数学一元二次方程课后测评

这是一份数学一元二次方程课后测评，共22页。试卷主要包含了2 解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

1 ．解下列方程：
(1) 36x2 - 1 = 0 ；
(2) 4x2 = 81 ；
(3) (x + 5)2 = 25 ；
(4) x2 + 2x +1 = 4 ．
2 ．填空：
（1）x2 + 6x + _____ = (x + _____)2 ，第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；
（2）x2 - x + _____ = (x - _____)2 ，第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；
（3）4x2 + 4x + _____ = (2x + _____)2 ，第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；
（4）x2 - x + _____ = (x - __ __)2 ，第一个横线填写： ，第二个横线填写： ．
3 ．用配方法解下列方程：
（1）x2 +10x +16 = 0 ；
（2）
（3）3x2 + 6x - 5 = 0 ；
（4）4x2 - x - 9 = 0 ．
4 ．利用判别式判断下列方程的根的情况：
（2）16x2 - 24x + 9 = 0 ；
（3）x2 - 4 x + 9 = 0 ；
（4）3x2 + 10 = 2x2 + 8x ．
5 ．用公式法解下列方程：
（1）x2 + x - 12 = 0 ；
（2）
（3）x2 + 4x + 8 = 2x + 11；
（4）x(x - 4) = 2 - 8x
（5）x2 + 2x = 0 ；
（6）
6 ．用因式分解法解下列方程：
（1）3x2 -12x = -12 ；
（2）4x2 - 144 = 0 ；
（3）3x(x -1) = 2(x -1) ；
（4）(2x -1)2 = (3 - x)2 ．
*
7 ．求下列方程两个根的和与积：
（1）x2 - 3x + 2 = 10 ；
（2）5x2 + x - 5 = 0 ；
（3）x2 + x = 5x + 6 ；
（4）7x2 - 5 = x + 8 ．
8 ．一个直角三角形的两条直角边相差5cm ，面积是 7cm2 ．求斜边的长．
9．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了 45 份合同， 共有多少家公司参加商品交易会？
10 ．分别用公式法和因式分解法解方程x2 - 6x + 9 = (5 - 2x)2 ．
11 ．有一根20m 长的绳，怎样用它围成一个面积为24m2 的矩形？
12．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果 存在，它是几边形？如果不存在，说出得出结论的道理．
13．无论p 取何值，方程(x - 3)(x - 2) -p2 = 0 总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理 由．
1 ．(1)x1 = ,
(3)x1 ＝0，x2＝－ 10
(4)x1 ＝1，x2＝－3
【分析】根据直接开平方法求解一元二次方程即可得到结论． 【详解】（1）解：36x2－1 ＝0，
移项得 36x2 ＝1，
直接开平方得 6x = ±1，即 6x ＝1，或 6x＝－ 1，
∴原方程的解是 ， ；
（2）解：4x2 ＝81，
直接开平方得 2x = ±9，即 2x ＝9，或 2x＝－9，
∴原方程的解是 ， ；
（3）解：（x＋5）2 ＝25，
直接开平方得 x＋5 = ±5，即 x＋5 ＝5，或 x＋5＝－5， ∴原方程的解是 x1 ＝0，x2＝－ 10；
（4）解：x2＋2x＋1 ＝4 ， 因式分解得（x＋1）2 ＝4，
直接开平方得 x＋1 = ±2，即 x＋1 ＝2，或 x＋1＝－2， ∴原方程的解是 x1 ＝1，x2＝－3．
【点睛】本题考查利用直接开平方法求解一元二次方程，掌握直接开平方法涉及的题型及解 题步骤是解决问题的关键．
2 ． 9 3 1 1
【分析】本题考查完全平方公式进行配方，将二次三项式转化为完全平方公式．
（1）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式；
（2）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式；
（3）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式；
（4）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式．
【详解 故答案为：9；3；
1 1
故答案为
故答案为：1 ；1；
故答案为： ； ．
3 ．（1）x1＝－2，x2＝－8；（2）x1 ＝ ，x2＝－ ；（3）x1＝－ 1+ ·、 ， ； （4）
