数学九年级上册菱形的性质与判定同步测试题

这是一份数学九年级上册菱形的性质与判定同步测试题，共58页。
（24-25 九年级上·山西晋中·期末）
1 ．在校园艺术节中，同学们准备制作4 个边长为100cm 的菱形画框．完成后，他们决定通 过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是
( )
A ． B ． C ． D．
（2023·黑龙江大庆·中考真题）
2 ．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若上BAD = a ，上CBE = β ,则 β = ( )
A ． B ． C ． D ． （24-25 九年级下·海南海口·阶段练习）
3 ．如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要A、E 之间的距离可以调 节，若AE = 90 cm 时，BD = 40 cm ，则 AB 长为( )
A ．50 cm B ．40 cm C ．30 cm D ．25 cm （24-25 九年级上·广东佛山·期末）
4 ．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与
复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为 16cm，12cm ，则它的两条对边的距离应为( )
A ．9.6cm B ．10.8cm C ．12cm D ．4.8cm （24-25 九年级上·陕西榆林·期末）
5 ．如图，在菱形ABCD 中，点 E 是边AB 上一点，连接DE，CE ，DE = AD ．若
上ADE = 36° ,则 上DEC 的度数为( )
A ．72° B ．54° C ．50° D ．48° （2025·湖南邵阳·三模）
6 ．如图，两张相同的宽为4cm 的矩形纸片叠放在一起，点O 是纸片中的任意一点．将一张 纸片绕着点O 逆时针旋转a° (0 < a < 180)，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形 ABCD ）面积的最小值是( )
A ．8 cm2 B ．8 cm2 C ．16cm2 D ．32cm2 （23-24 八年级下·重庆北碚·阶段练习）
7 ．如图， 在菱形ABCD 中， 对角线AC 、BD 相交于点 O ， AF 平分上BAC 交BD 于点 E ， 且点E 为线段AF 的中点，连接FC 并延长至点 G ，使得 CF = CG ，连接AG ，
若上BAC = 2a ．则上G = ( )
A ．60° B ．30° + a C ．90° - a D ．2a （23-24 九年级上·浙江嘉兴·开学考试）
8．如下图所示，O 为边长为 1 的等边三角形ABC 内（不含边界）任意一点，则OA + OB + OC 的不可能取值为( )
A ． B ． C ． D ．2
（2025·安徽池州·三模）
9 ．已知四边形 ABCD, 上BAC = 上DAC, 上BCA = 上DCA ，延长 BC 至点 E ，延长DC 至点 F ， 连接FE ．连接AC 并延长交FE 于点G ．下列条件中，不能推出AG 与FE 一定垂直的是
( )
A ．上CFE = 上CEF B ．BE = DF
C ．BA = BC D ．FG = GE
（23-24 八年级下·江苏泰州·期中）
10．如图，在 △ABC 中，上A = 90° , AB = AC = 8 ．将 △ABC 沿EF 折叠，使点A 落在BC 边 的中点 D 处，点 G、H、I 分别为BE、EF、CF 的中点，连接GH、HI、ID、DG，GH 与DE
相交于点 M，HI 与DF 相交于点 N，则四边形 DMHN 的面积为( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
（23-24 九年级下·浙江杭州·期中）
11 ．如图，A 、D 、E 三点共线，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEC 是菱形， CD = 4，BD = 7 ，则点 B 到点 E 的距离为 ．
（23-24 八年级下·广东肇庆·期末）
12．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大 家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架 Ð AOB ，
然后将橡皮筋两端分别固定在点 A, B 处，拉动橡皮筋上到 C 处．当四边形 OACB 是菱形时， 小明量得橡皮筋比固定时长了 1 倍，则 Ð AOB = ．
（2025·辽宁大连·一模）
13 ．如图，在 △ABC 中，ÐB = 90°,分别以点 A ，C 为圆心，大于 的长为半径作弧， 两弧分别交于点 M ，N，作直线 MN 交AB 于点 E，连接CE ，再以点 C 为圆心，CE 长为 半径作弧，交直线 MN 于点 D，连接 AD ，若 AB = 8 ，BE = 3 ，则四边形 ABCD 的面积 为 ．
（19-20 八年级下·山东日照·阶段练习）
14 ．如图，菱形 ABCD 中， AB ）， Ð ABC 为锐角，将△ABC 沿对角线AC 方向平移， 得到 △A¢B ¢C ¢ , 连接AB¢ 和C¢D ，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形AB¢C ¢D 是菱形， 只需添加的一个条件是 ．
