初中数学北师大版（2024）九年级上册菱形的性质与判定课时练习

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册菱形的性质与判定课时练习，共68页。试卷主要包含了85 ，“**”难度系数 0等内容，欢迎下载使用。
专题 1.1 （1）菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【知识点梳理归纳】
【知识点 1】菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【要点说明】
菱形的定义的两个要素：①是平行四边形．@有一组邻边相等．即菱形是一个平行四边形， 然后增加一对邻边相等这个特殊条件．
【知识点 2】菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1 ．菱形的四条边都相等；
2 ．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心． 【要点说明】
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全 等的两部分．
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条 对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）．实际上，任何一个对角线互相垂直的 四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题．
【知识点 3】菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1 ．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2 ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3 ．四条边相等的四边形是菱形． 【要点说明】
前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的 基础上加上四条边相等．
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】菱形性质与判定的理解 【题型二】菱形角度的计算与证明
【题型三】菱形线段的计算与证明
【题型四】菱形面积的计算 【拓展延伸】
【题型五】菱形+一次函数合 【题型六】菱形+新定义问题
【题型七】菱形+动点路径+ 函数图象 【题型八】菱形+折叠对称变换
【题型九】菱形+最值问题
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“*”难度系数 0.85 ，“**”难度系数 0.65 ，“***”难度系数 0.4． 【夯实基础】
【题型一】菱形性质与判定的理解
*【例题 1】（2025·甘肃庆阳·三模）
1 ．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，从① AB = BC ；
② AC = BD ；③ AC ^ BD 中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD 是菱形，则应选择 （限填序号）．
*【变式 1】（2025·浙江·模拟预测）
2 ．对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互 相垂直．选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成一个命题，其中真命题的个 数为( )
A ．0 个 B ．1个 C ．2 个 D ．3 个
*【变式 2】（2025 八年级下·内蒙古·专题练习）
3 ．如图，在平行四边形ABCD 中，CD = 2AD ，BE 丄 AD 于点 E，F 为DC 的中点，连结 EF 、BF ，下列结论：① 上ABC = 2上ABF ；② EF = BF ；③ S四边形DEBC = 2S△BEF ；④
上CFE = 3上DEF ，其中正确结论的个数共有 个
【题型二】菱形角度的计算与证明
*【例题 2】（24-25 九年级上·浙江温州·开学考试）
4 ．如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是边AB，AC 的中点，取EC 的中点 O，连接DE，BO 并延长交于点 F，连接 BE，CF ．
(1)求证：四边形EBCF 为平行四边形．
(2)若BE = 2DE ，上ACB = 80° ,求 Ð BFC 的度数． *【变式 1】（2025·湖北咸宁·模拟预测）
5．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，分别以点A ，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧， 两弧交于F ，G 两点，画直线FG 交AC 于E 点，若上D = 140° ,则 上ABE = ° .
*【变式 2】（23-24 八年级下·江苏扬州·阶段练习）
6 ．在。ABCD 中， ÐBAD 的平分线交线段BC 于点E ，交线段DC 的延长线于点F ，以 EC 、CF 为邻边作。ECFG ，若 上ABC = 120° ,则上BDG = ．
【题型三】菱形线段的计算与证明
*【例题 3】（24-25 八年级下·河南洛阳·阶段练习）
7 ．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，点 E 在边CD 上，且上D = 上BEC ．
(1)求证：AD = BE ．
(2)若BC 丄 CD ，AB = AD ，CD = 18 ，BC = 12 ，求线段 AB 的长． *【变式 1】（2025·安徽合肥·三模）
8 ．如图，平行四边形ABCD 中， ÐBAD 的平分线AE 交BC 边于点E, BF 丄 AE 交AD 边于 点F, AB = 5, AE = 4 ，则 BF 的长为( )
A ．3 B ． C ．6 D ． *【变式 2】（2025·浙江杭州·模拟预测）
9 ．如图，菱形ABCD, 上B = 60° , 点E 为BC 上一点，连接AE ，将射线AE 绕着点E 顺时针 旋转60° 交CD 于点F ，若 DF = 4 ，CF = 2 ，则 AE = ．
【题型四】菱形面积的计算
**【例题 4】（2025·江西宜春·模拟预测）
10 ．【课本再现】
【定理证明】
（1）如图 1，已知在四边形ABCD 中，AB = BC = CD = DA ，求证：四边形ABCD 是菱形． 【知识应用】
（2）如图 2，在四边形ABCD 中，ADⅡBC ，AB = CD ，上1= 上2 ， Ð 3 = Ð 4 ，对角线AC 和BD 相交于点 O．
①求证：四边形ABCD 是菱形；
@若上DAC = 60° , AC = 2 ，求：四边形 ABCD 面积． *【变式 1】（24-25 八年级下·湖北十堰·期中）