【分析】（1）按照移项，配方，开方的步骤进行求解即可；
（2）按照移项，配方，开方的步骤进行求解即可；
（3）先把二次项系数化为 1，然后按照移项，配方，开方的步骤进行求解即可；
（4）先把二次项系数化为 1，然后按照移项，配方，开方的步骤进行求解即可． 【详解】解：（1）x2＋10x＋16 ＝0，
移项，得 x2＋10x＝－ 16，
配方，得 x2＋10x＋52＝－ 16＋52，即（x＋5）2 ＝9， 开方，得 x＋5 = ±3，
∴x＋5 ＝3 或 x＋5＝－3，
∴原方程的解是 x1＝－2，x2＝－8；
移项，得
配方，得 即
开方，得
∴原方程的解是 x1 ＝ ，x2 =- ;
（3）3x2＋6x－5 ＝0，
二次项系数化为 移项，得
配方，得 即 开方，得 ，
∴原方程的解是 x1＝－ 1+ ·、i6 ， （4）4x2－x－9 ＝0，
二次项系数化为
移项，得 ，
配方，得 即（x－ ）2 = , 开方，得
∴原方程的解是
【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
4 ．（1）方程有两个不等实根；（2）方程有两个相等实根；（3）方程无实根；（4）方程有两 个不等实根．
【分析】（1）（2）（3）求出 Δ = b2 - 4ac ，通过根与判别式的关系，判断出方程的根的情况；
（4）先把方程化为一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，再求出 Δ = b2 - 4ac ， 通过根与判别式的关系，判断出方程的根的情况．
【详解】解：（1） Δ =(-3）2－4×2× (- )=21＞0， ∴方程有两个不等实根．
（2） Δ =(-24）2－4×16×9 ＝0， :方程有两个相等实根．
（3） Δ =(- 4 ）2－9×4＝－4＜0， :方程无实根．
（4）原方程化为 x2－8x＋10 ＝0， Δ =(-8）2－4×1×10 ＝24＞0 ， :方程有两个不等实根．
【点睛】本题主要查考一元二次方程根的情况的判断，属于基础题，记住根的判别式以及根 与判别式的关系是解题关键．
2＋ 、/6 ，x2＝－2 － /6 ；（5）x1 ＝0 ， x2＝－2；（6）原方程无实数根
【分析】运用公式法解题即可，一元二次方程的求根公式为 【详解】解：（1）x2＋x－12 ＝0，
:a ＝1 ，b ＝1 ，c＝－ 12，
:b2－4ac ＝1－4×1× (-12）＝49＞0，
:原方程的根为 x1＝－4，x2 ＝3；
:原方程的根为
（3）x2＋4x＋8 ＝2x＋11，原方程可化为 x2＋2x－3 ＝0，
:a ＝1 ，b ＝2 ，c＝－3，
:b2－4ac ＝22－4×1× (-3）＝16＞0，
:原方程和根为 x1＝－3，x2 ＝1；
（4）x（x－4）＝2－8x，原方程可化为 x2＋4x－2 ＝0， :a ＝1 ，b ＝4 ，c＝－2，
:x ＝-2 ± ,
:原方程的根为 x1＝－2＋ ，x2＝－2 － 、/6 ；
（5）x2＋2x ＝0，
:a ＝1 ，b ＝2 ，c ＝0，
:b2－4ac ＝22－4×1×0 ＝4＞0，
:原方程的根为 x1 ＝0，x2＝－2；
:a ＝1 ，b ＝2 ，c ＝10，
:原方程无实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，属于基础题，要有一定的运算求解能力，掌握求根 公式是解题的关键．
x2 = 【分析】（1）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解的方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）3x2 -12x = -12 ，
:原方程可化为x2 - 4x + 4 = 0，即 (x - 2)2 ＝0，
:原方程的根为 x1＝x2 ＝2；
（2）4x2 - 144 = 0，原方程可化为 4（x＋6）（x－6）＝0， :x＋6 ＝0 或者 x－6 ＝0，
（3）3x（x－1）＝2（x－1），
:原方程可化为(x -1)(3x - 2) = 0 ， :x－1 ＝0 或 3x－2 ＝0，
:原方程的根为 x1 ＝1 ， ．
（4）(2x -1)2 = (3 - x)2 ，
:原方程可化为[（2x－1）＋（3－x）][（2x－1）－（3－x）] ＝0，即（x＋2）（3x－4）= 0，
:x＋2 ＝0 或 3x－4 ＝0，
:原方程的根为 x1＝－2 ， ．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握因式分 解法解一元二次方程．
7 ．（1）x1 + x2 = 3 ，x1x2 = -8 ；（2） x1x2 = -1 ；（3）x1 + x2 = 4 ，x1x2 =-6；
（4）
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系：方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1, x2 和
