人教版（2024）九年级上册一元二次方程综合训练题

这是一份人教版（2024）九年级上册一元二次方程综合训练题，共27页。试卷主要包含了2 解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
P13
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
练习
1 ．解下列方程：
(1) 2x2 - 8 = 0 ；
(2) 9x2 - 5 = 3 ；
(3)(x + 6)2 - 9 = 0 ；
(4) 3(x - 1)2 - 6 = 0 ；
(5) x2 - 4x + 4 = 5 ；
(6) 9x2 + 5 = 1 ．
例 1
2 ．解下列方程：
（1）x2 - 8x +1 = 0 ；
（2）2x2 + 1 = 3x ；
（3）3x2 - 6x + 4 = 0 ．
练习
3 ．填空：
（1）x2 +10x + =（x+ ）2；
（2）x2 -12x + =（x- ）2；
（3）x2 + 5x + =（x+ ）2；
4 ．解下列方程：
(1) x2 +10x + 9 = 0 ；
(3) 3x2 + 6x - 4 = 0 ；
(4) 4x2 - 6x - 3 = 0 ；
(5) x2 + 4x - 9 = 2x - 11 ；
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(6)x(x + 4) = 8x +12 ．
21.2.2 公式法 例 2
5 ．用公式法解下列方程：
（1）x2 - 4x - 7 = 0 ；
（2）2x2 - 2 x +1 = 0 ；
（3）5x2 - 3x = x +1；
（4）x2 + 17 = 8x ．
练习
6 ．解下列方程：
(1) x2 + x - 6 = 0 ；
(3) 3x2 - 6x - 2 = 0 ；
(4) 4x2 - 6x = 0 ；
(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11；
(6)x(2x - 4) = 5 - 8x ．
求第 21.1 节中问题 1 的答案．
21.2.3 因式分解法 例 3
7 ．解方程：
（1）x(x - 2) + x - 2 = 0 ；
练习
8 ．解下列方程：
(1) x2 + x = 0 ；
(2) x2 - 2x = 0 ；
(3) 3x2 - 6x = -3 ；
(4) 4x2 -121 = 0 ；
(5)3x(2x + 1) = 4x + 2 ；
(6)(x - 4)2 = (5 - 2x)2 ．
9 ．如图，把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．求小圆形 场地的半径．
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
例 4
10 ．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1, x2 的和与积：
（1）x2 - 6x -15 = 0
（2）3x2 + 7x - 9 = 0
（3）5x -1 = 4x2
练习
11 ．不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1）x2 - 3x = 15 ；
（2）3x2 + 2 = 1- 4x ；
（3）5x2 - 1 = 4x2 + x ；
（4）2x2 - x + 2 = 3x + 1．
1 ．(1) x1 = 2 ，x2 = -2 ；
(3) x1 = -3 ，x2 = -9 ；
;
, x2 = 2 - ；
(6)方程无解
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方 法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（3）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（4）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（5）利用配方法解一元二次方程即可；
（6）利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：2x2 - 8 = 0
2x2 = 8
x2 = 4
解得x1 = 2 ，x2 = -2 ；
（2）解：9x2 - 5 = 3
9x2 = 8
解得 ， ；
（3）解：(x + 6)2 - 9 = 0
(x + 6)2 = 9
x + 6 = ±3
解得x1 = -3 ，x2 = -9 ；
（4）解：3(x - 1)2 - 6 = 0
3(x -1)2 = 6 (x -1)2 = 2
x -1= ±
解得x1 = 1 + ，x2 = 1 - ；
（5）解：x2 - 4x + 4 = 5 (x - 2)2 = 5
x - 2 = ±
解得x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（6）解：9x2 + 5 = 1 9x2 + 4 = 0
Δ = 02 - 4× 9 × 4 = -144 < 0 ∴方程无解．
2 ．（1）x1 = 4 + , x2 = 4 - ；（ 无解 【分析】（1）方程的二次项系数为 1，直接运用配方法．
（2）先把方程化成2x2 - 3x +1 = 0 ．它的二次项系数为 2，为了便于配方，需将二次项系数 化为 1，为此方程的两边都除以 2．
（3）与（2）类似，方程的两边都除以 3 后再配方． 【详解】解：（1）移项，得
x2 - 8x = -1 ． 配方，得
x2 - 8x + 42 = -1 + 42 ，
(x - 4)2 = 15 ．
由此可得
x - 4 = ± ,
x1 = 4 + , x2 = 4 - ．
（2）移项，得 2x2 - 3x = -1．
二次项系数化为 1，得
配方，得
2 3 ( 3 ö2 1 ( 3 ö2