11 ．如图，在菱形ABCD 中，上DAC = 30° , BD = 4 ，则菱形 ABCD 的面积为( )
A ．4 B ．8 C ．8 D ．16 *【变式 2】（24-25 八年级下·江苏无锡·阶段练习）
12 ．如图，在菱形ABCD 中，AC = 8 ，DB = 6 ，过点 D 作DE 丄 AB ，垂足为 E ，则 DE 的 长为 ．
思考
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理；
四条边相等的平行四边形是菱形．
【拓展延伸】
【题型五】菱形+一次函数合
**【例题 5】（23-24 八年级下·四川绵阳·期末）
13 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与直线CD : y = kx - 2 相交于点 M (4, a )，分别交坐标轴于点 A ，B ，C，D．
(1)求 a 和 k 的值；
(2)如图，点 P 是直线CD 上的一个动点，设点 P 的横坐标为 m ，当S△PBM = 20 成立时，求点
P 的坐标；
(3)直线AB 上有一点 F，在平面直角坐标系内找一点 N，使得以BF 为一边，以点 B ，D ，F， N 为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点 N 的坐标．
**【变式 1】（23-24 八年级下·广西南宁·阶段练习）
14 ．如下图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点 A 的坐标为(2, 0) ，点 B 的坐标 为(0,1) ，点 C 在第一象限，对角线BD 与 x 轴平行，直线y = x + 3 与 x 轴、y 轴分别交于点
E、F．将菱形ABCD 沿 x 轴向左平移 m 个单位，当点 D 落在 △EOF 的内部时（不包括三角 形的边），m 的取值范围是( )
A ．4 < m < 6 B ．4 ≤ m ≤ 6 C ．4 < m < 5 D ．4 ≤ m ≤ 5 **【变式 2】（2025·江西吉安·一模）
15 ．如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中， A (0, 4) ， B (-3, 0) ，AD = 6 ．若 点 M 在平面直角坐标系内，点 F 在直线AB 上（不在坐标轴上），且以A ，C，F，M 为顶点 的四边形为菱形，则所有符合条件的点 F 的坐标为 ．
【题型六】菱形+新定义问题
**【例题 6】（24-25 八年级下·江苏镇江·期中）
16 ．阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对 角线的四边形叫做鹞形．如图 1，四边形ABCD 中，若AC 垂直平分BD ，那么四边形ABCD 称为鹞形．
(1)写出图 1 所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______ ；②_______；
(2)如图 2，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在边BC 和CD 上，且四边形AECF 是鹞形 （AC 垂直平分EF ），求证平行四边形 ABCD 是菱形．
(3)如图 3，在（2）的条件下，连接AC 、EF ，若AC = 12 ，AB = 10 ，DF = 4 ，则EF 的长 度为________．
**【变式 1】（24-25 七年级下·北京·期中）
17 ．在平面直角坐标系中，对于任意一点P(x, y) ，定义如下变换：将点P 的横坐标除以 2， 纵坐标取相反数，得到点 ，则称 R 是P 的半距点．以下说法正确的是( )
①若点A(2, -2)，则点 A 的半距点的坐标是(1, 2)；
②若点D (m, n ) 的半距点位于第四象限，则m > 0 ，n < 0 ；
③若把P 的半距点Q 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到坐标(3, 4)，则 P 的坐标
是(2, -1) ；
④若点F 的半距点到x 轴的距离与到y 轴的距离之和为 3，则所有符合条件的点F 围成的图 形的面积是 36．
A ．①②③ B ．①③④ C ．①④ D ．①②③④
**【变式 2】（23-24 八年级下·全国·单元测试）
18．菱形、矩形与正方形的形状有差异， 我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或 矩形的“接近度”．
设菱形相邻两个内角的度数分别为 m ，n．
（1）若我们将菱形的“接近度”定义为|m - n | ，于是|m - n | 越小，菱形就接近正方形．若菱 形的一个内角为70° ,则“接近度” = ；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为 则菱形的“接近度” = 时，菱形就是正 方形．
【题型七】菱形+动点路径+ 函数图象
**【例题 7】（23-24 九年级下·广东茂名·阶段练习）
19 ．如图，P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A → B → C 的路径匀速运动到 点C ，点 R 是CD 边的中点，点M ，点 N 分别是线段AP ，PR 的中点，设P 点运动时间为 x ，MN 的长为y ，则y 关于x 的函数图像大致为( )
C．
B．
D．
A．
**【变式 1】（23-24 八年级下·山东济宁·期中）
20 ．如图，在矩形ABCD 中，边AB 长4cm ，边BC 长8cm ，对角线BD 的垂直平分线EF 分 别与AD、BC 相交于点E、F，BD 和EF 相交于点 O，动点P、Q 分别从B、D 两点出发，分 别绕 △BAE 和 △DCF 运动，点 P 的速度为5cm / s ，路径为 B → E → A → B ．点 Q 的速度为 4cm / s ，路径为 D → C → F → D，两个动点返回起点后均停止运动．若点 P 和点 Q 同时出 发，当四边形BPDQ 为平行四边形时，所用时间为 s．
**【变式 2】（22-23 八年级下·河南新乡·期末）
21 ．如图 1，在菱形ABCD 中， 上D = 60° , 点E 在边 CD 上，连接AE ，动点P 从点A 出发， 在菱形的边上沿A → B → C 的路径，以1cm/s 的速度匀速运动至点C 停止．在此过程中，
△PAE 的面积y(cm2 ) 随运动时间x(s)变化的函数图象如图 2 所示，则当x =9 时，y 的值为 ( )
A ．6 B ． C ．9 D ．12
【题型八】菱形+折叠对称变换
**【例题 8】（21-22 八年级下·江苏扬州·期中）
22．在菱形ABCD 中， Ð B = 60° , BC = 4 ，M 为AB 的中点，N 为BC 上一动点（不与点 B 重合），将 △BMN 沿直线MN 折叠，使点 B 落在点 E 处，连接DE ，CE ，当 △CDE 为等腰三 角形时，线段BN 的长为 ．
