第二章第一讲 四个常用公式的应用（专项训练）2025-2026学年高一物理人教版2019必修第一册

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第二章 匀变速直线运动的规律第1讲 四个常用公式的应用本讲要点一、 考点精讲练考点1：基本公式的应用（必备知识+1例+3变式）考点2：两个推论的应用（必备知识+1例+3变式）二、 跟踪训练-考点拓展（精选9道题）　考点1：基本公式的应用1．公式选取技巧(1)如果题目中未涉及位移x，一般选用速度公式v＝v0＋at；(2)如果题目中未涉及速度v，一般选用位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2；2.正方向的选取(1)无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向。(2)当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向。【例题】 在女子直线400 m比赛中的一段时间内，某同学从静止开始做匀加速直线运动，经t1＝4 s后速度达到v1＝8 m/s，然后匀速运动了t2＝10 s，接着经t3＝5 s匀减速运动到v2＝6 m/s(该同学可以看作质点)。求：(1)该同学在加速运动阶段的加速度a1；(2)该同学在第16 s末的速度v3；(3)该同学在这段时间内的位移x。【解析】(1)设该同学匀加速阶段的加速度为a1，则v1＝a1t1，解得a1＝2 m/s2。(2)设该同学匀减速运动阶段的加速度为a2，因为v2＝v1＋a2t3，所以a2＝－0.4 m/s2，当t＝16 s时，该同学已减速运动了t4＝2 s，此时该同学的速度为v3＝v1＋a2t4＝7.2 m/s。(3)该同学做匀加速直线运动的位移x1＝ eq \f(1,2)a1t eq \o\al(2,1)＝16 m，做匀速直线运动的位移x2＝v1t2＝80 m，做匀减速直线运动的位移x3＝v1t3＋ eq \f(1,2)a2t eq \o\al(2,3)＝35 m，则总位移x＝x1＋x2＋x3＝131 m。【答案】　(1)2 m/s2　(2)7.2 m/s　(3)131m【变式1-1】 一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有(　　)A．3节 B．6节 C．9节 D．12节答案　C【解析】设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，则L＝eq \f(1,2)at12，nL＝eq \f(1,2)at22.将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确．【变式1-2】 一个质点以初速度v0做匀加速直线运动，加速度大小为a，经过时间t，位移大小为2at2，末速度为v，则v∶v0为(　 　)A．4∶3 B．3∶1 C．5∶3 D．5∶2【解析】根据匀变速直线运动的位移公式有v0t＋ eq \f(1,2)at2＝2at2，可得v0＝ eq \f(3at,2)，根据匀变速直线运动的速度公式有v＝v0＋at＝ eq \f(5at,2)，故 eq \f(v,v0)＝ eq \f(5,3)，C正确。【变式1-3】 (2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v＜v0)。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为(　 　)A． eq \f(v0－v,2a)＋ eq \f(L＋l,v) B． eq \f(v0－v,a)＋ eq \f(L＋2l,v) C． eq \f(3(v0－v),2a)＋ eq \f(L＋l,v) D． eq \f(3(v0－v),a)＋ eq \f(L＋2l,v)【解析】由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v＜v0)，则列车进隧道前必须减速到v，则有v＝v0－2at1，解得减速运动的时间t1＝ eq \f(v0－v,2a)，在隧道内匀速运动的时间t2＝ eq \f(L＋l,v)，列车尾部出隧道后立即加速到v0，有v0＝v＋at3，解得加速运动的时间t3＝ eq \f(v0－v,a)，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝ eq \f(3(v0－v),2a)＋ eq \f(L＋l,v)。考点2：两个推论的应用1．公式选取技巧(1)如果题目中未涉及运动时间t，一般选用导出公式v2－v02＝2ax.(2)如果题目中未涉及加速度a，一般选用平均速度公式x＝eq \f(v0＋v,2)t2.正方向的选取(1)无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向。(2)当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向。