，则．
（2025·广东深圳·三模）
16 ．如图，在菱形ABCD 中， Ð C = 120°, AD = 2, E 是AB 上一点，将菱形ABCD 沿DE 翻折 使点B 的对应点B¢ 刚好落在DA 的延长线上，则折痕DE 的长为 ．
（2025·山东济南·二模）
17 ．如图，在菱形ABCD 中， Ð B=60° , AB = 8 ．点 E，F 分别是BC ，AB 边上的动点，且 BF = 2CE ，以 EF 为边向右作等边 △EFG ，连接CF ，CG ，DG ．当CG= EG 时，DG 的 值为 ．
（24-25 八年级下·重庆·期中）
18 ．如图，在菱形ABCD 中，上ABC = 60° , 过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两
垂线相交于点E ，F 是DE 延长线上一点，且EF = BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长 线于点H ，连接 AH ．若BH = 1 ，DH = 3 ，则 AH 的长为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分）
（24-25 八年级下·浙江杭州·阶段练习）
19 ．如图，四边形ABCD 是菱形，上ACD = 30°, BD = 6 ，求：
(1) ÐBAD 的度数．
(2)若DH 丄 BC ，求线段 AC 和DH 的长． （2025·广东惠州·一模）
20 ．如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线．
(1)在AD 边上确定一点E ，将 △BED 沿BD 翻折后，点E 的对应点F 恰好落在BC 边上；（要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接BE 、DF ，若BD = 10 ，EF = 8 ，判断四边形BEDF 的形状，并 求其面积．
（24-25 八年级下·湖南长沙·期中）
21 ．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，AC ，BD 相交于点 O ，O 是AC 的中点．
(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；
(2)已知 E、F 是对角线AC 上的点，且四边形BEDF 是菱形，若OB = 1 ，AB = 3 ，求点 D 到 AB 的距离．
（23-24 八年级下·江苏苏州·阶段练习）
22 ．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且 AO = CO ，点 E 在BD 上，满足
上EAO = 上DCO ．
(1)求证：四边形AECD 是平行四边形；
(2)若AB = BC, CD = 5, AC = 8 ，求四边形 AECD 的面积．
(3)在（2）的条件下，平行线 AD 与EC 间的距离为______．
（24-25 八年级下·上海奉贤·期末）
23 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y = kx + 2 与x 轴、y 轴分别相交于点A(4,0) 和 点B ，点C 和点E 分别在线段AB 和x 轴正半轴上，点D 在第一象限内，且四边形OCDE 是 菱形．
(1)求k 的值和点B 坐标；
(2)设直线y = kx + 2 与菱形OCDE 的边DE 交于点F ．
①当F 是AC 的中点时，判断△OBC 的形状，并说明理由； @如果四边形OCFE 是直角梯形，求菱形OCDE 的边长．
（24-25 八年级下·浙江温州·期中）
24 ．如图，在。ABCD 中，AB = 10 +10 ，P 为线段CD 上一点，连结AP ，将△ADP 沿着 线段AP 折叠，点 D 落在D¢ 处，作D¢E ⅡCD 交AP 于点 E．
(1)证明：四边形D¢EDP 为菱形；
(2)如图 1，若D¢ 恰好落在平行四边形ABCD 的对角线交点处，求此时DP 的长度；
(3)如图 2，连结AC，上ADC = 45°, 上DAC = 105° , 在AB 上取一点 M（AM < AD ），若 点 M 关于直线AD¢ 的对称点 N 落在△APC 的内部（包括边界），请直接写出DP 的取值范围
.