**【变式 1】（2025·广东广州·一模）
23．如图，在菱形ABCD 中，上B = 60，点G 、E 分别在边BC 、CD 上，BG = DE ，将△AED 沿AE 折叠，点D 落在AG 延长线上的点F 处，则上CGF 的大小是 ．
**【变式 2】（2025·河南信阳·三模）
24 ．如图，在YABCD 中，AC = 6 ，将YABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为EF ，且 EF = 8 ，则 YABCD 的边BC 上的高是( )
A ． B ． C ．5 D ．4
【题型九】菱形+最值问题
**【例题 9】（2025·海南省直辖县级单位·一模）
25 ．如图，菱形ABCD 边长为4 ，上B=60° , F 是BC 的中点，E ，G 分别是边AB ，CD 上 的两个动点，且EG 丄 AB ，连接EF 、AG ，则EG = ，EF + AG 的最小值是 ．
**【变式 1】（24-25 八年级下·广西桂林·期中）
26．如图，菱形ABCD 的边长为2 ，ÐDAB = 60° , 点E 为BC 边上的中点，点P 为对角线AC
上一动点，则PB + PE 的最小值为( )
A ．2 B ． C ． D ．1
**【变式 2】（24-25 八年级上·重庆·期末）
27．如图，在菱形ABCD 中，两条对角线 BD = 4 ，点P 是对角线AC 上一点（不
与端点A 重合），则 PD的最小值为 ．
1 ．①③或③①
【分析】本题主要考查了菱形的判定定理， 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互 相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案．
【详解】解：添加条件①时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB = BC ， :四边形ABCD 是菱形，故①符合题意； 添加条件②时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AC = BD ，
:不能得到四边形ABCD 是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 丄 BD ， :四边形ABCD 是菱形，故③符合题意；
故答案为：①③.
2 ．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定， 菱形的判定及性质，根据平行四边形的判定、菱形 的判定及性质逐一判定即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解： ①②为条件，③为结论时为真命题：对角线互相平分的四边形为平行四边形， 一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直，故①②为条件，③为结论时 为真命题；
①③为条件，②为结论时为假命题：由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互 相平分，故①③为条件，②为结论时为假命题；
②③为条件，①为结论时为真命题：对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形， 菱形的邻边相等，故②③为条件，①为结论时为真命题；
综上，真命题的个数为2 个， 故选：C ．
3 ．4
【分析】如图延长 EF 交BC 的延长线于G ，取 AB 的中点H 连接FH ．想办法证明 FE = FG ，BE 丄 BG ，四边形 BCFH 是菱形即可解决问题；
【详解】
如图，延长EF 交BC 的延长线于点G ，取 AB 的中点H ，连接FH ． ∵ CD = 2AD，DF = FC ，
: CF = CB ，
: 上CFB = 上CBF， ∵ ABⅡCD ，
: 上CFB = 上FBH，
: 上CBF = 上FBH，
: 上ABC = 2上ABF，故①正确； ∵ DE ∥ CG ，
: 上D = 上FCG，
∵ DF = FC，上DFE = 上CFG， : △DFE≌△CFG (SAS) ，
: FE = FG ，
∵ BE 丄 AD ，
: 上AEB = 90 ° , ∵ ADⅡBC ，
: 上AEB = 上EBC = 90° ,
: BF = EF = FG ．故②正确． ∵S△EFD = S△FGC ，
∵ EF = FG，BE = BG，BF = BF， : △BEF≌△BFG (SSS ) ，
∵ S四边形DEBC = S△DEF + S△BEF + S△FCB ，S△EBG = S△BEF + S△FCB + S△FCG
: S四边形DEBC = 2S△BEF ， ,故③正确；
∵ AD Ⅱ HB，DF = CF，AB = CD， : CF = HB ，
∵ CF ∥ BH ，
:四边形BCFH 是平行四边形， : CF = BC ，
∵ CF = BC ，
:四边形BCFH 是菱形， : 上BFC = 上BFH ，
∵ FH Ⅱ AD，FE = FB，BE 丄 AD， : FH 丄 BE ，
: 上BFH = 上EFH = 上DEF ，
: 上EFC = 3上DEF ，故④正确．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形判定和性质、平行线的判定和性质、菱 形的判定和性质，是一道四边形综合题型，解题关键是熟练掌握四边形和三角形相关知识点．
4 ．(1)详见解析
(2) 上BFC = 10°
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判 定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键．
（1）根据三角形中位线的性质可得DE Ⅱ BC 、BC = 2DE ，即 上EFB = 上FBC ；再说明
OE = OC 、上EOF = 上BOC ，证得 △EOF≌△BOC 可得EF = BC ，最后根据一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）先证明平行四边形 BEFC 是菱形，再利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：Q 点 D ，E 分别是边AB，AC 的中点，
:DE Ⅱ BC ，BC = 2DE ，
:上EFB = 上FBC ，
∵点 O 是边EC 的中点， :OE = OC ，
Q 上EOF = 上BOC ，
:△EOF≌△BOC (AAS) ，
:EF = BC ，
Q DE Ⅱ BC ，
: 四边形EBCF 是平行四边形．
（2）解：QBE = 2DE ，BC = 2DE ，
:BE = BC ，
:平行四边形 BEFC 是菱形，
:BF 丄 CE ，上ACB = 上ACF = 80° ,
:上BFC = 90° - 上ACF = 10° .
