湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，则“ ”的一个充分条件是
A． B． C． D．
3．已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 ，则该圆台的侧面积为
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则
A． B． C． D．
5．已知 ，则在复平面内 所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在 的展开式中， 的系数是
A． B． C．20 D．40
7．在等差数列 中，前 项和为 ，若 ，则
A．18 B．33 C．36 D．40
8．如图 1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高 10cm，口径 26cm，底径 10cm，该碗的轴截面（不含
碗底部分）是抛物线的一部分，如图 2，则该抛物线的焦点到准线的距离为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．随机事件 满足 ，下列说法正确的是
A． B．事件 与事件 相互独立
C． D．
10．设函数 ，则下列选项正确的是
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
11．如图，在四面体 中， ， ， ， ， ， 分
别为棱 上的动点，则下列选项正确的是
A． 的最小值为 B．
C．直线 与面 所成角为 D．四面体 的体积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 .
13．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是 .
14．已知 分别为双曲线 的左，右焦点，以 为直径的圆与其中一条渐近线
在第一象限交于点 ，过点 作另一条渐近线的垂线，点 恰在此垂线上，则双曲线 的离心率
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
在 中， 分别是角 的对边，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 且 ，求 的值.
16．(本小题满分 15 分)
已知函数 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 在 的最大值和最小值；
(3)若方程 恰有两个不等的实根，求 的取值范围．
17．（本小题满分 15 分）
在数列 中 ， ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式 ；
(3)求数列 的前 项和公式 .
18．(本小题满分 17 分)
在平面四边形 中, ， ， ， ，
将 沿 AC 翻折至 ，且满足 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
19．(本小题满分 17 分)
已知 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 的上顶点，若 为直角三角
形，且椭圆过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率互为相反数的两条直线 与 分别交椭圆 于 两点，
①求证：通过点 的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求 的最大值.
沅澧共同体 2025 年上学期高二期中考试
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C B D B C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 AB ACD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．0.04 13． 14．2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
（1）由 和正弦定理，可得 ……2 分
……………………………………4 分
，…………………………………………………………………5 分
又 ……………………………………………………………………………………6 分
（2）由余弦定理， ，…………………………………………………………7 分
，解得 ，…………………………………9 分
由 可得 ，代入上式可得 ，.………………………………………11 分
解得： 或 （此时 ，不合题意，舍去）……………………………………………12 分
所以 ……………………………………………………………………………………………13 分
16．（本小题满分 15 分）
（1） ，因为 在点 处的切线方程为 ………2 分
所以有 …………………………………………………………………4 分
所以解得 ………………………………………………………………………………………5 分
（2）由（1）可得 ………………6 分
由 或 ………………………………………………………………………………7 分
2
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以 在 和[2,3]上单调递增， 上单调递减，又因为计算可得
.………………………………………………………9 分
所以 在 的最大值为 ，最小值为 ………………………………………………………10 分
（3）由（2）可知， 的极大值为 ，极小值为 ．…………………………12 分
当 ，所以 ，当 时， ………………………13 分
所以当且仅当 时，方程 恰有两个不等实根．…………………………15 分
17．（本小题满分 15 分）
解：（1） ，………………………………2 分
又 ，…………………………………………………………………………………………………3 分
数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．……………………………………………………5 分
（2）由（1）得： ……………………………………………………9 分
（3）由（2）得： ………13 分
………………………………………………………………………………………15 分
18．（本小题满分 17 分）
解：（1） ………………………………………………………………………2 分
又 平面 平面 ABC，…………………………………4 分
平面 ABC…………………………………………………………………………………………5 分
（3）以点 为坐标原点，垂直于 AB 的直线为 轴，AB 所在直线为 轴，AP 所在直线为 轴建立空间直
角坐标系，……………………………………………………………………………………………………6 分
由 ．
，则 ，……………………………7 分
故 ，
设平面 PAC 的一个法向量为 ，
则 ，取 ……………………………………………………11 分
设平面 PBC 的一个法向量为 ，
则 ，故可取 ，…………………………………………14 分
设二面角 的平面角为 ，
则 ，故 ，………………………………………………………16 分
所以二面角 的正弦值为 ．……………………………………………………………17 分
19．（本小题满分 17 分）
解：（1）由题意 ，则 是等腰直角三角形，即得 ，从而 …………2 分
又椭圆过点 则有 解得 …………………………………………………4 分
椭圆 的方程： ………………………………………………………………………………5 分
（2）
①由（1）知椭圆 的方程为 ，设直线 的方程： ，……………………6 分
则 的方程是 .令 ，………………………………………………7 分
由 可得 ，
则有 ，………………………………………………………………………………8 分
，
同理得 ，………………………………………………………9 分
…………………………………………11 分
即直线 AB 的斜率为定值，且定值为 1……………………………………………………………………12 分
②由（1）知 ，………………11 分
则 ，……………………………14 分
又 ，当且仅当 即当 时等号成立，…………………………………16 分
所以 ，即|AB|的最大值为 4．…………………………………………………………17 分