______
1 ．D
【分析】本题考查了正多边形的内角问题， 涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性 质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
延长RF 交AD 于点E ，延长GF 交CD 于点Q，先求出正六边形的内角以及外角，可证明
△AMN 为等边三角形，则AM = MN = a ，然后证明四边形HEFG, EFQD 为菱形，即可求解． 【详解】解：如图，延长 RF 交AD 于点E ，延长GF 交CD 于点Q ，
∵正六边形MNLKGH ，
: 上1= 上2 = 60° ,
: 上A = 180° - 上1- 上2 = 60° , : 上1= 上2 = 上A = 60° ,
: △AMN 为等边三角形， : AM = MN = a ，
同理上HGK = 上4 = 上9 = 120° , 上6 = 60° , : 上5 = 360° -120° -120° = 120° ,
: 上5 + 上6 = 180° , 上5 = 上9 : FG ⅡHD ，HG P EF ，
:四边形HEFG 为平行四边形， ∵ GH = GF ，
:四边形HEFG 为菱形， : HE = EF = HG = a ，
同理可证明：四边形EFQD 为菱形， : ED = EF = a ，
: AD = AM + MH + HE + DE = 4a ， 故选：D．
2 ．B
【分析】根据作图和菱形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵四边形ABCD 为平行四边形， : ADⅡBC ，ABⅡCD ，
根据作图可知，AF 垂直平分BE ，AB = AE ， : BO = OE ，
∵ ADⅡBC ，
: 上EAO = 上BFO ，上AEO = 上OBF ， :△AOE≌△FOB ，
: AE = BF ，
:四边形ABFE 为平行四边形，
∵ AB = AE ，
:四边形ABFE 为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，AF 平分 ÐBAD ，但不能判定四边形 ABFE 为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，AB = BF ，AB = AE ， : AE = BF ，
∵ AE Ⅱ BF ，
:四边形ABFE 为平行四边形，
∵ AB = AE ，
:四边形ABFE 为菱形，故③符合题意；
④根据作图可知，EF 不一定垂直平分AC ，四边形ABFE 不一定为菱形，故④不符合题意；
综上分析可知，正确的只有 2 个，故 B 正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的基本作图， 菱形的判定，三角形全等的判 定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定．
3 ．A
【分析】由 AB = CD 无法证明四边形ACBD 是菱形；由AC = BC 可得四边形ACBD 的四条 边都相等，可证四边形ACBD 是菱形；由 ÐACD = ÐBCD 可证 △ACO ≌△BCO ，得出
AC = BC ，可证四边形ACBD 是菱形；由ADⅡBC 证明AC = BC ，可证四边形ACBD 是菱 形．
【详解】解：由作法知，AC = AD, BC = BD ， : AB 垂直平分CD ．
A ．由AB = CD 无法证明四边形ACBD 是菱形；
B ．: AC = BC ，AC = AD, BC = BD ， : AC = AD = BC = BD ，
:四边形ACBD 是菱形；
C ．: ÐACD = ÐBCD ，OC = OC ， ÐAOC = ÐBOC ， : △ACO≌△BCO (ASA ) ，
: AC = BC ，
: AC = AD, BC = BD ，
: AC = AD = BC = BD ， :四边形ACBD 是菱形；
D ．: ADⅡBC ， : 上BAD = 上ABC ．
: AC = AD ，AB 丄 CD ， : 上CAB = 上BAD ，
: 上CAB = 上ABC ， : AC = BC ，
: AC = AD, BC = BD ，
: AC = AD = BC = BD ， :四边形ACBD 是菱形；
故选 A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定， 全等三角形的判定与性质，等腰三角形 的性质，以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键．
4 ．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形ABCD 是平行四边形，则上DAB = 上BCD = 45° , 如图，作AM 丄 BC 于M ，AN 丄 CD 于N ，利用面 积法证明AB = BC ，得到四边形ABCD 是菱形，再由勾股定理求得AD = 6 ，然后根据重 合部分四边形ABCD 的面积为AB× DM ，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，ADⅡBC，AB Ⅱ CD ，