（2024·重庆·二模）
16 ．如图，在平行四边形 ABCD 中， 上C = 45° , AB = 6 ，BC = 12 ．E 为BC 边上一点， 且满足CE = AE ，作 上CEA 的平分线EF 交AD 于点 F，则 EF 的长度为
（23-24 八年级下·山东泰安·期中）
17 ．如图，在菱形ABCD 中，上BAD = 60° , AC 与BD 交于点 O ，E 为CD 延长线上的一点，
且CD = DE ，连接 BE 分别交AC 、AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论中一定成立的 是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
② △ABG≌△DCO ；
③由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）
18 ．如图，已知第 1 个菱形AB1B2 C1 中，上B1AC1 = 60° , AB1 = 1 ，以对角线AB2 为边作第 2
个菱形AB2B3C2 ，使点C1 在菱形AB2B3C2 的内部，且上B2AC2 = 60° , 再以对角线AB3 为边作
第 3 个菱形AB3B4 C3 ，使点 C2 在菱形AB3B4 C3 的内部，且上B3AC3 = 60° ,顺次这样作下
去……，则第 2023 个菱形AB2023B2024 C2023 的面积为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分）
（24-25 九年级上·山西晋中·期中）
19 ．已知：如图，在Rt△ABC 中，上BAC = 90° , AD 为中线．
(1)尺规作图：作 Ð ADB 的角平分线DM ，交 AB 于点 E，在射线 EM 上截取EF = ED ，连 接AF ，BF ；
(2)试判断（1）中所得四边形 ADBF 的形状，并说明理由． （23-24 九年级上·全国·课后作业）
20 ．如图， △ABC 中，D 是BC 上一点，DE Ⅱ AC 交AB 于E ，DF P AB 交AC 于F ．
(1)求证：四边形AEDF 是中心对称图形；
(2)若AD 平分 ÐBAC ，求证：点 E，F 关于直线AD 对称． （24-25 九年级上·福建厦门·阶段练习）
21 ．如图，在。ABCD 中，AC，BD 交于点O ，点 E，F 在AC 上，AE = CF ．
(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；
(2)若ÐBAC = ÐDAC, 求证：四边形EBFD 是菱形． （24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）
22．四边形ABCD，AB = AD，PE、PF 分别是边BC、CD 的中垂线，连接PA，PB，PC，PD ， 延长AP 交BC 于点 H，延长 CP 交AB 于点 G，若 AD∥BP，CG 丄 AB ．
(1)判断四边形ABPD 的形状，并加以证明；
(2)求 Ð AHB 的度数；
(3)若BH = 6，CH = 2 ，求 AB 的长度． （23-24 八年级下·山西大同·期末）
23 ．综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形ABCD 和 菱形AEFG ，其中上BAD = 上EAG ，连接BE ，DG ．（菱形 AEFG 的位置不动，改变菱形ABCD 的位置）
操作发现：
（1）如图 1，当边 AD 与AE 重合时，直接写出BE 与DG 之间的数量关系． 探究发现：
（2）将两个菱形纸片按如图 2 所示的方式放置，其中点 D 在边EF 上，（1）中的结论是否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
拓广探究：
（3）创意小组的同学发现图 1 中的上ABE = 45° , 上BAD = 60° , AB = 6 ．
①求菱形AEFG 的边长（结果化为不含分母的形式，提示：
@在放置两个菱形纸片的过程中，当A ，B ，F 三点在同一条直线上时，连接CG ，请直接 写出CG 的长．
（2024·山西长治·模拟预测）
24 ．综合与实践：
【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第 64 页的数学活动 1 ．其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60° , 30° , 15° 等大小的角，可以采用下面 的方法（如图 1）；
（1）对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平．
（2）再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕 BM ．同时， 得到了线段BN ．
【知识运用】请根据上述过程完成下列问题：
（1）已知矩形纸片 求线段BM 的长；
（2）通过观察猜测 上NBC 的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】
