湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 设命题，，则为， 设，则大小顺序为， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 设，则大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6 已知，则（ ）
A B.
C. D.
7. 关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. 若满足对定义域内任意的，都有，则称为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
11. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，且，恒有
C. 函数在上的值域为
D. 若，恒有的一个充分不必要条件是
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小值是__________．
13. 用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________．
14. 函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知分别为的三个内角的对边，且，，．
（1）求及面积；
（2）若为边上一点，且，求的正弦值．
16. 已知数列的前项和为，且，数列满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求．
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
19. 已知是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．沅澧共同体2025届高三第二次联考（试题卷）
数学
时量：120分钟 满分：150分
命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，可求出集合，进而与集合取交集即可.
【详解】由题意，，
则，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
命题“，”的否定“，”.
故选：A.
3. 设，则的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案.
【详解】由函数在0,+∞上单调递增，可得， .
因函数在R上单调递增，则.故，
即.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法计算，利用复数的模公式可得解.
【详解】，则，
所以.
故选：B.
5. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量定义计算即可.
【详解】由投影向量定义可知，在上的投影向量为.
故选：C
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】因为，
所以
.
故选：C.
7. 关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出的草图，由解出实数a的取值范围.
【详解】函数图象如图所示．
若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则
即解得.
故选：A．
8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导后求出切线的斜率，再由点斜式得到切线方程，然后求出与坐标轴的交点，最后求出三角形面积即可；
【详解】由题意可得，
所以，所以切线方程为，
令，则，令，则，
则三角形的面积为，
故选：A.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. 若满足对定义域内任意的，都有，则称为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“优美函数”的定义，举例说明判断A,C,D不是“优美函数”，通过对数的运算判断B.
【详解】对于A，函数定义域为R，
取，则，
则存在，使得，故A满足题意；
对于B，函数的定义域为，
对于定义域内任意的，故B不满足题意；
对于C，函数定义域为R，
取，则，
则存在，使得故C满足题意；
对于D，函数定义域R，
取，则，
则存在，使得故D满足题意.
故选：ACD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 的图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由最值求，由周期求，结合特殊点的三角函数值求，进而可求函数解析式；将代入计算，得到最小值就可判断；利用奇函数的定义进行判断为奇函数即可判断；直接进行伸缩变化即可判断．
【详解】A．由图可得，，，解得，
又函数图象经过点，所以，即，
因为，所以，解得，故，故A正确；
B．当时，，此时函数取得最小值，
的图象关于直线对称，故B正确；
C．是奇函数，故C错误；
D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得到函数的图象，故D正确，
故选：ABD．
11. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，且，恒有
C. 函数在上的值域为
D. 若，恒有的一个充分不必要条件是
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对C：根据单调性求值域；对D：根据单调性整理可得：，恒成立，结合一元二次不等式的恒成立问题分析运算.
【详解】对于A：∵函数是奇函数，其定义域为，
则，
解得，故A正确；
对于B：由选项A可得：，
对，且，
则，可得，故，
可得，则，
即，故在上单调递增，
∴，且，恒有，故B错误；
对于C：∵，，且在定义域内单调递增，
∴函数在上的值域为，故C错误；
对于D：∵，恒有，且在上单调递增，∴，恒成立，
即，恒成立，
当时，则不恒成立，不合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
∵，
∴，恒有的一个充分不必要条件是，故D正确；
故选：AD．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题知，进而直接利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，．
当且仅当时等号成立．
所以，最小值为．
故答案为：
13. 用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于，则可计算圆锥筒的高，代入体积公式计算即可.
【详解】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于,
则，
，
圆锥筒的高为：，
这个圆锥筒的体积为; .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长之间的关系，属于容易题.
14. 函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，然后由函数的零点列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
令，即恰有三个实根，
三根为：①
，k，
∵，∴，
∴无解；
或，
当时，解得的范围为，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知分别为的三个内角的对边，且，，．
（1）求及的面积；
（2）若为边上一点，且，求的正弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；
（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值.
小问1详解】
由余弦定理得，
整理得，即，
因为，解得，
所以.
【小问2详解】
由正弦定理得：，
所以，
在三角形中，因为，则，
所以.
16. 已知数列的前项和为，且，数列满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）已知求，利用公式求解，进而利用已知关系求即可；
（2）利用错位相减法求前项和.
【小问1详解】
由，
当时，.
当时，，也适合.
综上可得，.
由，所以.
【小问2详解】
由（1）知
①
②
①②得
，
所以．
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；或
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为0即可证明线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明即可；
（2）求出直线与的方向向量，利用空间向量求异面直线的夹角即可；
（3）求出平面的法向量，假设通过空间向量的线性运算求得，利用已知条件列出等式求解即可得到的值，进而可求的值.
【小问1详解】
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，,
,
，且平面平面
【小问2详解】
由（1）得，，
异面直线与所成角的余弦值为．
【小问3详解】
由（1）得，．
设平面的法向量n=x,y,z，
由得，，
令，则，
设，
．
整理得，，解得或存在点或．
18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值.
【小问1详解】
由题意得解得，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线方程为.
【小问3详解】
直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.
19. 已知是自然对数的底数．
（1）讨论函数单调性；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导数值正负即得.
（2）把的根转化为直线与的图象有两个交点求解.
（3）由（1）的信息可得，构造函数，利用导数探讨单调性即可推理得证.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
当时，恒有，则函数在R上单调递增；
当时，由，得；由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
方程，当时，方程不成立，则，令，
依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有2个交点，
求导得，当或时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，当时，，且当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图：
观察图象，当时，直线与函数的图象有2个交点，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，求导得，
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
由，且，得，令函数，
求导得，
则函数在上单调递增，有，于是，
而，因此，即，又，
函数在上单调递增，从而，
所以.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．