:四边形ABCD 是平行四边形， : 上DAB = 上BCD = 45° ,
如图，作DM 丄 AB 于M ，DN 丄 BC 于N ，连接 BD ，则 DM = DN = 6cm ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = BC ，
:四边形ABCD 是菱形， : 上DAM = 45° = 上ADM ， : AM = DM = 6 ，
由勾股定理得 则AB = 6 ，
:重合部分四边形ABCD 的面积为：
AB × DM = 6× 6 = 36(cm2 ) ， 故选：D．
5 ．A
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出B 和D 坐标， 再在Rt△AOD 中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵直线BD 的函数解析式为y = -2x + 3 ， :当x = 0 时，y = -2x + 3 = 3 ，则D(0, 3)；
3 ( 3 ö
当y = 0 时，y = -2x + 3 = 0 ，解得 x = 2 ，则Bçè2 , 0,÷ ;
∵菱形ABCD ，
: AB = BC = AD = CD ，ABⅡCD ， :点 C 的纵坐标为3 ，
设AB = BC = AD = CD = m ，则 OA = AB - OB = m - ，点 C 的坐标为(m,3) ，
∵在Rt△AOD 中OA2 + OD2 = AD2 ，
解得 ，
故选：A．
6 ．B
【分析】本题主要考查了菱形及其计算，勾股定理，由菱形 CDEF 中， CE 丄 DF, 当
上CDE = a = 120° 时，得上ODE = 60°, 的得 得CE = 15, 此时拉伸长度AB = 453; 同理当 ÐCDE = a = 60。时，拉伸长度AB = 45 ，即可求解，解题关键是找准直角三角形进行计 算．
【详解】解：如图：
∵四边形CDEF 是菱形， : CE 丄 DF, OC = OE ， ∵ DE = 15,
当上CDE = a = 120° 时，则上ODE = 上CDE = 60°, : 上OED = 30° ,
:此时拉伸长度AB = 15× 3 = 45 ，
当 ÐCDE = a = 60。时，则上上CDE = 30°,
:此时拉伸长度AB = 15 × 3 = 45 ，
:其拉伸长度AB 的适宜范围是 故选：B．
7 ．C
【分析】由BC 的对应边B¢C ¢ 恰好落在直线AD 上可知BC Ⅱ EF Ⅱ AD ，再证明 △C ¢DF 是等 边三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
: AB = BC = CD = AD = 6 ，ADⅡBC ，上D = 上B = 60 ° .
∵ BC 的对应边B¢C ¢ 恰好落在直线AD 上， : EF 到BC 、AD 的距离相等，
: BC Ⅱ EF Ⅱ AD ，点E, F 是边AB, CD 的中点，
:四边形BCFE 、四边形 ADFE 是平行四边形 : EF = BC = 6 ．
由折叠知CF = C ¢F ，
: △C ¢DF 是等边三角形， : C¢F = C ¢D = FD = 3 ， : AC¢ = 6 - 3 = 3 ，
:四边形AEFC¢ 的周长为: 6 + 3 + 3 + 3 = 15 ．
故选 C．
【点睛】本题考查了菱形的性质， 折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的 性质是解答本题的关键．
8 ．D
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得
丄 BD ，上ABC = 上ADC = 2上ADB, AD∥BC ，利用勾股定理 可得OA = 3 ，再设DE= x ，则OE = 4 - x ，根据折叠的性质可得
AF = AD = 5, 上EAF = 上上DAF ，然后证出上ADB = 上EAD ，根据等腰三角形的判定 可得AE = DE = x ，最后在 Rt△AOE 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵在菱形ABCD 中，AB = 5, BD = 8 ，
丄 BD ，上ABC = 上ADC = 2上ADB, AD∥BC ，
设DE = x ，则 OE = OD - DE = 4 - x ， ∵点E 为OD 上一点，
: 0 ≤ x ≤ 4 ，
由折叠的性质得：AF = AD = 5, 上EAF = 上上DAF ， : AB = AF ，
: 上AFB = 上ABC = 2上ADB ， 又∵ ADⅡBC ，
: 上DAF = 上AFB = 2上ADB ， : 上ADB = 上EAD ，
: AE = DE = x ，
在Rt△AOE 中，OA2 + OE2 = AE2 ，即32 + (4 - x )2 = x2 ， 解得 符合题意，
故选：D．