（3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图 2），将MN 延长交BC 于点 G ．将△BMG 沿MG 折叠，点B 刚好落在AD 边上点H 处，连接GH ，把纸片再次展平．请 判断四边形BGHM 的形状，并说明理由．
1 ．B
【分析】本题考查了菱形的判定， 根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断 定理是解题的关键．
【详解】解：A 、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由 勾股定理可得菱形的边长为100cm ，能判定画框为边长100cm 的菱形，该选项不合题意；
B 、由同旁内角互补， 两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所 以不能判定画框为菱形，该选项符合题意；
C 、由四边形都等于100cm ，能判定画框为边长为100cm 的菱形，该选项不合题意；
D 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为100cm ， 能判定画框为边长为100cm 的菱形，该选项不合题意；
故选：B ．
2 ．D
【分析】由题意可得 上FBG = 上DAB = a ，由菱形的性质可得
AD∥BC，上ABD = 上CBD = a + β ,由平行线的性质可得 上DAB + 上ABC = 180° ,进行计算 即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：上FBG = 上DAB = a ， Q 四边形ABCD 为菱形，
: AD∥BC，上ABD = 上CBD = a + β ,
:上DAB + 上ABC = 180° ,
Q上ABC = 上ABD + 上CBD = a + β + a + β = 2a + 2 β
: a + 2a + 2β = 180° ,
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质， 熟练掌握菱形的性质、平行线的性质， 是 解题的关键．
3 ．D
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识，连接 AC ，BD 相交于点 O，根据菱形 的性质可得 丄 BD ，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 AC ，BD 相交于点 O，
∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，A，E 间的距离调节到90cm ， : AC = 90 ÷ 3 = 30cm ，
∵菱形ABCD 中，BD = 40cm ，
丄 BD ，
故选：D．
4 ．A
【分析】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法， 正确地求出菱形的边长是解题的关键．设最外层菱形为菱形ABCD ，它的对角线 AC 、BD 相交于点E ， AC = 16cm ，BD = 12cm ，由 AC 丄 BD ，得 上AEB = 90 ° , 而 AE = CE = 8cm ， BE = DE = 6cm ，所以 设菱形ABCD 两条对边的距离h cm ，则
,解方程求出 h 的值即得到问题的答案．
【详解】解： 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，AC = 16cm ，BD = 12cm ，
Q AC 丄 BD ，
:上AEB = 90° ,
设菱形ABCD 两条对边的距离h cm ，
解得h = 9.6 ，
:它的两条对边的距离应为9.6cm ， 故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得AD = CD ，CD ⅡAB ，再由等腰 三角形的性质得出上A = 上DEA = 72° , 根据平行线的性质求出上CDE = 上DEA = 72° , 再根据 等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形， : AD = CD ，CD ⅡAB ，
QDE = AD ，上ADE = 36° ,
:DE = CD ，上 Q CD Ⅱ AB ，
:上CDE = 上DEA = 72° ,
Q DE = DC ，
故选：B．
6 ．C
【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点 D 作DN 丄 AB ，
DE 丄 CB ，连接 AC 、BD 交于点 O ．根据题意先证出四边形ABCD 是平行四边形，再由
DN = DE ，S△ADB = S△CDB ，得AB = BC ，即有平行四边形ABCD 是菱形，结合图形得出旋转 过程中，菱形的高不变，底变化，当两张纸片垂直时，即DA 丄 AB 时，底边AB 最短，即可 求出面积最小值．
【详解】解：过点 D 作DN 丄 AB ，DE 丄 CB ，连接 AC 、BD 交于点 O．
由题意知：ADⅡBC ，ABⅡCD ， :四边形ABCD 是平行四边形，
:两个矩形等宽，
: DN = DE ，
:在平行四边形ABCD 中，S△ADB = S△CDB ，