5 ．20
【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质， 理解尺规作垂直平分线的 方法是解题的关键．利用菱形的性质得到CDⅡAB ，上DAC = 上上DAB ，结合
上D = 140° 得到上BAE = 20° ,由作图可知，点 E 在线段AB 的垂直平分线上，则有 AE = BE ，利用等边对等角即可求解．
【详解】解：Q菱形ABCD ，
: CDⅡAB ，上DAC = 上上DAB ，
:上DAB = 180° - 上D = 180° -140° = 40° ,
由作图可知，点E 在线段AB 的垂直平分线上，
: AE = BE ，
:上ABE = 上BAE = 20° .
故答案为：20．
6 ．60°
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长AB 、FG 交于 H， 连接HD ，求证平行四边形AHFD 为菱形，得出 △ADH ， △DHF为全等的等边三角形，证明
△BHD ≌△GFD ，即可得出答案．
【详解】解：延长 AB 、FG 交于 H，连接HD ，
Q ADⅡGF ，AB Ⅱ DF ，
: 四边形AHFD 为平行四边形，
Q 上ABC = 120° , AF 平分 ÐBAD ，
: 上 上ADC = 120° , 上DFA = 30° , :△DAF 为等腰三角形，
: AD = DF ，
:平行四边形AHFD 为菱形，
:△ADH≌△FDH ，且均为等边三角形，
:DH = DF ，上BHD = 上GFD = 60° ,
Q ADⅡEC ，
:上CEF = 上DAF = 上DFA = 30° , :△CEF 为等腰三角形，
又Q 四边形ECFG 为平行四边形， :FG = CE ，CE = CF ，CF = BH ，
:BH = GF ，
在 △BHD 与 △GFD 中，
:△BHD≌△GFD (SAS) ，
:上BDH = 上GDF ，
:上BDG = 上BDH + 上HDG = 上GDF + 上HDG = 60° .
故答案为：60° .
7 ．(1)证明见解析
(2)线段AB 的长为13
【分析】（1）由平行线的判定定理得到AD P BE ，再由平行四边形的判定与性质即可得证；
（2）由菱形的判定得到YABED 是菱形，设菱形ABED 的边长为x ，在Rt△BCE 中，由勾股 定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：Q 上D = 上BEC ，
: ADⅡBE ， Q AB∥CD ，
: 四边形ABED 是平行四边形， : AD = BE ；
（2）解：由（1）知，四边形 ABED 是平行四边形，
Q AB = AD ，
: YABED 是菱形，
设菱形ABED 的边长为x ， QCD = 18 ，
:EC = CD - DE = 18 - x ，
在Rt△BCE 中，BE = x ，BC = 12 ，EC = 18 - x ，则由勾股定理可得 BE2 = BC2 + CE2 ，即 x2 = 122 + (18 - x )2 ，
解得x =13，则线段 AB 的长为13 ．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、 勾股定理及解方程等知识．熟练掌握平行四边形的判定、菱形的判定与性质是解决问题的关 键．
8 ．D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质， 平行四边形的性质，勾股定理，解题关键是熟悉上 述知识，并能熟练运用求解．
先证明四边形ABEF 是菱形，再利用勾股定理求出BF ． 【详解】解：连结 EF ，
∵ AE 平分 ÐBAD ， : 上FAE = 上BAE ， ∵ BF 丄 AE ，
: AB = AF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD Ⅱ BC ，即 AF Ⅱ BE ， ∴ 上FAE = 上AEB ，
∴ 上BAE = 上AEB ， ∴ AB = BE ，
∴ AF = BE ，
又AF Ⅱ BE ，
∴四边形ABEF 是平行四边形， 又AB = BE ，
∴四边形ABEF 是菱形，
∴ AE 与BF 互相垂直平分，
∴ BF = 2BO = 2 ，
故选：D．
9 ．2
【分析】证明 上C = 120° 在AB 上取点G ，使 BG = BE ，连接 EG ，过 E 作EH丄 AB 于点
H ．则 △BEG 为等边三角形．证明 △AGE≌△ECF ，得到GE = FC = 2 ．BH = HG = 1 ，勾
股定理求出HE = , 则AH = 6 -1 = 5 ，再用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：Q 四边形ABCD 为菱形，
:AB = BC = CD = 6, ABⅡ CD ．
:上C + 上B = 180° .
:上C = 120° .
在AB 上取点G ，使 BG = BE ，连接 EG ，过 E 作EH丄 AB 于点H ．
则 △BEG 为等边三角形．
:上BGE = 60°, GE = BE = BG ．
:上AGE = 120° = 上C ．
由旋转，得AE = EF, 上AEF = 60° .