9 ．D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据函数图象可知，当0 < x < 2 时，点 E 在AB 上，点 F 在AD 上，当2 ≤ x < 4 时，点 E 在AB 上，点 F 在CD 上，当4 ≤ x < 6 时，点 E 在BC 上，点 F 在CD 上，则AB = 4 ，再根据当x =2 时，y = 2 ，求出点 D 到AB 的距离，据此利用菱形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，当 0 < x < 2 时，点 E 在AB 上，点 F 在AD 上，
当2 ≤ x < 4 时，点 E 在AB 上，点 F 在CD 上， 当4 ≤ x < 6 时，点 E 在BC 上，点 F 在CD 上，
: AB = 4 ，
设点 D 到AB 的距离为 h， :当x = 2 时，y = 2 ，
: h = 2 ，
: S菱形ABCD = AB . h = 4 × 2 = 8 ， 故选：D．
10 ．A
【分析】根据等边三角形的性质可得 BC = 2 ，根据折叠的性质可得 NB¢ = NB ，由此即可判 断①正确；由上CB¢N = 30° ,从而可得 上B¢NC = 60° = 上B ，然后根据平行线的判定可得
BM ∥ B ¢N, MB ¢ ∥ BN ，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得
B ¢C = BC, 上MB¢C = 上B = 60° ,从而可得 AC = B ¢C ，再根据等腰三角形的性质可得
上AB¢C = 上CAB ¢ = 75° ,然后根据 上AB¢M = 上AB¢C - 上MB ¢C 即可判断③错误；当AB¢ 最短 时，则AB¢ 丄 CD ，过点 M作ME 丄 BC 于点E ，连接BB¢ ,交MN 于点O ，先利用勾股定理 求出 根据折叠的性质可得 OB = ，设 BE = y (y > 0) ，则 ， BM = 2y ，再利用勾股定理可得 EM = y ， 然后根据
S△建立方程，解一元二次方程可得y 的值，由此即可判断④正 确．
【详解】解：Q△ABC 是等边三角形，且AB = 2 ，
:BC = AC = AB = 2 ，上B = 上ACB = 60° , 由折叠的性质得：NB¢ = NB ，
:CN + NB¢ = CN + NB = BC = 2 ，是定值，则结论①正确； ∵上NB¢C = 30°, 上B¢CN = 90° ,
:上B¢NC = 60° = 上B ， :BM ∥ B¢N ，
由折叠的性质得：上MB¢N = 上B = 60° ,
:上MB¢N = 上B¢NC = 60° ,
:MB¢ ∥ BN ，
: 四边形BMB¢N 为平行四边形， 又Q NB¢ = NB ，
: 四边形BMB¢N 为菱形，则结论@正确； 如图，当点N与C 重合时，
QCD 丄 BC ，
:上BCD = 90° ,
由折叠的性质得：B ¢C = BC, 上MB¢C = 上B = 60° , : AC = B ¢C ，上ACB¢ = 上BCD - 上ACB = 30° ,
:上AB¢M = 上AB¢C - 上MB¢C = 15° ,则结论③错误； 当AB¢ 最短时，则AB¢ 丄 CD ，
如图，过点M作ME 丄 BC 于点E ，连接BB¢ ,交MN 于点O ，
Q AC = AB = 2，上ACB¢ = 30° ,
由折叠的性质得：BB ¢ 丄 设BN = B ¢N = x ，则 CN = BC - BN = 2 - x ，
在Rt△B ¢CN 中，CN2 + B¢C2 = B ¢N2 ，即 解得 ，
设BE = y ，则
1 1
△BMN 2 2
QS = BN . EM = OB . MN ，
解得 或 不符合题意，舍去），
则结论④正确；
综上，正确的结论是①@④ , 故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、折叠的性质、直角三角形中斜边上的中线等 于斜边的一半，勾股定理解直角三角形、菱形的判定， 用等知识点，熟练掌握折叠的性质是 解题关键．
11 ．AB = BC （答案不唯一）
【分析】本题考查菱形的判定和性质， 根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特 有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键．
【详解】解：:四边形ABCD 为平行四边形，
:当AB = BC 时，。ABCD 为菱形， 此时AC 丄 BD ．
:增加的一个条件可以是AB = BC ．
故答案为：AB = BC （答案不唯一）．
12 ．45
【分析】本题主要考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形 的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得AB = AD ，进而
由三角形内角和定理解得 Ð ABD 的值，由作图可知EF 垂直平分AB ，易得 AE = BE ，然后 由上EBD = 上ABD - 上ABE 求解即可．
【详解】解：如下图，
∵四边形ABCD 是菱形，上A = 30° , : AB = AD ，
: 上ABD = 上ADB = 180° - 上A) = 75° , 由作图可知，EF 垂直平分AB ，
: AE = BE ，
: 上ABE = 上A = 30° ,
: 上EBD = 上ABD - 上ABE = 45° .