: AB = BC ，
:平行四边形ABCD 是菱形，
旋转过程中，菱形的高不变，底变化，
当两张纸片垂直时，即DA 丄 AB 时，底边AB 最短，此时面积为：4 × 4 = 16cm2 ， 故选：C．
7 ．C
【分析】本题考查了菱形的性质， 中位线的性质，垂直平分线的性质与判定；根据角平分线 的定义可得上上BAC = a ，根据菱形的性质以及中位线的性质可得出 AC 丄 FG ，进 而根据垂直平分线的性质可得AF = AG ，根据等边对等角以及三角形的内角和定理，即可 求解．
【详解】解：: AF 平分上BAC ，上BAC = 2a ，
:四边形ABCD 是菱形， : OA = OC ，
又:点E 为线段AF 的中点， : OE Ⅱ CF ，AC 丄 BD
: AC 丄 FG ，
又: CF = CG ，
: AF = AG
: 上G = 上F = 90° - 上FAC = 90° - a 故选：C．
8 ．A
【分析】将 △ABO 绕点 A 顺时针旋转60° 得到△ADE ，如图，连接 EO 交AB 于点 F，连接 BD ，根据旋转的性质可证△AEO 是等边三角形，可得AO = EO ，从而可得
OA + OB + OC = EO + DE + OC ，当DE 、OC 在一条直线上时，OA + OB + OC 有最小值，最 小值为DC 的值，证明四边形ADBC 是菱形，可得 ， AD = 1 ，再利用勾股定理求得
从而可得AO + BO + CO ≥ ·、 ，即可求解．
【详解】解： 将 △ABO 绕点 A 顺时针旋转60° 得到△ADE ，如图，连接EO 交AB 于点 F，连 接BD ，
:△ABO≌△ADE ，上OAE = 60 ° , : DE = BO ，
: AE = AO ，
:△AEO 是等边三角形， : AO = EO ，
: OA + OB + OC = EO + DE + OC ，
:当DE 、OC 在一条直线上时，OA + OB + OC 有最小值，最小值为DC 的值， 此时上DAC = 上DAB + 上CAB = 120° ,
: △ABC 是等边三角形， : 上ACB = 60° ,
: 上DAC + 上ACB = 120° + 60° = 180° , : ADⅡBC ，
又: AD = AB = BC ，
:四边形ADBC 是平行四边形， 又: AC = BC ，
:四边形ADBC 是菱形， : AB 丄 DC ，
: AD = AB = 1 ，
在Rt△ADF 中 : DC = 2DF = ，
: AO + BO + CO ≥ · ,
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理， 线段和最小值，熟练掌握相关定理是解题的关键．
9 ．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质，菱形的判定 和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据上CFE = 上CEF ，得出 CE = CF ，
证明上FCG = 上ECG ，根据等腰三角形的三线合一得出CG 丄 EF ，即可判断 A 选项；证明
△ACB≌△ACD ，得出 BC = CD ，从而得出 CE = CF ，根据等腰三角形的性质即可判断 B 选 项；根据BA = BC 无法证明AG 丄 EF ，即可判断 C 选项；延长AG ，取 GH = CG ，连接 EH 、FH ，证明 △CGE≌△HGF ，得出 FH = CE ，上FHG = 上ECG ，证明四边形CFHE 为 平行四边形，再证明四边形CFHE 为菱形，即可判断 D 选项．
【详解】解：A ．: 上CFE = 上CEF ， : CE = CF ，
: 上ACD = 上FCG ，上ACB = 上GCE ，上BCA = 上DCA ，
: 上FCG = 上ECG ， : CG 丄 EF ，
即AG 丄 EF ，故 A 不符合题意；
B ．:上BAC = 上DAC, 上BCA = 上DCA ，AC = AC ，
: △ACB≌△ACD ， : BC = CD ，
: BE = DF ，
: BE - BC = DF - CD ， 即CE = CF ，
根据 A 选项解析可知，此时AG 丄 EF ，故 B 不符合题意；
C ．当BA = BC 时，无法证明AG 丄 EF ，故 C 符合题意；
D ．延长AG ，取 GH = CG ，连接 EH 、FH ，
: 上FGH = 上CGE ，EG = FG ， : △CGE≌△HGF ，
: FH = CE ，上FHG = 上ECG ，
: FH Ⅱ CE ，
:四边形CFHE 为平行四边形，
根据 A 选项解析可知：上FCG = 上ECG ， : 上FCG = 上FHG ，
: FC = FH ，
:四边形CFHE 为菱形，
: CG 丄 EF ，即 AG 丄 EF ，故 D 不符合题意．
故选：C．
10 ．B
【分析】先证明 △ABF≌△ACE (SAS)，得出四边形GDIH是菱形，通过角和边的换算，得出 点E 和点F 分别是AB，AC 的中点，得证点M是GH 的中点，点N是HI 的中点，根据等底
同高得出S△MDH = S△MDG，S△NDH = S△NDI ，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 【详解】解：如图：连接CE，BF，AD
