湖南省沅澧共同体2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省沅澧共同体2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数为实数，则实数a等于（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】，
又为实数，所以，解得.
故选：C
2. 设集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以集合中元素为，共4个.
故选：C
3. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
A. 1B. -3C. -4D. 1或-3
【答案】A
【解析】由题意可得.
故选：A
4. 已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，圆心，半径，
因为直角三角形，则点到直线的距离，
得.
故选：C
5. 已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，
则由题，即或（舍去），
所以.
故选：B
6. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆台的上底圆直径为3，上底圆直径为4.6，高为0.6，
过点作，垂足分别，
故，故，
故该圆台部分的侧面积为.
故选：B
7. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】由题知，函数的最小正周期满足，解得，
所以，
则，
由图象与轴的交点为得，则，
因为，所以，即，则，
所以图象与轴的交点为，
则，，
因为，所以，解得（负舍），所以，
所以，
所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，
则，
所以.
故选：D
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知是定义在上的奇函数，则.
当时，，那么，所以.
当时，，则，所以.
因此.
分情况讨论：
因为恒成立，所以.
由可得，即，解得.
又因为，所以不等式在上的解集为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数
B. 数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差
C. 在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱
D. 已知随机变量X服从正态分布且，则
【答案】ABD
【解析】对于A：数据1，2，3，5，8，9的中位数为，
平均数为，
因为，所以中位数小于平均数，故A正确；
对于B：因为数据的平均数为，
则方差为，
则标准差，即标准差大于方差，故B正确；
对于C：样本相关系数r的绝对值越小，线性相关程度越弱，故C错误；
对于D：因为且，
所以，故D正确；
故选：ABD.
10. 中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】A：，且，则，
若为锐角，则且，
此时，即；
若为钝角，则且，
此时，即；
综上，为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意；
B：，由正弦定理得，
即，得，
由，解得，又，所以，
即为直角三角形，故B符合题意；
C：由，得，
整理得，所以或，
即为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意；
D：，
，
即，由，得，
即，
，
得，所以或，解得或，
即为直角三角形，故D符合题意.
故选：BD
11. 已知，是椭圆左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A. 时，满足的点有2个
B. 时，满足的点有4个
C. 的周长等于
D. 的最大值为a2
【答案】ABD
【解析】对和，
又
又
当时，，两个短轴端点恰能使，正确；
当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；
对，，的周长为，错误；
对，，，正确.
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若非零向量满足，，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，
即，即，解得（负值舍去）；
故答案为：
13. 已知点在抛物线上，的焦点为，则________．
【答案】2
【解析】由题意，抛物线的焦点，准线为，
所以点到准线的距离，则.
故答案为：2.
14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】因为，所以，
依题意，函数在上有两个变号零点，由，得，
令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点，
而，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，又，
在同一坐标系内作出直线与函数图象，
观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；
（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，.
解：（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人，
不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人，
列联表补充如下，
零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为，
表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，
所以的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以的分布列为
数学期望.
16. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
解：（1）由正弦定理及，得，
，
，
．
（2）设的外接圆半径为，
由及正弦定理，
得，
．
由余弦定理得，，
，当且仅当时取等号，，
周长的最大值为9．
17. 如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值．
（1）证明：，，为的中点，
，，
平面，平面，
平面．
又平面，
平面平面．
（2）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系．
取中点，连接，，．
由（1）可知平面，平面，，
又平面，平面，故平面．
，，为的中点，．
又，为的中点，．
则，，，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以．
设平面的一个法向量，
则，令，则，所以.
设平面与平面的夹角为，
则，所以.
所以，平面与平面的夹角的正弦值是．
18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：.
（1）解：由题意可得解得，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设直线，点，
则.
联立，得，
.
，
则，
，
，
所以.
19. 已知函数，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）求证：.
（1）解：因为，所以，，
所以切线斜率为，
所以函数的在处的切线方程为，即；
（2）证明：要证，只需要证明，其中，
设，，
设，
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减
因为，，所以，，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减
又因为，，，，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.
因为，，
所以在区间内恒成立；
（3）证明：令，所以，
所以，，，…，，
所以.
对，，所以，
所以
，
所以得证.
设，则，则在区间上单调递减，
所以.
令，，所以，，所以，…，，
所以.
综上，.喜欢哪吒角色
不喜欢哪吒角色
总计
女生
10
男生
5
总计
50
010
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
喜欢哪吒角色
不喜欢哪吒角色
总计
女生
10
15
25
男生
20
5
25
总计
30
20
50
1
2
3