Q 上AEF + 上FEC = 上AEC = 上ABC + 上BAE ，
:上BAE = 上FEC ．
:△AGE≌△ECF ．
: GE = FC = 2 ．
Q BE = EG, HE 丄 AB,
:HE = = , AH = 6 - 1 = 5 ．
故答案为：2 ．
【点睛】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判 定与性质、勾股定理等知识， 熟练掌握菱形的性质、旋转的性质是关键．
10 ．（1）见解析；（2）①见解析；② 2
【分析】（1）先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再根据AB = AD 即可证明四边形ABCD 是菱形；
（2）①由平行线的性质得到上3 = 上2 ，再根据等角对等边得到 AB = AD，BC = DC ，最后 根据AB = CD 即可证明；
②根据勾股定理得到OA = 1 ，OD = ·、，求出△AOD 的面积，乘 4 即可. 【详解】解：（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，
Q AD = BC ，AB = CD ，
:四边形ABCD 是平行四边形．
又Q AB = AD ，
:口ABCD 是菱形．
（2）①证明：Q AD Ⅱ BC ， :上3 = 上2 ，
又Q 上1= 上2 ， Ð 3 = Ð 4 ， :上1= 上2 = Ð 3=Ð 4 ，
: AB = AD，BC = DC ， ∵ AB = CD
∴AB = AD = BC = DC :四边形ABCD 是菱形．
②在Rt△AOD 中，上DAC = 60° , AD = 2 ，
: OA = 1 ，OD = ·、i3 ， △AOD 的面积= ， :四边形ABCD 面积= 4 ×△AOD 的面积= 2 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质， 菱形的判定，平行线的性质，三角函数，熟 练掌握各知识点是解题的关键.
11 ．C
【分析】本题主要考查菱形的性质及面积，含30 度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练 掌握菱形的性质及面积是解题的关键．根据菱形的性质得上AOD = 90° , OD = OB = BD = 2 ， 再利用已知条件求AD ，根据勾股定理求出 AO ，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即 可．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，BD = 4 ，
: 上 Q 上DAC = 30° ,
: AD = 2OD = 4 ．
在Rt△AOD 中根据勾股定理得:
: AC = 2AO = 4 ，
故选:C．
12 ．
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质， 由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键．设AC 交BD 于O ，由菱形的性质 得出 丄 BD ，由勾股定理求出AB = 5 ，再由 菱形面积的两种计算方法，即可求出DE 的长．
【详解】解：设 AC 交BD 于O，，如图所示：
Q 四边形ABCD 是菱形，AC = 8 ，DB = 6 ，
丄 BD ，
: 上AOB = 90° ,
Q CE 丄 AB ，
: S菱形ABCD = AB . DE = AC . BD ，即 解得： ，
故答案为：
(2)P(-4, -5) 或P(12, 7)
(3) (2，- - 2)或(-2 - 2)或
【分析】（1）将点 M 的坐标代入函数的解析式即可求得a 的值，从而确定点M是坐标，再 将点M 的坐标代入y = kx - 2 即可求得k 值；
（2）首先得到直线的解析式，然后得到点 D 的坐标，根据 △PBM 的面积
求得xP = -4 或xP = 12 ，代入直线CD 的解析式即可求得 答案；
（3）设点F 的坐标为 ，根据点B 、D 的坐标，得到BD = 5 ，然后分①当BD 是边时和②当BD 是对角线时，则BD 的中点，即为NF 的中点，且FN Ⅱ x 轴，进而求解．
【详解】（1）解：将点 M 的坐标代入 并解得：a = 1， 故点M (4,1) ，
将点M 的坐标代入y = kx - 2 ，得 4k - 2 = 1 ， 解得：
: a = 1 ，k = ；
（2）解：由（1）得直线CD 的表达式为： 则点D(0, -2) ，
1 1
:△PBM 的面积= SΔBDM + SΔBDP = 2 × BD × xM - xP = 2 × (3+ 2) 4 - xP = 20 ，
解得：xP = -4 或xP = 12 ，
故点P 的坐标为(-4, -5) 或(12, 7) ；
（3）解：设点 F 的坐标为(çè m, - m + 3 ，
:当x = 0 时，y = 3 ， : B (0, 3) ，
∵ D (0, -2)
: BD = 5 ，
当BD ，BF 是边时，
当点F 在点N 的上方时，则BD = BF ，即 解得m = ±2 ，
则点F 的坐标为(2, - + 3)或(-2+ 3)；
点N 在点F 的正下方5 个单位，
则点N(2, - - 2)或N(-2 - 2)；
当BD 为对角线时，则BD 的中点坐标为(çè 0, ， :点F 纵坐标为 即
: m = 5 ，
( 1 ö
: NF 的中点也为çè0, 2 ,÷ ,
综上，点N 的坐标为(2，- - 2)或(-2 - 2)或(çè -5, ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、待定系数法， 菱形的判 定与性质等，解答的关键是注意分类求解，避免遗漏．
14 ．A
【分析】如图中，连接AC 交BD 于 K，延长DB 交EF 于 G．求出点 G、D 的坐标，求出BD、BG 即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 AC 交BD 于 K，延长 DB 交EF 于 G
:菱形ABCD 的顶点 A 的坐标为(2，0) ，点 B 的坐标为(0，1)，点
C 在第一象限，对角线BD 与 x 轴平行，
: AC 丄 BD BK = DK = 2 ， :点 D 的坐标为(4，1) ，
当y = 1 时，x + 3 = 1 ， 解得x = -2 ，
:点 G 的坐标为(-2，1)， : BD = 4，DG = 6 ，
:当4 < m < 6 时，点 D 落在 △EOF 的内部(不包括三角形的边)．
故选：A．
【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质， 求出点 D、点 G 的坐标是解题的关键．
15 ．(3, 8) 或 或