∵ 上A = 90° , AB = AC = 8 ． : △ABC 是等腰直角三角形
则上ABC = 上ACB = 45°
∵将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点 D 处 : AD 丄 BC，AD 丄 EF，
: EF Ⅱ BC
: 上AEF = 上ABC = 45°, 上AFE = 上ACB = 45° : AE = AF
∵ AB = AC，上A = 上A : △ABF≌△ACE (SAS)
则BF = CE ，
∵I 为CF 的中点
: A，H，D 三点共线
∵点 G 、H 分别为BE、EF 的中点，点 D 在BC 边的中点处
: GH，DI 分别是 △EBF，△CBF 的中位线
: GH Ⅱ BF，DI Ⅱ BF，GH DI : GH = DI，GH Ⅱ DI
:四边形GDIH是平行四边形 同理得 :四边形GDIH是菱形
则连接 GI，分别交 ED，FD 于点P，Q，连接HP，HQ
∵折叠
: 上DEF = 上AEF = 45°, 上DFE = 上AFE = 45°, AE= ED，AF = DF : 上BED = 90° = 上CFD
∵ 上ABC = 上ACB = 45°
: △BDE，△CDF 都是等腰直角三角形 : BE = ED = AE，CF = DF = AF
:点E 和点F 分别是AB，AC 的中点 则EF = BD = CD
则GP = EH
∵点 G 、H、I 分别为BE、EF、CF 的中点 : EH Ⅱ BC，GI Ⅱ BC，
则GP Ⅱ EH
则EGPH 是平行四边形 则点M是GH 的中点
同理得点N是HI 的中点
则S△MDH = S△MDG，S△NDH = S△NDI
:四边形DMHN 的面积为菱形GDIH 的面积一半 ∵ 上A = 90° , AB = AC = 8 ．
: AD2 + BD2 = AB2，AD2 = BD2 则
则GI = GP +PQ + QI = 3GP = 1.5BD = 6 ，
:菱形GDIH 的面积
:四边形DMHN 的面积为6 ， 故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质， 中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股 定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
11 ．6
【分析】本题考查了菱形的性质， 勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题 的关键．
如图，连接BE 交CD 于O ，由菱形的性质可得 由
勾股定理得 进而可求BE 的长．
【详解】解：如图，连接 BE 交CD 于O ，
: BDEC 是菱形，CD = 4，BD = 7 ，
: BE 丄 由勾股定理得 : BE = 6 ，
故答案为：6 ．
12 ．60° ##60 度
【分析】本题考查了菱形的性质， 等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质、等边三 角形的判定和性质是解题的关键．根据当四边形OACB 是菱形时，橡皮筋比固定时长了 1 倍， 可得AC + BC = 2AB ，结合菱形的性质，得到 AC = BC = AB ，即△ABC 是等边三角形，即 可得到上AOB = 上C = 60° .
【详解】解：Q 当四边形OACB 是菱形时，橡皮筋比固定时长了 1 倍， : AC + BC = 2AB ，
又Q 四边形OACB 是菱形，
: AC = BC ，上AOB = 上C ，
: AC = BC = AB ，即△ABC 是等边三角形，
: 上C = 60° ,
: 上AOB = 上C = 60° .
故答案为：60° .
13 ．26
【分析】本题考查了菱形的性质和判定， 垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练 掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：MN 是AC 的垂直平分线，CE = CD ，进而可 证四边形ADCE 是菱形，再根据勾股定理求出BC ，再根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知：MN 是AC 的垂直平分线，CE = CD ，
: CE = CD = AD = AE = AB - BE = 8 - 3 = 5 ， : 四边形ADCE 是菱形，
: AE∥CD ，
Q 上B = 90° ,
: 四边形ABCD 的面积为 故答案为：26．
14 ．75
【分析】根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知 AD'=AB，从而求出∠AD'B 的度数. 【详解】解：∵四边形 ABCD 为菱形，
:AB=BC=CD=AD ，CDⅡAB， ∵∠D=120° ,
:∠DAB=60° ,
∵AC 为菱形 ABCD 的对角线， :∠BAC=30° ,
∵将菱形沿直线 AE 翻折，使点 D 恰好落在对角线 AC 上， :AD'=AD，
:AD'=AB，
故答案为：75.
【点睛】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键.