故答案为：45．
3 3
13 ． ## 、/3
4 4
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质以及全等 三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键；
连接DB ，如图，可得 △ADB 是等边三角形，即可求出DE ，取DE 的中点 H，连接FH ，利
1 1
用三角形的中位线定理可证明 △HFG≌△EAG ，进而可得HG = EG = HE = DE ，进一步
2 4
计算即可．
【详解】解：连接DB，如图， ∵菱形ABCD 的边长为 2，
: AD = AB = CD = 2 ，AB∥CD ， ∵ ÐDAB = 60° ,
: △ADB 是等边三角形， : DA = DB ，
∵ E 为AB 的中点，
: AE = AB = 1, DE 丄 AB ，
取DE 的中点 H，连接FH ， : F 为CE 的中点，
: HF = AE, HF∥EA ，
:上FHG = 上AEG, 上HFG = 上EAG ， : △HFG≌△EAG ，
故答案为： ．
14 ．60°
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长AB 、FG 交于 H， 连接HD ，求证平行四边形AHFD 为菱形，得出 △ADH ， △DHF为全等的等边三角形，证明
△BHD ≌△GFD ，即可得出答案．
【详解】解：延长 AB 、FG 交于 H，连接HD ，
Q ADⅡGF ，AB Ⅱ DF ，
: 四边形AHFD 为平行四边形，
Q 上ABC = 120° , AF 平分 ÐBAD ，
: 上 上ADC = 120° , 上DFA = 30° , :△DAF 为等腰三角形，
: AD = DF ，
:平行四边形AHFD 为菱形，
:△ADH≌△FDH ，且均为等边三角形， :DH = DF ，上BHD = 上GFD = 60° ,
Q ADⅡEC ，
:上CEF = 上DAF = 上DFA = 30° , :△CEF 为等腰三角形，
又Q 四边形ECFG 为平行四边形， :FG = CE ，CE = CF ，CF = BH ， :BH = GF ，
在 △BHD 与 △GFD 中，
ï
ìDH = DF
í上BHD = 上GDF ， ïlBH = GF
:△BHD≌△GFD (SAS) ，
:上BDH = 上GDF ，
:上BDG = 上BDH + 上HDG = 上GDF + 上HDG = 60° .
故答案为：60° .
15 ．2
【分析】连接FG ，根据菱形的性质和轴对称的性质可得上A=60° , AE = AF，BF = BG ，进 而可证△AEF 是等边三角形及 △BFG 是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形 的性质可求得EF 和FG 的长，且上EFG = 90° , 根据勾股定理即可求得EG 的长，再求出CG
即可求得 ．
【详解】解：连接FG ，过点 B 作BH丄 FG 于 H，如图，
∵菱形ABCD ，上ADC=120° ,
: 上A=60° , 上ADC = 上ABC = 120° ,
∵点 E 关于 Ð A 的平分线的对称点为 F，点 F 关于 ÐB 的平分线的对称点为 G，
: AE = AF = 1，BF = BG ，
:△AEF 是等边三角形，
: 上AFE = 60°, EF = AF = 1， ∵ BF = BG ，
: △BFG 是等腰三角形，
: 上EFG = 180°﹣60°﹣30° = 90° , ∵ BG = BF = AB - AF = 4﹣1 = 3 ，
: FG = 2FH = 3 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的 判定与性质、含30° 角的直角三角形的三边关系、勾股定理， 充分利用轴对称的性质是解答 的关键．
16 ． /6
【分析】过点C¢ 作C ¢G 丄 AD 于点 G，过点 A 作AF 丄 ED 于点 F，根据菱形的性质，折叠的 性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，解答即可．
【详解】解：过点C¢ 作C ¢G 丄 AD 于点 G，过点 A 作AF 丄 ED 于点 F，
∵菱形ABCD 中， Ð C = 120°, AD = 2, E 是AB 上一点，将菱形ABCD 沿DE 翻折使点B 的对 应点B¢ 刚好落在DA 的延长线上，
: AB = BC = CD = AD = C ¢B ¢ = C ¢D = 2 ，上C = 上B¢C ¢D = 上BAD = 120° , Ð B = Ð C¢B ¢E = 上ADC = 60° ,
上AB¢E = 30° ,
上AEB¢ = 90° ,
: B ¢A = B ¢D - AD = 2 - 2 ， : 上AB¢E = 30° ,
: 上C¢DE = 上CDE ，
: 30° + 上ADE = 60° - 上ADE ， : 上ADE = 15° ,
: 上AEF = 上B¢AE - 上ADE = 45° ,
: AE = = EF = AF ，
故答案为： 、 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质， 折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形 的三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键．