【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定， 分情况：① AC、AF 是邻边，点 F 在射线AB 上时；② AC、AF 是邻边，点 F 在射线BA 上时；③ AC 是对角线 时，作 AC 垂直平分线交射线 AB 于点F3 ；④ AF 是对角线时， AF 的垂直平分线经过点 C ， 分别求出即可．
【详解】解：连接 AC ，
在口ABCD 中，AD∥BC, AD = BC ， QA(0, 4) ， B (-3, 0) ，AD = 6 ，
:BC = AD = 6 ，
:OB = 3, OC = 6 - 6 = 3 ，
设直线AB 的解析式为y = kx + b ，把 A(0, 4) ， B (-3, 0) 代入，
解得： ，
:直线AB 的解析式为 ，
① AC、AF 是邻边，点 F 在射线AB 上时 所以点 F 与 B 重合，
即F1 (-3, 0) ，由题意舍去
② AC、AF 是邻边，点 F 在射线BA 上时， :M 在射线AD 上，且AD 垂直平分FC ，
: FC = 2OA = 8 ， : F2 (3,8) ；
@ AC 是对角线时，作AC 垂直平分线交射线AB 于点F3 ，
设 QA(0, 4) , C (3, 0)
: AC 的中点
在Rt△ANF 中，AN2 + NF2 = AF2
解得：
④ AF 是对角线时，AF 的垂直平分线经过点C ，
设 QA(0, 4) , C (3, 0)
: AF 的中点
在Rt△AGF 中，AG2 + CG2 = AC2
解得： 或m = 0 （不合题意舍去）
综上所述，所有符合条件的点 F 的坐标为(-3, 0) 或(3,8) 或 ç - , - ÷或(çè - , ． 故答案为：(3, 8) 或 或
16 ．(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；
(2)见解析
【分析】（1）在△ABC 和 △ADC 中， △ABC≌△ADC 即可得出结论；
（2）连接 AC, EF 相交于点O ，由（1）可得 上BCA = 上DCA ，由四边形 ABCD 是平行四边 形，可得上DCA = 上BAC ．再证出BC = BA ，然后得出平行四边形 ABCD 是菱形即可；
（3）连接 BD 与AC 相交于点G ，设 AC, EF 相交于点O ，由勾股定理得出
再求出S△ADC = S△ 再求出 S△△ 再由面积法求出 即可求解．
【详解】（1）解：Q AC 垂直平分BD ，
: AB = AD, BC = DC ， 在 △ABC 和 △ADC 中，
: △ABC≌△ADC(SSS) ，
:上BAC = 上DAC ，上ABC = 上ADC ，
即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等；
故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；
（2）证明：如图，连接 AC, EF 相交于点O ，
由（1）可得 上BCA = 上DCA ， Q 四边形ABCD 是平行四边形， :上DCA = 上BAC ．
:上BCA = 上BAC ．
:BC = BA ，
: 四边形ABCD 是菱形；
（3）解：如图，连接 BD 与AC 相交于点G ，设 AC, EF 相交于点O ，
Q 四边形ABCD 是菱形，
:BG = = = 8 ，
QDF = 4，
: CF = CD - DF = 6 ，
故答案为： ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，
勾股定理，菱形的判定与性质，解本题的关键是理解“鹞形”的定义．
17 ．B
【分析】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题．
①根据新定义求解；
②根据新定义和象限点的特征列不等式求解；
③根据新定义列方程求解；
④根据新定义和菱形的面积公式求解．
【详解】解：①点A(2, -2) 的半距点的坐标是(1, 2) ，故①正确；
②点D(m, n) 的半距点为
: m > 0，n > 0 ，故②错误；
③设P(x, y) ，则 解得：x = 2，y = -1，
: P (2, -1)，故③正确；
④设F(m, n) ，则
或 或 或 ， :四条直线围成一个菱形，且对角线长为 12 和 6，
:面积为 36，故④正确．
故选：B．
18 ． 40° 1
【分析】此题主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键．
（1）利用菱形的“接近度”定义为|m - n |，进而代入求出即可；
（2）根据当菱形的“接近度”等于 1 时，菱形的相邻的内角相等，进而得出答案． 【详解】解：（1）若菱形的一个内角为70° ,
: 该菱形的相邻的另一内角的度数110° , : “接近度”等于| 110 - 70 |= 40° ;
（2）当菱形的“接近度”等于 1 时，菱形的相邻的内角相等，因而都是 90 度， 则菱形是正方形；
故答案为：40° ；1．
19 ．D
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线的判定与性质、动点问题的函数图象等知 识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．连接AR ，根据三角形中位线的性质得 出 ，根据 A 、R 是定点得出AR 是定值可得y 是定值，即可判断y 关于x 的函数 图像．
【详解】解：如图所示，连接 AR ，
∵ M 是AP 的中点，N 是PR 的中点， :MN 是 △APR的中位线．
,即点 P 在符合条件的运动过程中，始终有 ．
∵ A 、R 是定点， : AR 是定值．
: y 是定值，与点P 运动的时间x 无关，
: y 关于x 的函数图像为平行于x 轴的射线，
故选：D．
【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、 菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨 论，画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果．
证明 △DOE≌△BOF ，得出 OE = OF ，再根据 EF 丄 BD ，证明四边形 DEBF 是菱形．设菱 形的边长DE = BE = xcm ，则 AE = (8 - x)cm ．在Rt△ABE 中，由勾股定理，算出x =5 ，即 得到BE = DF = DE = BF = 5cm ，由作图可以知道，P 点在BE 上时，Q 点在CD 上，此时 BPDQ 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在CF 或DF 上，也不可能 构成平行四边形．只有当P 点在AE 上，Q 点在CF 上时，才能构成平行四边形．即可确定 当以B, P, D, Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，DP = BQ，由此列方程即可；