15 ．AB ¢ = B ¢C ¢ （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形 AB¢C ¢D 是平行 四边形，再根据菱形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：∵ YABCD ， : AD = BC ，AD Ⅱ BC ，
由平移可得BC = B ¢C ¢ , BC Ⅱ B ¢C ¢ , : AD = B ¢C ¢ , AD Ⅱ B ¢C ¢ ,
:四边形AB¢C ¢D 是平行四边形，
若AB¢ = B ¢C ¢ ,则 AB¢ = B ¢C ¢ = AD = DC ¢ , :四边形AB¢C ¢D 是菱形．
故答案为：AB ¢ = B ¢C ¢ （答案不唯一）．
16 ．2
【分析】本题考查了菱形的判定和性质， 平行四边形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得 CE = AE = 10 ，证明四边形 AECF 是菱形，利用菱形的面积公式列式计算即可求解．
【详解】解：连接 AC、CF ，作 AH丄 CB 交CB 的延长线于点H ，
∵平行四边形ABCD 中，上DCB = 45° , : CD Ⅱ BA ，ADⅡBC ，
: 上ABH = 45° , ∵ AB = 6 ，
: AH = BH = 6 ， 设CE = AE = x ，
: HE = 12 + 6 - x = 18 - x ，
在Rt△AEH 中，AE2 = AH2 + EH2 ，即 x2 = 62 + (18 - x )2 ， 解得x = 10 ，
: CE = AE = 10 ，
在Rt△AEH 中，AC = = 6 ，
∵ CE = AE ，EF 平分上CEA ， : EF 是线段AC 的垂直平分线， : CF = AF ，
∵ ADⅡBC ，
: 上AFE = 上CEF = 上AEF ， : AE = AF ，
: AE = AF = CE = CF ， :四边形AECF 是菱形，
故答案为：2 ．
17 ．①②③
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性 质、三角形中位线定理等知识；
由AAS 证明 △ABG≌△DEG ，得出 AG = DG ，证出OG 是△ABD 的中位线，得出
①正确；先证四边形ABDE 是平行四边形，再证△ABD 、 △BCD 是等边三角 形，得AB = BD = AD ，则四边形ABDE 是菱形，③正确；由SAS 即可证明 △ABG≌△DCO ， 则②正确．
【详解】证明：Q 四边形ABCD 是菱形，
: AB = BC = CD = DA ，ABⅡCD ，OA = OC ，OB = OD ，
:上BAG = 上EDG ，
QCD = DE ，
: AB = DE ，
∵ 上AGB = 上DGE ，
:△ABG≌△DEG (AAS)，
: AG = DG ，
:OG 是△ABD 的中位线，
: OG = AB ，故①正确； 连接AE ，
: AB ⅡCE ，AB = DE ，
: 四边形ABDE 是平行四边形， Q 上BCD = 上BAD = 60° ,
:△ABD 、 △BCD 是等边三角形， : AB = BD ，
:四边形ABDE 是菱形，故③正确； :△ABD 、 △BCD 是等边三角形，
: AB = BD = AD ，上ODC = 60° ,
: OD = AG ，
在△BGA 和△COD 中，
ï
ìAG = DO
í上BAG = 上CDO ， ïlAB = DC
:△BGA≌△COD (SAS)， 综上，①②③都正确， 故答案为：①②③.
18 ．
【分析】先分别求出菱形的对角线长，再依次求出面积，然后得出规律，进而得出答案． 【详解】如图，连接B1C1 ，根据题意可知上B1AC1 = 60° , AB1 = AC1 ，AO = B2 O ，且
AO 丄 B1C1，
:△AB1C1 是等边三角形， : B1C1 = AB1 = 1.
在Rt△AOB1 中，上B1AO = 30° ,
根据勾股定理，得
可知 得 形
同理：
B2C2 = AB2 = 则 形
···
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质， 数字变化规律问题等，根据变化特点得出规律是解题 的关键．
19 ．(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】本题主要考查基本作图，菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据要求作图即可；
（2）先证出 ADBF 是平行四边形，再根据DM 丄 AB 即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）四边形 ADBF 是菱形．
证明：∵在Rt△ABC 中，AD 为中线， : AD = BD ．
又∵DM 平分 Ð ADB ， : DM 丄 AB ，BE = AE ． 又∵EF = ED ，
:四边形ADBF 是平行四边形． ∵ DM 丄 AB ，