17 ．2
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含 60 度 角的直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
在CD 上截取CM = BE ，连接MG ，过点 D 作DN 丄 GM 的延长线于点 N，延长 DN ，BC
交于点 H，过点 G 作GP 丄 BC 于点 P，设 EC = 2x ，可得 根据菱形和等边 三角形的性质，证明△BFE≌△MCG ，继而求出 GM ，DM ，DN ，从而表示出 DG ，证 明四边形GPHN 是矩形，即可得到GN = PH ，在 Rt△DCH 中，利用三角函数求出CH ，列 出一元一次方程，即可解答．
【详解】解： 在CD 上截取CM = BE ，连接MG ，过点 D 作DN 丄 GM 的延长线于点 N，延 长DN ，BC 交于点 H，过点 G 作GP 丄 BC 于点 P，如图，
有上DNG = 90° , GP∥HN ，
设EC = 2x ，则 BF = 2CE = 4x ，BE = 8 - 2x ， ∵四边形ABCD 是菱形，上B = 60° , AB = 8 ， : AB = BC = CD = 8 ，AB ⅡCD ，
: 上BCD = 120° ,
:∠DCG +∠GCB = 120° , ∠DCH = 180° -∠DBC = 60° , Q△EFG 是等边三角形，
:上EFG = 上FEG = 60° , EF = EG ，
:∠BEF +∠GEC = 180° - 上FEG = 120° , QCG = EG ，
:上GEC = 上 :∠FEB = ∠GCM ，
:△BFE≌△MCG ，
: Ð CMG = Ð B = 60° , GM = BF = 4x ，CM = BE = 8 - 2x ， :∠CMG = ∠DMN = 60° , DM = 8 - CM = 2x ，
:∠CMG +∠BCD = 180° , MN = DM . cs 60° = x ，DN = DM . sin 60° = x ， : GM∥BC ，GN = GM + MN = 5x ，
:四边形GPHN 是矩形， ∠H = 上DNG = 90° , DG = = 2 x ，
: PC + CH = 5x ，即 x + 4 = 5x ， 解得x = 1 ，
故答案为：2 ．
18 ．
【分析】连接 BD ，在 BF 上取一点 N，使 BN = DF ，连接 AN、EC ，根据菱形的性质、全 等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质可得上NAB + 上BAH = 120° = 上NAH ，再 根据勾股定理以及直角三角形的性质可得 进而得到 ， 最后将BH = 1, DH = 3 代入计算即可.
【详解】解：如图：连接 BD ，在 BF 上取一点 N，使 BN = DH ，连接 AN、EC ，
:菱形ABCD ，
:BC = DC = AB = AD,
由题意可知： △EBC,△EDC 均为直角三角形， 在Rt△EBC 和Rt△EDC ，
: Rt △EBC≌Rt△EDC (HL) ， : EB = DE ，
:菱形ABCD ，AB = AD ，BC = CD ， : AC 是线段BD 的垂直平分线，
:点E 在直线AC 上， : 上ABC = 60° ,
: 上BAD = 120° , : AB = AD ，
: 上ABD = 上ADB = 30° ,
: 上EBC = 上EDC = 90° , 上ABC = 上ADC = 60° ,
: 上EBA = 上EDA = 30° ,
:上EBD = 上EBA + 上ABD = 60°, 上EDB = 上EDA + 上ADB = 60° , 即上EBD = 上EDB = 60° ,
: EB = DE ，
:△EBD 是等边三角形， : 上DEB = 上EBD = 60° , : 上FEB = 上DBG = 120° , 在 △BEF 和△DBG 中，
ï
ìEF = BG
í上BEF = 上DBG ， ïlBE = DB
: △BEF≌△DBG (SAS) ， : 上EBF = 上BDG ，
: 上EBA = 上ADB = 30° ,
: 上EBA + 上EBF = 上BDG + 上ADB ，即 上FBA = 上ADH ， 在 △ABN 和 △ADH 中，
: △ABN≌△ADH (SAS) ，
: AH = AN, 上NAB = 上HAD ， : 上HAD + 上BAH = 120° ,
: 上NAB + 上BAH = 120° = 上NAH ， 过 A 作AJ 丄 HN 于 J，
∵ AH = AN ，
上上NAH = 60° , 即上AHJ = 30° , : AH = 2AJ ，
: HN = AH ，
∵ HN = BN + BH ，BN = DH ， : HN = DH + BH ，
: 、AH = DH + BH ， ∵ BH = 1, DH = 3 ，
: AH = 3 +1 ，
解得：
故答案为：
3
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三 角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解题的关键.