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形， : ADⅡBC ．
: 上EDO = 上OBF ，上DEO = 上BFO ．
∵ EF 垂直平分BD ， : OB = OD ．
在 △DOE 和 △BOF 中，
ì上EDO = 上OBF
íï上DEO = 上BFO ，
ïlOB = OD
: △DOE≌△BOF ， : OE = OF ．
Q EF 丄 BD ，
:四边形DEBF 是菱形．
设菱形的边长DE = BE = xcm ，则 AE = (8 - x)cm ．
在Rt△ABE 中，AB = 4cm ，
由勾股定理，得16 +(8 - x)2 = x2 ， 解得x = 5 ．
:BE = DF = DE = BF = 5cm ，
由作图可以知道，P 点在BE 上时，Q 点在CD 上，此时BPDQ 四点不可能构成平行四边形；
同理P 点在AB 上时，Q 点在CF 或DF 上，也不可能构成平行四边形． :只有当P 点在AE 上，Q 点在CF 上时，才能构成平行四边形．
当以B, P, D, Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，DP = BQ ． :点P 的速度为5cm / s ，点Q 的速度为4cm / s ，运动时间为 ts ，
:DP = 5t - 5 + 5 = 5t, BQ = 8 - (4t - 4) = 12 - 4t ，
:5t = 12 - 4t ，
解得 ．
:以A, C, P, Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时， ．
21 ．B
【分析】设菱形的边长为a ，过点 A 作AF 丄 DC 于F ，根据图象可求出 a =6 ，再根据菱形 的性质求出 ，当 x =9 时，点P 到达边BC 的中点，然后根据分割法求y 的值．
【详解】解：设菱形的边长为a ，过点 A 作AF 丄 DC 于F ，如图，
,
则上AFD = 90° , Q 上D = 60° ,
:上DAF = 90° - 上D = 30° ,
由图可知，当点P 在点B 时， △PAE 的面积最大，
此时 解得：a = 6 或a = -6 （舍去），
: AB = BC = CD = DA = 6 ，AF = 3 ，
当点P 到达点C 时
: CE = 4 ，
:DE = 2 ，
Q 点P 的速度为1cm/s ，
: 当x =9 时，点P 到达边BC 的中点，如图所示：
,
则BP = CP = 3 ，
Q在菱形ABCD 中，上D = 60° , :上B = 上D = 60° , AB = BC ，
:△ABC 是等边三角形，
: AP 丄 ，
:y = S菱形ABCD - S△ADE - S△ABP - S△ECP

= 18 - 3
故选：B．
【点睛】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定 理，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．
22 ．4 或
【分析】分两种情况①当DE = DC 时， 连接DM ， 作DG 丄 BC 于G ，由菱形的性质得出
AB = CD = BC = 4, AD Ⅱ BC, AB Ⅱ CD ，求出 DG = CG = 2 ，BG = BC + CG = 6 ， 证明
△ADM≌△EDM ，得出上A = 上DEM = 120° , 证出D 、E 、N 三点共线， 设BN = EN = x ， 在 Rt△DGN 中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当 CE = CD 时， CE = CD = AD ， 得到 △CDE 是等边三角形， 即可解题．
【详解】解：分两种情况：
①当DE = DC 时， 连接DM ， 作DG 丄 BC 于G ，如图1所示：
:四边形ABCD 是菱形，
: AB = CD = BC = 4 ，AD Ⅱ BC ，AB Ⅱ CD ，: 上DCG = 上B = 60° , 上A = 120°, : DE = AD = 4 ，
: DG 丄 BC ，
: 上CDG = 90° - 60° = 30° ,
:DG = CG = 2 , BG = BC + CG = 6 ， : M 为AB 的中点，
: AM = BM = 2 ，
由折叠的性质得： EN = BN ，EM = BM = AM ， 上MEN = 上B = 60° , 在 △ADM 和 △EDM 中，
:△ADM≌△EDM (SSS)，
:上A = 上DEM = 120 ，
:上MEN+ 上DEM = 180 ， : D 、E 、N 三点共线，
设BN = EN = x, 则GN = 6 - x, DN = x + 4 ，
在Rt△DGN 中， 由勾股定理得：(6 - x )2 + 22 = (x + 4)2 ， 解得： 即
②当CE = CD 时，CE = CD = AD ，此时点 E 与A 重合，N 与点C 重合，如图2 所示：
则CE = CD = DE = DA,△CDE 是等边三角形，BN = BC = 4 (含CE = DE 这种情况)； 综上所述，当 △CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为 或4 ，
故答案为： 或4 ．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、 勾股定理、等腰三角形的性质等知识； 本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意 分类讨论．
23 ．80° ##80 度
【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理， 解题的关键在于熟练掌握相关性质．
根据菱形性质，证明 △ABG≌△ADE ，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出
上FAE = 上DAE = 上上BAD = 40° ,再利用三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，上B = 60 ，
: AB = AD, 上BAD = 120° ,
Q BG = DE ，
:△ABG≌△ADE (SAS)， :上BAG = 上DAE ，
由折叠的性质可知，上FAE = 上DAE = 上上BAD = 40° , :上AGB = 180° - 上B - 上BAG = 80° ,
故答案为：80° .