çèx - 4 ,÷ = 16 ． 由此可得
x - 2 x + çè 4 ,÷ = - 2 + èç 4 ,÷ , ( 3 ö2 1
3 1
x - = ± , 4 4
（3）移项，得
3x2 - 6x = -4 ．
二次项系数化为 1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x -1)2 都是非负数，上式都不成立，即 原方程无实数根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
25 5 1 1
3 ． 25 5 36 6
4 2 9 3
【分析】根据配方法进行求解（1）（2）（3）（4）即可．
【详解】解：（1）x2 +10x + 25 = (x + 5)2 ；
（2）x2 -12x + 36 = (x - 6)2 ；
（3）
（4）
故答案为 25 ；5 ；36；6； ； ； ； ．
【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
4 ．(1) x1 = -1, x2 = -9
(3) x1 = -3+ ，x2 =
3 3
(5)方程没有实数根
(6) x1 = -2, x2 = 6
【分析】（1）十字相乘法解答；
（2）公式法解答；
（3）公式法解答；
（4）公式法解答；
（5）公式法及根的判别式解答；
（6）十字相乘法解答．
【详解】（1）解：x2 +10x + 9 = 0
(x + 1)(x + 9) = 0 ，
:x1 = -1, x2 = -9 ， （2）
b2 - 4ac = 1+ 7 = 8 ，
（3）3x2 + 6x - 4 = 0
a = 3, b = 6, c = -4 ，
（4）4x2 - 6x - 3 = 0 ， a = 4, b = -6, c = -3 ，
b2 - 4ac = (-6)2 - 4× 4 × (-3) = 84 ，
:x1 = 6+2 ，x2 = 6 - 2 ，
8 8
:x1 = 3+ ，x2 = 3 - .
4 4
（5）x2 + 4x - 9 = 2x - 11 ， :x2 + 2x+2 = 0 ，
Qb2 - 4ac = 22 - 4× 2 = -4 < 0 ， :方程没有实数根.
（6）x(x + 4) = 8x +12 ，
:x2 + 4x = 8x +12 ，
:x2 - 4x -12 = 0 ， : (x + 2)(x - 6) = 0 ，
:x1 = -2, x2 = 6 ，
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、公式法等方法解题是关键．
5 ．（1）x1 = 2 + , x2 = 2 - ；（2） 方程无实数 根
【分析】（1）直接利用公式法解方程即可；
（2）直接利用公式法解方程即可；
（3）直接利用公式法解方程即可；
（4）先利用根的判别式进行求解，可以发现方程无解． 【详解】解：（1）由题意得：a = 1 ，b = -4 ，c = -7 ， ∴ Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4× 1 × (-7) = 44 > 0 ，
∴方程有两个不等的实数根
∴ x1 = 2 + 、 ，x2 = 2 - ；
（2）由题意得：a = 2 ，b = -2 ，c = 1，
∴方程有两个相等的实数根，
（3）方程化为 5x2 - 4x - 1 = 0 ，
∴ a = 5 ，b = -4 ，c = -1，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 × 5 × (-1) = 36 > 0 ， ∴方程有两个不等的实数根，
即 ；
（4）方程化为 x2 - 8x +17 = 0 ．
∴ a = 1 ，b = -8 ，c=17 ，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-8)2 - 4 × 1 × 17 = -4 < 0 ．
∴方程无实数根．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法．
6 ．(1)x1 = 2, x2 = -3；
3 + 3 -
(3) x x1 2= =, ；
3 3
(5) x1 = , x2 = -
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择合适的方法是关键．
（1）利用因式分解得到(x - 2)(x + 3) = 0 ，化为两个一元一次方程即可求出答案；
1
（2）根据题意得到a =1, b = - , c = - ，利用公式法解方程即可；
4
（3）根据题意得到a =3, b = -6, c = -2 ，利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解得到2x (2x - 3) = 0 ，化为两个一元一次方程即可求出答案；
（5）原方程整理得到 x2 = 3 ，利用开平方法即可得到答案；
（6）原方程整理得到2x2 + 4x - 5 = 0 ，根据题意得到a =2, b = 4, c = -5 ，利用公式法解方程 即可．
【详解】（1）解：x2 + x - 6 = 0 ，
: (x - 2)(x + 3) = 0 ，
则 x - 2 = 0 或 x + 3 = 0 ， : x1 = 2, x2 = -3；
:
-b ± ± 2 x = = ，
2a 2
（3）解：3x2 - 6x - 2 = 0 ，
: a = 3, b = -6, c = -2 ，
: b2 - 4ac = (-6)2 - 4× 3 × (-2) = 60 ，
: x x1 2= =, ；
3 3
（4）解：4x2 - 6x = 0 ， :2x (2x - 3) = 0 ，
则2x = 0 或2x - 3 = 0 ，
解得
（5）解：x2 + 4x + 8 = 4x + 11， 整理得到，x2 = 3 ，
: x = ± 、/3 ，