19 ．(1) 60°
(2) AC = 6 ，DH = 3
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据四边形 ABCD 是菱形，得上DCA = 上BCA ，上DCB = 上BAD ，则
上BCD = 2 × 30° = 60° ,即可作答．
（2）先根据四边形 ABCD 是菱形，得AC 丄 BD ，
BC = DC = AB，AC = 2AO ，运用勾股定理算出 AO = = 3 ，然后根据菱形面积 公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， : 上DCA = 上BCA ，上DCB = 上BAD ，
∵ 上ACD = 30° ,
: 上BCD = 2 × 30° = 60° , : 上BAD = 60° ;
（2）解：:四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 : 上ACD = 30° ,
: AO = = = 3 ，
: AC = 2AO = 6 ；
: BD = 6 ，
:菱形ABCD 的面积 : DH 丄 BC ，且 BC = AB = 6 ，
:菱形ABCD 的面积= BC.DH = 6DH ， : 6DH = 18 ，
: DH = 3 ．
20 ．(1)见解析
(2)四边形EBFD 为菱形，40
【分析】（1）作线段 BD 的垂直平分线即可；
（2）先证明四边形 EBFD 为菱形，然后根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，此时点 E 为所求．
（2）如图，四边形 EBFD 为菱形．
Q△BED 沿BD 翻折至△BFD
:△BED ≌△BFD
:BE = BF ，DE = DF ，上EBD = 上DBF
Q平行四边形ABCF
: AD∥BF
:上EDB = 上DBF
又Q 上EBD = 上FBD
:上EBD = 上EDB
:BE = DE
:BE = BF = DF = DE
: 四边形EBFD 为菱形
:EF 丄 BD
又Q EF = 10 ，BD = 8
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质， 证明四边形EBFD 为菱形是解答本题的关键．
21 ．(1)证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质， 菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用全等三角形的判定和性质证明 AB = CD 即可解决问题；
（2）证明四边形是菱形，由勾股定理求出 AC ，利用菱形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：Q AB Ⅱ CD ，
:上OAB = 上OCD ，上CDO = 上ABO ， QO 是AC 的中点，
: AO = CO ，
:△CDO ≌△ABO(AAS)
: AB = CD ，
Q AB Ⅱ CD ，
:四边形ABCD 是平行四边形；
（2）证明：∵四边形BEDF 是菱形，: DB 丄 EF 即：AC 丄 BD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形 :四边形ABCD 是菱形
设点 D 到AB 的距离为 h
Q OB = 1 ，AB = 3 ，四边形 ABCD 是菱形 : 上AOB = 90° ,
: ，BD = 2
解得 ．
22 ．(1)见解析
(2)24
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判断和性质、勾股定理等知识， 证明 四边形AECD 为菱形是关键．
（1）根据题意可证明△AOE≌△COD ，得到OD = OE ，从而根据“对角线互相平分的四边形 为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB = BC, AO = CO ，可证明BD 为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD 为菱形， 然后根据条件求出DE 的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可；
（3）根据等积法进行求解即可．
【详解】（1）证明：在 △AOE 和△COD 中，
:△AOE≌△COD(ASA) ．
: OD = OE ．
又∵ AO = CO ，
:四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵ AB = BC, AO = CO ，