:四边形ADBF 是菱形．
20 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明四边形 AEDF 是平行四边形，即可得证；
（2）由角平分线的定义得 上BAD = 上CAD ．进而利用平行线的性质得
Ð CAD = Ð ADE = Ð BAD 从而得AE = DE ．四边形AEDF 是菱形，根据菱形的性质即可得 证．
【详解】（1）证明：∵ DE Ⅱ AC ，DF P AB ，
:四边形AEDF 是平行四边形，
:四边形AEDF 是中心对称图形．
（2）证明：∵ AD 平分 ÐBAC ， : 上BAD = 上CAD ．
又∵DE Ⅱ AC ，
: 上CAD = 上ADE ，
: 上BAD = 上ADE ， : AE = DE ．
又∵四边形AEDF 是平行四边形， :四边形AEDF 是菱形，
: AD 垂直平分EF ，
:点E ，F 关于直线AD 对称．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、角平分线的定义， 平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
21 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据四边形 ABCD 为平行四边形，得出AO = CO ，BO = DO ，再根据 AE = CF ，得出 EO = FO ，即可证明结论；
（2）先证明 上DCA = 上DAC ，得出DA = DC ，证明四边形 ABCD 为菱形，得出 AC 丄 BD ， 即可证明结论．
【详解】（1）证明：:四边形 ABCD 为平行四边形，
: AO = CO ，BO = DO ， : AE = CF ，
: AO - AE = CO - CF ， 即EO = FO ，
:四边形EBFD 是平行四边形．
（2）:四边形 ABCD 为平行四边形，
: ABⅡCD ，
: 上DCA = 上BAC ， : 上BAC = 上DAC, : 上DCA = 上DAC ， : DA = DC ，
:四边形 ABCD 为菱形， : AC 丄 BD ，
即EF 丄 BD ，
:四边形EBFD 是平行四边形，
:四边形EBFD 是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质， 菱形的判定和性质，平行线的性质，熟 练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
22 ．(1)菱形，证明见解析
(2) 45°
(3) 2
【分析】（1）四边形 ABPD 中，由已知条件知道线段AB = AD ；利用垂直平分线的性质知 道PB = PC = PD ；这样四边形中有两组邻边相等，又AD∥BP ，因此可猜想该四边形可能 为菱形；
（2）本小题要找45° 角，考虑到所在三角形已经是直角三角形，但另一个内角也难以找出45° , 因此可考虑运用外角协助找到；
（3）由BH = 6，CH = 2 可以得到BC = 8 ，利用中点 E 可以推知BE = 4，EH = 2 ，结合上题 中找到的45° 角，知PE = EH = 2 ，在直角 △BPE 中由勾股定理求得BP = 2 ，则菱形的边
AB = 2 ．
【详解】（1）解：四边形 ABPD 是菱形，理由如下：
: PE、PF 分别是边BC、CD 的中垂线， : PB = PC，PC = PD ，
: PB = PD ，
在 △ABP 与△ADP 中，
ï
ìAB = AD
í PB = PD ， ïlAP = AP
: △ABP≌△ADP（SSS）．
: 上BAP = 上DAP ． : AD∥BP ，
: ÐDAP= Ð APB ．
: 上BAP = 上APB ．
: AB = BP ．
: AB = BP = PD = AD ， :四边形ABPD 是菱形；
（2）解：设上CPH = a，上PCB = β , : 上APG = 上CPH = a ．
:PE 垂直平分 BC，
: 上PBC = 上PCB = β .
: 上GPB = 上PBC + 上PCB = 2 β .
: 上APB = 上APG + 上GPB = a + 2β . : 上APD = 上APB = a + 2β .
: 上GPD = 上APG + 上APD = 2a + 2 β .
∵ AD ∥ BP，CG 丄 AB ， : 上GPD = 90° .
: 2a + 2 β = 90° .
: a + β = 45° . ∵ 上AHB = a + β , : 上AHB = 45° ;
（3）解：∵ BH = 6，CH = 2 ， : BC = BH + CH = 8 ．
∵PE 垂直平分 BC，
: EH = CE - CH = 4 - 2 = 2 ． 在直角△PEH 中，
∵ 上PEH = 90°, 上PHE = 45°, EH = 2 ， : PE = 2 ．
在直角△PEB 中，
∵ 上PEB = 90°, BE = 4，PE = 2 ，
: AB = BP = 2 ，即 AB 的长度为25 ．
.