: x1 = , x2 = - ；
（6）解：x(2x - 4) = 5 - 8x ， 整理得到，2x2 + 4x - 5 = 0 ，
: x1 = -2 + , x2 = -2 - ；
2 2
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先将方程化为标准形式，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）x(x - 2) + x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
:x1 = -1, x2 = 2
移项，合并同类项得：4x2 = 1
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8 ．(1)x1 ＝0，x2 ＝-1；
(2)x1 ＝0，x2 ＝2 ；
(3)x1＝x2 ＝1；
:
a = 2, b = 4, c = -5 ，
:
b2 - 4ac = 42 - 4× 2 × (-5) = 56 ，
:
-b ± -4 ± -2 ± x = = = ，
2a 4 2
(6)x1 ＝1，x2 ＝3
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用因式分解法即可求解；
（4）利用因式分解法即可求解；
（5）利用因式分解法即可求解；
（6）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：x（x＋1）＝0，
x ＝0 或 x＋1 ＝0， :x1 ＝0，x2 = −1；
解 ，
x ＝0 或
:x1 ＝0，x2 ＝2 ；
（3）解：3x2 - 6x = -3 ，
x2 - 2x +1 = 0 ， (x -1)2 = 0 ， :x1＝x2 ＝1；
（4）解：（2x＋11）（2x−11）＝0， 2x＋11 ＝0 或 2x−11 ＝0，
（5）解：（2x＋1）（3x−2）＝0， 2x＋1 ＝0 或 3x−2 ＝0，
（6）解：（x−4＋5−2x）（x−4−5＋2x）＝0， （1−x）（3x−9）＝0，
1−x ＝0 或 3x−9 ＝0，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键．
9 ．小圆形场地的半径为(5＋5 、)m
【分析】根据等量关系“大圆的面积＝2×小圆的面积”列出方程，解方程即可． 【详解】解小圆形场地的半径为 Rm，则大圆形场地的半径为（R＋5）m，
依题意得 2πR2 = π(R＋5)2，
整理得： ( 、R＋R＋5)( 、R－R-5) ＝0，
:R1 ＝5－5 、 （舍），R2 ＝5＋5 、 ．
答：小圆形场地的半径为(5＋5 、)m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的 条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【分析】（1）根据如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的两根为， x1 和x2 ，那么
进行求解即可得到答案；
（2）根据如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为， x1 和x2 ，那么x1 + x2 = - ，x1x2 = 进行求解即可得到答案；
（3）根据如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为， x1 和x2 ，那么 进行求解即可得到答案．
【详解】解：（1）: x2 - 6x -15 = 0 ， : a = 1 ，b = -6 ，c = -15 ，
（2）: 3x2 + 7x - 9 = 0 ，
: a = 3 ，b = 7 ，c = -9 ，
（3）: 5x -1 = 4x2 ，即 4x2 - 5x +1 = 0
: a = 4 ，b = -5 ，c = 1，
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元 二次方程根于系数的关系．
11 ．（1）x1＋x2 ＝3，x1x2＝－ 15；（2）x1＋x2＝－ ，x1x2 ＝ ；（3）x1＋x2 ＝1，x1x2＝－ 1；
（4）x1＋x2 ＝2，x1x2 =
【分析】（1）根据如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 和x2 ，那么
进行求解即可得到答案；
（2）根据如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 和x2 ，那么 进 行求解即可得到答案；
（3）根据如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 和x2 ，那么x1 + x2 = - ，x1x2 = 进 行求解即可得到答案；
（4）根据如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 和x2 ，那么 进 行求解即可得到答案．
【详解】解：（1）原方程化为 x2－3x－15 ＝0，
: a = 1 ，b = -3 ，c = -15
设方程的两根分别为 x1，x2，
（2）原方程化为 3x2＋4x＋1 ＝0，
: a = 3 ， b = 4 ， c = 1
设方程的两根分别为 x1，x2，
（3）原方程化为 x2－x－1 ＝0，
: a = 1 ，b = -1 ，c = -1
设方程的两根分别为 x1，x2，
:x1＋x2 = - = 1，x1x2 ＝ -1 ；
（4）原方程化为 2x2－4x＋1 ＝0，
: a = 2 ，b = -4 ，c = 1
设方程的两根分别为 x1，x2，
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元 二次方程根与系数的关系．