高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册单摆学案

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册单摆学案，共16页。
单摆的回复力
【链接教材】 如人教版教材P46图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使摆球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后静止释放，摆球沿圆弧做往复运动，不计空气的阻力。
问题1 小球的平衡位置在哪里？
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问题2 小球摆动过程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回复力？
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问题3 小球经过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
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【知识梳理】
1．单摆
(1)实际摆看成单摆的条件
①细线的长度不可改变。
②细线的______与小球相比可以忽略。
③小球的______与线的长度相比可以忽略。
④__________与摆球的重力及细线的拉力相比可以忽略。
(2)单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿__________方向的分力，即F＝__________________。
(2)回复力的特点：在摆角很____的条件下，sin θ≈θ≈xl(其中x为偏离平衡位置的位移)，单摆的回复力F＝______，令k＝mgl，则F＝________。
3．单摆的运动规律：在摆角______时，单摆做______运动。
【思考讨论】 判断以下装置能否看成单摆？若不能，请说明原因。
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【知识归纳】
1．单摆的受力分析：如图所示。
(1)单摆受力：受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ，提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆的运动特点
摆球实际上做两个运动：一是在平衡位置两侧做往复运动，二是绕悬点做圆周运动。摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆球所受到的合力。当摆球经过平衡位置时，所受回复力为零，而所受合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动的向心力。实际上，运动过程中沿摆线方向上的合力一直提供摆球做圆周运动的向心力。
3．单摆做简谐运动的规律
(1)单摆做简谐运动的位移—时间(x-t)图像是一条正弦(或余弦)曲线。
(2)单摆振动过程中各量的变化特点
【典例1】 (单摆的受力特征)(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N两点关于O点对称。下列说法正确的是( )
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
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【典例2】 (单摆的图像问题)如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O′点处。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(小于5°)后由静止释放，并从释放时开始计时。小球相对于平衡位置O的水平位移为x，取向右为正方向，则小球在一个周期内的振动图像为( )
A B
C D
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单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：__________法。
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球质量______。
②周期与振幅______。
③摆长越长，周期______；摆长越短，周期______。
2．周期公式
(1)提出：由荷兰物理学家________首先提出。
(2)公式：T＝______，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成______，与重力加速度g的二次方根成______，而与振幅、摆球质量无关。
提醒：(1)单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球质量无关，它又叫作单摆的固有周期。单摆周期公式的成立条件为摆角θ0)的小球静止于图示位置时，摆线拉力FT＝mg2+Eq2，等效加速度g′＝FTm＝mg2+Eq2m。
(b)单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a。在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0。
【典例3】 (单摆周期公式的应用)用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是( )

A B C D
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【典例4】 (人教版P50T3改编)(单摆的振动图像)位于同一地点的甲、乙两个单摆做简谐运动的图像如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A．甲、乙两摆的摆长之比为1∶4
B．t＝4 s时，乙摆刚好摆到平衡位置
C．由于甲的振幅比乙大，所以甲摆的机械能大于乙摆
D．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
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【典例5】 (等效摆长)(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，则( )
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2 s
C．小球平衡时，A端拉力为32 N
D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
【典例6】 (类单摆模型)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是( )
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同时到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同时到
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【典例7】 (等效重力加速度问题)如图所示，有几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，下列判断正确的是( )
A．T1＞T2＞T3＞T4
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