系数 a ，b ，c 有如下关系 解答即可．
【详解】解：（1）原方程化为 x2 - 3x - 8 = 0 ，
则x1 + x2 = 3 ，x1x2 = -8 ．
（3）原方程化为 x2 - 4x - 6 = 0 ， 则x1 + x2 = 4 ，x1x2 =-6．
（4）原方程化为为 7x2 - x -13 = 0 ，
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题，熟练掌握一元二次方 程的根与系数的关系是解题关键．
8 ．这个直角三角形斜边的长为、 cm
【分析】设较短的直角边长是 xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是 7cm，求出直角边 长，根据勾股定理求出斜边长．
【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为 xcm，
则较长直角边长为（x＋5）cm， 根据题意，得 ， 所以x2 + 5x -14 = 0 ，
解得x1 = -7 ，x2 = 2 ，
因为直角三角形的边长为正数，所以x1 = -7 不符合题意，舍去， 所以 x ＝2，
当 x ＝2 时，x＋5 ＝7，
由勾股定理，得直角三角形的斜边长为
答：这个直角三角形斜边的长为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理， 一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角 三角形中勾股定理的应用．
9 ．共有 10 公司参加商品交易会
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有 x 家公司参加，根据题意列出关于 x 的 一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】解：设有 x 家公司参加，依题意，得
整理得：x2 - x - 90 = 0 ．
解得：x1 = 10 ，x2 = -9 （舍去），
答：共有 10 公司参加商品交易会．
10 ．x1 = 2 ，
【分析】利用公式法和因式分解法分别求解一元二次方程即可． 【详解】解：公式法：原方程可化为 3x2 -14x +16 = 0 ，
∵a ＝3 ，b＝－ 14 ，c ＝16，
: b2 - 4ac ＝(-14)2 - 4× 3 × 16 ＝4＞0，
:原方程的根为x1 = 2 ， ；
因式分解法：原方程可化为[(x- 3) + (5 - 2 x)][(x- 3) - (5 - 2 x)] ＝0， :（2－x）（3x－8）＝0，
:2－x ＝0 或 3x－8 ＝0，
:原方程的根为x1 = 2 ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法和因式分解 法解一元二次方程方程．
11 ．分别以 4m 和6m 为相邻两边长围成矩形
【分析】设这个矩形的一边长为 xm，则相邻边长为（10 - x ）m ，根据矩形的面积列出方程 即可解决问题．
【详解】解：设这个矩形的一边长为 xm，则相邻边长为（ 10 - x ）m，
根据题意，得 x（ 10 - x ）＝24， 整理，得x2 -10x + 24 = 0 ，
解得x1 = 4 ，x2 = 6 ，
当 x ＝4 时，10 - x ＝10－4 ＝6，
当 x ＝6 时，10 - x ＝10－6 ＝4，
答：分别以 4m 和6m 为相邻两边长围成矩形即可．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，列出 方程解决问题，属于中考常考题型．
12 ．多边形的边数为 8；多边形不存在，理由见解析. 【分析】利用多边形对角线条数求法得出即可．
【详解】设这个多边形是 n 边形，则
:n2-3n-40=0，
（n-8）（n+5）=0，
解得 n=8 ，n=-5（舍去）， 故多边形的边数为 8；
:n2-3n-36=0，
∵b2-4ac=9+144=153，
:方程的根无法求出整数， 故这样的多边形不存在．
【点睛】此题主要考查了多边形对角线公式，熟练记忆公式是解题关键．
13 ．总有两个不等的实数根，见解析
【分析】先把原方程化成x2 - 5x + 6 - p2 = 0 ，然后利用一元二次方程根的判别式进行求解即 可．
【详解】解： 无论p 取何值，方程（x－3）（x－2）－p² =0 总有两个不等的实数根，理由如 下：
原方程可以化为，x2 - 5x + 6 - p2 = 0 ，
: Δ = b2 - 4ac ＝(-5)2 - 4 × 1 × (6 - p2 ) ＝25－24＋4p² = 1＋4p² , ∵p2≥0，
:1＋4p²>0，即 Δ >0，
:原方程总有两个不等的实数根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根，当 Δ = 0 ，方程有两个相等的实数根，当 Δ < 0 ，方程没有 实数根．