【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、
勾股定理、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，涉及考点较多，有一定的 难度．
23 ．（1）BE = DG ；（2）成立，证明见解析；（3）① 6 - 6 ；②6 或12 - 6
【分析】（1） 由菱形的性质可得出 AB = AD ， AE = AG ，再结合已知条件上BAD = 上EAG ， 即可证明 △BAE≌△DAG (SAS)，由全等的性质即可得出 BE = DG ．
（2）由(1)得: AB = AD ，AE = AG ，再结合已知条件 上BAD = 上EAG ，即可得出
上BAE = 上DAG ，即可证明 △BAE≌△DAG (SAS)，由全等的性质即可得出 BE = DG ．
（3）①过点 E 作EH丄 AB 于点 H，则 上AHE = 上BHE = 90° ,由已知条件得出
上AEH = 30° , 由含30° 直角三角形的性质得出 由勾股定理得出 再由已知条件得出BH = EH = AE. 进一步即可得出 求出AE 即可得出 答案．
②连接AC ，过点 B 作BM 丄 AC 于点 M，则上AMB = 90° , 利用菱形的性质以及含30° 直角 三角形的性质得出AC = 6 ，再结合①得出AG = 6 - 6 ，然后分两种情况，当点 G 在线 段AC 上时， 当点 G 在射线CA 上时，分别画出图形求解即可．
【详解】解：（1）:四边形ABCD 是菱形，四边形AEFG 是菱形，
: AB = AD ，AE = AG ， 在 △BAE 和△DAG 中
ï
í上BAD = 上EAG
ìAB = AD
ïlAE = AG
: △BAE≌△DAG (SAS)， : BE = DG ．
（2）仍然成立，理由如下:
由(1)得: AB = AD ，AE = AG ， 又上BAD = 上EAG ，
: 上BAD - 上DAE = 上EAG - 上DAE 即上BAE = 上DAG
在 △BAE 和△DAG 中
: △BAE≌△DAG (SAS)
: BE = DG ；
（3）①如图，过点 E 作EH 丄 AB 于点 H，则 上AHE = 上BHE = 90° .
: 上BAD = 60° ,
: 上AEH = 90° - 上BAD = 30° ,
在Rt△AEH 中，由勾股定理，得 : 上ABE = 45° ,
: 上BEH = 90 - 上ABE = 45° , : 上ABE = 上BEH ，
: AB = BH + AH
: AE = 6 - 6 ．
:菱形AEFG 的边长6 3 - 6 ．
②如图，在菱形ABCD 中，AB = 6 ，上BAD = 60° ,连接 AC 过点 B 作BM 丄 AC 于点 M，则 上AMB = 90°
∵四边形ABCD 是菱形，
: AC = 6
由①知菱形AEFG 的边长为6 3 - 6 ，
: AG = 6 - 6 ．
当 A ，B ，F 三点在同一条直线上时，易得 A ，G ，C 三点也在同一条直线上． 分两种情况:
当点 G 在线段AC 上时，CG = AC - AG = 6- (6- 6) = 6.
当点 G 在射线CA 上时，CG = AC + AG = 6 + 6 - 6 = 12 - 6 ．
综上，CG 的长为 6 或12 - 6 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，含30° 直角三角形的性 质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键．
24 ．（1）8 ；（2）上NBC = 30° ,证明见解析；（3）四边形 BGHM 为菱形，理由见解析．
【分析】本题考查平行四边形，菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用， 矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，即可．
（1）根据矩形的性质，则 上A = 90° ,根据勾股定理，即可求出 MB ；
（2）连接 AN，根据折叠的性质，则 AN = BN ， △ABN 为等边三角形，根据等边三角形的 性质，即可；
（3）根据折叠的性质，则 上ABM = 上NBM ，上BAM = 上MNB = 90° ,根据三线合一，则 BM = BG ，根据菱形的判定和性质，即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形， : 上A = 90° ,
（2）猜测：上NBC = 30° , 证明：连接AN：
∵ EF 为折痕，
: EF 垂直平分AB ， : AN = BN ，
∵ △BMN 由△BMA 折叠所得， : AB = BN ，
: AN = BN = AB ，
: △ABN 为等边三角形， : 上ABN = 60° ,
: 上NBC = 90° - 60° = 30° ;
（3）四边形 BGHM 为菱形，理由：
∵ △BMN 由△BMA 折叠所得，
: 上ABM = 上NBM ，上BAM = 上MNB = 90° , ∵ 上ABN = 上ABM + 上NBM = 60° ,
: 上ABM = 上NBM = 30° , : 上NBC = 30° ,
: 上NBM = 上NBC = 30° , : 上MBG = 60° ,
: △BMG 是等边三角形， : BM = BG ，
:将△BMG 沿MG 折叠，点B 刚好落在AD 边上点H 处，连接GH ， : △BMG≌△HGM ，BH 丄 MG ，
: MH = BM ，
: MH = BM = BG ， : MH Ⅱ BG ，
:四边形BGHM 是平行四边形， : BM = BG ，
:四边形BGHM 是菱形．