: BO 为AC 的垂直平分线，BO 丄 AC ．
:平行四边形AECD 是菱形． ∵ AC = 8 ，
在Rt△COD 中，CD = 5 ，
: DE = 2OD = 6 ，
:四边形AECD 的面积为 24．
（3）∵ OD = 3 ，AO = AC = 4 ，上AOD = 90° ,
设平行线AD 与EC 间的距离为x ， 则S菱形AECD = AD . x = 24 ，
解得x =
故答案为； ．
(2)①等腰三角形，见解析
【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定 和性质；
（1）将 A(4, 0) 代入y = kx + 2 计算得出k ，令 x =0 ，得出 B 点坐标即可；
（2）①根据题意再结合菱形的性质证出△AEF≌△CDF ，得到 AE = CD ，求出 OC = OB 即可得出结论；@根据直角梯形的性质求出AB = 2 ，设 BC = m ，则 AC = 2 - m ，结 合勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：将 A(4, 0) 代入y = kx + 2 得：
0 = 4k + 2 ，
解得： ，
令 x = 0 ， y = 0 + 2 = 2 ， : B (0, 2) ；
解
: OC = CD = DE = OE Q F 是AC 的中点，
: CF = FA ，
: CD Ⅱ OA
:上D = 上AEF
在△AEF 和△CDF 中，
:△AEF≌△CDF
: AE = CD : CD = OE : OE = AE QOA = 4
: OE = AE = 2
: OC = OB = 2
Q 上OBC ≠ 60°
:△OBC 为等腰三角形
Q 四边形OCDE 为菱形
②
Q 四边形OCFE 是直角梯形
只能EF∥OC
:上OCA = 上OCB = 90°
Q OB = 2, OA = 4
: AB = 2
设BC = m ，则 AC = 2 - m
:OC2 = OB2 - BC2 = OA2 - AC2
:22 - m2 = 42 - (2 - m)2
解得：
24 ．(1)见解析
(3) 10 ≤ DP ≤ 30 -10 3
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质， 菱形的判定和性质，折叠的性质，含30° 角 的直角三角形的边长关系，正确画出图形，添加辅助线，利用临界值求解是解题的关键．
（1）利用折叠的性质，可得上EPD = 上EPD¢ , 即可得DP = DP¢ = ED ¢ , 先证明四边形D¢EDP 为平行四边形，再证明菱形即可；
（2）作 PC 的中点F ，连接D¢F ，证明 ED¢ = DP = PF = FC ，即可解答；
（3）找到两个临界值，即 N 刚好落在AP 和AC 上，求出此时的DP ，则可得DP 的取值范 围．
【详解】（1）证明：Q将△ADP 沿着线段AP 折叠，点 D 落在D¢ 处，
:上EPD = 上EPD¢ , DP = DP¢ , QD¢E Ⅱ CD ，
:上D¢EP = 上EPD = 上EPD ¢ , :D¢E = D ¢P = DP ，
: 四边形D¢EDP 为平行四边形， QDP = D ¢P ，
:平行四边形D¢EDP 为菱形；
（2）解：如图，作 PC 的中点F ，连接D¢F ， Q 点D¢ 为AC 的中点，
QED¢ Ⅱ PF ，
: 四边形ED¢FP 为平行四边形， :ED¢ = DP = PF = FC ，
Q 四边形ABCD 为平行四边形， :DC = AB = 10 +10 ，
（3）解：当点 N 落在AP 上时，如图，
根据折叠可得上MAD¢ = 上NAD¢ = 上DAP ， Q 上ADC = 45°, 上DAC = 105° ,
:上DAB = 135° , 上ACP = 30° ,
:上AD¢P = 45° ,
:上APD = 90° ,即 AP 丄 DC ，
设AP = DP = a ，则 PC = AP = a ，
根据DP + PC = DC ，可得 a + a = 10 +10 ， 解得a = 10 ；
: AD = DP = 10 ，
当点 N 落在AC 上时，如图，
则上MAD¢ = 上NAD¢ = 上DAB - 上DAC) = 15° , :上DAD¢ = 上DAB - 上D¢AB = 120° ,
:上DAP = 60° ,
过点P 作AD 的垂线段，交AD 于点Q ，
:△DQP 为等腰直角三角形， 设PD = x ，
Q上QAP = 60° ,
:上APQ = 30° ,
根据上一种情况可得AD = 10 ， 可得方程 ， 解得x = 30 -10 ，
即此时
:DP 的取值范围为10 ≤ DP ≤ 30 -10 3 ．
故答案为