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1．某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2 cm 的铁球组成。关于单摆周期，下列说法正确的是( )
A．用大球替代小球，单摆的周期不变
B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
2．(多选)将一单摆向左拉至图示左侧位置，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．这个实验动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4
C．摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径减小，摆线张力变大
D．摆球经过最低点时，角速度变大，做圆周运动的半径减小，摆线张力不变
3．在“用单摆测重力加速度的大小”实验中，小明作出摆线长L与周期T的L-T2图像如图所示，图像的斜率为k，则当地的重力加速度大小为( )
A．4π2k B．4π2k C．4π2kb D．4π2kb
回归本节知识，完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
3．单摆的周期由哪些因素决定？
4．单摆周期的表达式是什么？
[探究重构·关键能力达成]
知识点一
挖掘教材·梳理要点
链接教材
问题1 提示：小球静止时的位置O点为平衡位置。
问题2 提示：小球受重力和细线的拉力作用。细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
问题3 提示：小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
知识梳理
1．(1)质量 直径 空气阻力 2．(1)圆弧切线 mg sin θ (2)小 －mglx －kx 3．很小 简谐
互动探究·深化提升
思考讨论
提示：只有(f)可以看成单摆。
(a)(e)摆动过程中摆长会发生变化；(b)空气阻力不能忽略；(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略；(d)绳的质量与小球相比不能忽略。
典例1 CD [小球只受重力、绳子拉力两个力，A错误；单摆的回复力由重力沿运动方向的分力提供，B错误；小球在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，D正确。]
典例2 A [摆球一开始在正的最大位移处，所以A选项正确。]
知识点二
挖掘教材·梳理要点
1．(1)控制变量 (2)无关 无关 越大 越小 2．(1)惠更斯 (2)2πlg 正比 反比
互动探究·深化提升
思考讨论
问题1 提示：摆针走时偏快，说明摆钟的周期偏小，应调节螺母使圆盘沿摆杆下移增大摆长，使周期变大一些。
问题2 提示：广州市的重力加速度比北京市小，将一个走时准确的摆钟从广州市移到北京市，周期变小，应调节螺母使圆盘沿摆杆下移增大摆长，使周期变大。
典例3 D [设摆线长度为l，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，由单摆周期公式可得TA＝TB＝2πlg，小球做圆锥摆运动时，设摆线与竖直方向夹角为θ，高度为h，小球质量为m，圆周半径为R，则有tan θ＝Rh，mg tan θ＝m4π2T2R，解得T＝2πhg，由此综合可得TA＝TB>TC>TD，故选D。]
典例4 C [由题图可知，甲、乙两个单摆周期之比为1∶2，根据公式T＝2πLg可知，甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故A正确；由题图可知，t＝4 s时，乙摆刚好摆到平衡位置，故B正确；因为两摆摆球的质量未知，所以无法比较两摆机械能的大小，故C错误；由题图可知，甲、乙两摆的振幅之比为2∶1，故D正确。本题选不正确的，故选C。]
典例5 B [由单摆的周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期与摆角无关，故摆角变小，周期不变，A错误；由于同一光滑细线上的拉力大小处处相等，则由题意可知，小球平衡时，细线A端拉力等于B端拉力，D错误；对平衡时的小球受力分析，如图所示，则由力的平衡条件可知FA cs 30°＋FB cs 30°＝mg，又FA＝FB，代入数据解得FA＝33 N，C错误；由几何关系可知单摆的摆长l＝LABtan 30°cs30°＝1 m，则由T＝2πlg可知小球摆动周期T≈2 s，B正确。
]
典例6 B [对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝12gt32，解得t3＝2Rg；对于甲、乙两球，由于光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长，故可将它们的运动视为做简谐运动的单摆的运动，其运动周期为T＝2πRg，甲、乙两球第一次到达点O时均运动14周期，则t1＝t2＝T4＝π2Rg。所以丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确，A、C、D错误。]
典例7 C [题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mg sin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝g sin θ；题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响摆球的回复力；题图(3)为标准单摆；题图(4)中摆球处于超重状态，等效重力加速度为g4＝g＋a。由单摆周期公式T＝2πlg，知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确。]
[应用迁移·随堂评估自测]
1．C [用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期变大，故A错误；由单摆周期公式T＝2πlg可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B错误；用等大铜球替代铁球，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期不变，故C正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，由单摆周期公式T＝2πlg 可知，单摆周期变小，故D错误。]
2．AC [摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，机械能守恒，A正确；频闪照片拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为4∶3，根据单摆的周期公式T＝2πlg得，摆长之比为 16∶9, 故B错误；摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径变小，根据F－mg＝mv2r知，张力变大，根据v＝ωr，知角速度增大，故C正确，D错误。]
3．A [根据单摆的周期公式T＝2πL+rg，其中r为摆球半径，变形可得L＝gT24π2－r，根据图像的斜率可知k＝g4π2，解得g＝4π2k。故选A。]
课堂小结
1．提示：摆角θ较小(一般小于5°)，θ≈sin θ。
2．提示：重力沿圆弧切线方向的分力。
3．提示：摆长、重力加速度。
4．提示：T＝2πlg。
位置或过程
位移、回复力、
加速度
速度、动能
重力势能
最高点
最大
零
最大
最低点
零
最大
最小
远离平衡
位置运动
越来越大
越来越小
越来越大
靠近平衡
位置运动
越来越小
越来越大
越来越小