【例题】如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为(　　) A.eq \f(2v1＋v2,3) B.eq \r(\f(2v\o\al( 2,1)＋v\o\al(2,2),3)) C.eq \r(\f(v\o\al( 2,1)＋v\o\al( 2,2),3)) D.eq \f(2,3)v1【解析】设子弹在木块中运动时加速度的大小为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝－2a·2L，两式联立可得v＝eq \r(\f(2v\o\al( 2,1)＋v\o\al( 2,2),3))，故选B.【变式2-1】长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10m/s，完全出隧道时的速度是12m/s，求：(1)列车过隧道时的加速度的大小；(2)列车通过隧道所用的时间．答案　 (1)0.02 m/s2　(2)100 s【解析】(1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，v＝12 m/s，由v2－v02＝2ax得加速度a＝eq \f(v2－v\o\al( 2,0),2x)＝0.02 m/s2.(2)由v＝v0＋at得所用时间为t＝eq \f(v－v0,a)＝100 s.【变式2-2】 (多选)一做匀加速直线运动的物体的初速度为2m/s，经过4s后速度变为10 m/s，则物体在这4 s内的(　　)A．平均速度大小为6 m/sB．平均速度大小为8 m/sC．位移大小为24 mD．位移大小为32 m【解析】据eq \x\to(v)＝eq \f(v0＋v,2)得eq \x\to(v)＝6 m/s，选项A正确，B错误；据x＝eq \f(v0＋v,2)t得x＝24 m，选项C正确，D错误．【变式2-3】某水球先做匀加速运动后匀速运动，其中加速时间t1＝1 s，加速运动阶段位移为s1＝0.1 m，匀速运动阶段用时t2＝3 s，求：(1)水球匀速运动时的速度v的大小；(2)水球加速运动过程中加速度大小；(3)全过程水球的总位移的大小。【解析】(1)据题意水球从静止开始做匀加速直线运动可得s1＝ eq \f(v,2)t1，代入数据解得1 s末水球的速度为v＝0.2 m/s，之后水球做匀速直线运动，速度大小等于1 s末的速度大小为0.2 m/s。(2)由匀加速直线运动规律得v2＝2as1，代入数据解得加速过程中加速度大小为a＝0.2 m/s2。(3)水球匀速运动阶段用时t2＝3 s，位移大小为s2＝vt2＝0.6 m，水球运动全过程的总位移的大小为s＝s1＋s2＝0.7 m。答案：(1)0.2 m/s　(2)0.2 m/s2　(3)0.7 m跟踪训练-考点拓展1．质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋2t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点(　　)A．加速度为2 m/s2B．前2 s内位移为18 mC．第2 s内的位移是18 mD．前2 s内的平均速度是9 m/s答案　BD【解析】根据匀变速直线运动的位移时间关系公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得质点的初速度v0＝5 m/s，加速度为a＝4m/s2，故A错误；由公式得前2 s内的位移x2＝5×2 m＋eq \f(1,2)×4×22 m＝18 m，B正确；第2 s内的位移Δx2＝x2－x1＝18 m－7 m＝11 m，故C错误；前2 s内的平均速度为eq \x\to(v)＝eq \f(x2,t)＝9 m/s，故D正确．2．(多选)一个物体做匀变速直线运动，当t＝0时，物体的速度大小为12 m/s，方向向东；当t＝2 s时，物体的速度大小为8 m/s，方向仍向东．当t为多少时，物体的速度大小变为2 m/s(　　)A．3 s B．5 s C．7 s D．9 s答案　BC【解析】取物体开始运动时的方向为正方向，物体的加速度a＝eq \f(v－v0,t)＝eq \f(8－12,2) m/s2＝－2m/s2.物体的速度大小为2 m/s时，方向可能向东，也可能向西．由v＝v0＋at得，当速度方向向东时t1＝eq \f(2－12,－2) s＝5 s；当速度方向向西时t2＝eq \f(－2－12,－2) s＝7 s，故B、C正确．3．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到3v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到5v时经过的位移是(　　)A.eq \f(3,2)x B.eq \f(5,2)x C．x D．2x答案　D【解析】　根据速度—位移公式得(3v)2－v2＝2ax，(5v)2－(3v)2＝2ax′，联立两式解得x′＝2x.故选D.4．