湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若复数为实数，则实数a等于（ ）
2. 设集合，，则集合中元素的个数为（ ）
3. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
4. 已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（ ）
5. 已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
6. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
7. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ）
11. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若非零向量满足，，则__________．
13. 已知点在抛物线上，的焦点为，则________．
14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．
(1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；
(2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，.
16. 已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
17. 如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值．
18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：.
19. 已知函数，．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求证：当时，；
(3)求证：.
湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面解析几何、数列、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、平面向量、计数原理与概率统计、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．1
D．2
A．6
B．5
C．4
D．3
A．1
B．-3
C．-4
D．1或-3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．0
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
A．
B．
C．
D．
A．时，满足的点有2个
B．时，满足的点有4个
C．的周长等于
D．的最大值为a2
喜欢哪吒角色
不喜欢哪吒角色
总计
女生
10
男生
5
总计
50
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
8
适中
8
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
已知复数的类型求参数；复数的除法运算；复数代数形式的乘法运算
2
0.85
交集的概念及运算
3
0.85
根据函数是幂函数求参数值；由幂函数的单调性求参数
4
0.85
由直线与圆的位置关系求参数
5
0.85
利用等差数列通项公式求数列中的项；等差数列通项公式的基本量计算；等比中项的应用
6
0.85
圆台表面积的有关计算
7
0.65
求图象变化前（后）的解析式；由图象确定正（余）弦型函数解析式；数量积的坐标表示；已知向量垂直求参数
8
0.65
根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式
二、多选题
9
0.85
计算几个数的中位数；计算几个数据的极差、方差、标准差；相关系数的意义及辨析；指定区间的概率
10
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；正、余弦定理判定三角形形状；二倍角的正弦公式；余弦定理解三角形
11
0.65
基本不等式求积的最大值；余弦定理解三角形；椭圆定义及辨析；椭圆中焦点三角形的周长问题
三、填空题
12
0.85
数量积的运算律；已知模求参数
13
0.85
根据抛物线方程求焦点或准线；抛物线的焦半径公式；抛物线定义的理解
14
0.4
利用导数研究函数的零点；根据极值点求参数
四、解答题
15
0.65
完善列联表；卡方的计算；独立性检验解决实际问题；超几何分布的均值
16
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；正弦定理求外接圆半径
17
0.65
证明面面垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直
18
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程；双曲线中向量点乘问题
19
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；用导数判断或证明已知函数的单调性
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
函数与导数
3,8,14,19
4
平面解析几何
4,11,13,18
5
数列
5
6
空间向量与立体几何
6,17
7
三角函数与解三角形
7,10,11,16
8
平面向量
7,12
9
计数原理与概率统计
9,15
10
等式与不等式
11