24 ．A
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，连接 AE ， CF ，设 □ABCD 的边BC 上的高为h，EF 与AC 于点O，先证明 △AOF≌△COE ，得出AF = CE ， 则可证明四边形AECF 是菱形，得出AC 丄 根据勾股 定理求出CE = 5 ，然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：连接 AE ，CF ，设 □ABCD 的边BC 上的高为 h ，EF 与AC 于点 O，
∵ □ABCD 折叠，使点 C 与点A 重合， : AO = CO ，AE = CE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， : ADⅡBC ，
: 上OAF = 上OCE ，
又AO = CO ，上AOF = 上COE ， : △AOF≌△COE ，
: AF = CE ， 又AF Ⅱ CE ，
:四边形AECF 是平行四边形， 又AE = CE ，
:平行四边形AECF 是菱形，
: AC 丄
即 □ABCD 的边BC 上的高是 ， 故选：A．
25 ． 2 6
【分析】连接 BG ，过点 A 作AN 丄 BC 于点N ，根据勾股定理得出 进而根据 S△菱形ABCD ，即可得出 EG 的长；延长EF, DC 交于点K ，取CD 中点H ，连接 AH 并 延长与BC 延长线交于点M ，连接FG, GM ，连接 AC ，证明 △BEF≌△CKF (AAS) ，得到 , 同理证明：△ADH≌△MCH ，△ADC 为等边三角形，继而可得CD 是AM 的垂直平分线，则MG = AG ，由 EF + AG = FG + GM ≥ FM ，即可确定最小值．
【详解】解：如图，连接 BG ，过点 A 作AN 丄 BC 于点N ，
∵菱形ABCD 边长为4 ， Ð B=60° ,则 上BAN = 30° : AB = 4 ，BN = 2
∵ EG 丄 AB ，
延长EF, DC 交于点K ，取CD 中点H ，连接AH 并延长与BC 延长线交于点M ，连接FG, GM ， 连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
:BC = CD = AD = AB = 6, AD∥BC, AB∥CD, 上B = 上D = 60° , :上K = 上BEF, 上B = 上FCK ，
∵F 是BC 的中点，菱形ABCD 边长为 4， : BF = CF = 2 ，
: △BEF≌△CKF (AAS) ， : EF = FK ，
∵ EG 丄 CD ，
同理证明： △ADH≌△MCH ， : AH = MH ，CM = AD = 4 ， ∵ AD = CD, 上D = 60° ,
: △ADC 为等边三角形， : AC = AD ，
∵ CH = DH ， : AH 丄 CD ，
: CD 是AM 的垂直平分线， : MG = AG ，
: EF + AG = FG + GM ≥ FM ，
当点F, G, M 三点共线时，取得最小值为FM = 2 + 4 = 6 ，
故答案为：2 ，6 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，
等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，难度较大，解题的关键在于转化思想的 运用．
26 ．B
【分析】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定 P 点 的位置是解答本题的关键．
找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB + PE 的最小值，求出即 可．
【详解】解：连接 BD ，交 AC 于O ，连接DE 交AC 于 P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得 B 、D 关于AC 对称，则PD = PB ，
: PE + PB = PE + PD = DE ，
即DE 就是PE + PB 的最小值． :四边形ABCD 是菱形，
: 上DCB = 上DAB = 60° , DC = BC = AB = 2 ， : △DCB 是等边三角形，
: DE 丄 CB （等腰三角形三线合一的性质）． 在Rt△CDE 中
即PB + PE 的最小值为 /3 ．
故选 B．
27 ．
【分析】如图，过点 P 作PE 丄 AB 于点E ，过点 D 作DF 丄 AB 于点F ，设 AC 交BD 于点 O ，根据菱形的性质得AB = AD = 4 = BD ，证明△ABD 为等边三角形，得ÐDAB = 60° , 继
而得到 进一步得 则当点D 、 P 、E 三点共线且垂直AB 时， PE+ DP 的值最小，即可得解．
【详解】解： 如图，过点P 作PE 丄 AB 于点E ，过点D 作DF 丄 AB 于点F ，设AC 交BD 于 点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，AC = 4 ，BD = 4 ，
: 上DAC = 上
:△ABD 为等边三角形， : 7DAB = 60° ,
∵ PE 丄 AB ，DF 丄 AB ，
:当点D 、P 、E 三点共线且垂直AB 时， PE+ DP 的值最小，最小值为DF ，
PD的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查菱形的性质， 等边三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，熟练 运用菱形的性质是解题的关键．