在全国铁路第六次大提速后，列车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速行驶，在列车头经过路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方900 m处出现特殊情况，为避免危险发生，列车至少应以多大加速度刹车？(　　)A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.4 m/s2答案　C【解析】列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x＝900 m，则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0取列车前进方向为正方向，由关系式v2－v02＝2ax得：a＝－2 m/s2即列车的加速度大小至少应为2 m/s2，故选项C正确．5．高速公路旁边往往设立有标识汽车间距的路牌，每两个路牌间距为50 m。小志驾驶汽车(可视作质点)以恒定的加速度依次经过了如图所示的四个路牌(用A、B、C、D表示)，当汽车经过A时速度为72 km/h。此过程中小勤测算出汽车经过路牌AB的时间为(5eq \r(2)－5)s，经过CD的时间为(10－5eq \r(3))s，则( )A．汽车的加速度为6 m/s2B．汽车的加速度为4 m/s2C．汽车经过D的速度为180 km/hD．汽车经过D的速度为108 km/h【解析】因为vA＝72 km/h＝20 m/s，根据位移公式得xAB＝vAtAB＋eq \f(1,2)atAB2，解得a＝4 m/s2，A错误，B正确；根据veq \o\al(2,D)－veq \o\al(2,A)＝2axAD，解得vD＝144 km/h，C、D错误。6．在高山滑雪男子大回转比赛中，运动员沿着雪道加速滑下，途经a、b、c、d四个位置。若将此过程视为匀加速直线运动，运动员在ab、bc、cd三段位移内速度增加量之比为1∶2∶1，a、b之间的距离为L1，c、d之间的距离为L3，则b、c之间的距离L2为(　 　)A．8L1 B． eq \f(8,7)L3 C．L1＋L3 D． eq \f(1,2)(L1＋L3)【解析】运动员在ab、bc、cd三段位移内速度增加量之比为1∶2∶1，则对应时间之比为1∶2∶1，有L1＝v0t＋ eq \f(1,2)at2，L2＝(v0＋at)·2t＋ eq \f(1,2)a(2t)2＝2v0t＋4at2，L3＝(v0＋3at)·t＋ eq \f(1,2)at2＝v0t＋ eq \f(7,2)at2观察可得L2＝L1＋L3，故选C。7．(多选)一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法正确的是(　　)A．初速度v0的大小为2.5 m/sB．加速度a的大小为1 m/s2C．位移x3的大小为1.125 mD．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s答案　BCD【解析】由位移时间公式可知，v0×1 s＋eq \f(1,2)a×(1 s)2＝3 m①v0×2 s＋eq \f(1,2)a×(2 s)2－3 m＝2 m②由①②联立得v0＝3.5 m/s，a＝－1 m/s2故A错误，B正确；2 s末速度为v＝v0＋at2＝3.5 m/s－1 m/s2×2 s＝1.5 m/s，此后物体速度减为0所用时间为t＝eq \f(0－v,a)＝eq \f(－1.5 m/s,－1 m/s2)＝1.5 s，则x3＝vt＋eq \f(1,2)at2＝1.125 m，故C正确；位移x3内平均速度大小eq \x\to(v)＝eq \f(x3,t)＝0.75 m/s，故D正确．8．在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？答案　105 m【解析】汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为t2＝eq \f(0－30,－5) s＝6 s汽车刹车后滑行的位移为x2＝v0t2＋eq \f(1,2)at22＝30×6 m＋eq \f(1,2)×(－5)×62 m＝90 m所以行驶时的安全车距至少应为x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.9．一列以60 m/s的速度匀速行驶的火车，由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，从关闭发动机开始到速度减为20 m/s时共前进3200 m．求：(1)火车减速时加速度的大小；(2)火车继续减速到停止还要走多远的距离？答案　(1)0.5 m/s2　(2)400 m【解析】(1)设火车减速时的加速度为a，则对火车速度从60 m/s减为20 m/s的过程，有a＝eq \f(v2－v\o\al( 2,0),2x1)＝－0.5 m/s2则火车减速时的加速度大小为0.5 m/s2.(2)设火车继续减速x2的距离后停下则0－v2＝2ax2，x2＝eq \f(0－v2,2a)＝400 m.