湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分 命题单位：常德外国语学校
一择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．若复数 为实数，则实数 a 等于（）
A．-2 B． C．1 D．2
2．设集合 ， ，则集合 中元素的个数为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知幂函数 在 上单调递增，则 m 的值为（）
A．1 B．-3 C．-4 D．1 或-3
4．已知直线 与圆 交于 A，B 两点，且 为直角三角形，则 m 的值为（）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的首项为 2，公差不为 0，且 成等比数列，则 等于（）
A． B． C． D．
6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭
（图 1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图 2）的组合体．已知某重檐凉
亭的圆台部分的轴截面如图 3 所示，则该圆台部分的侧面积为（）
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象如图所示，图象与 轴的交点为 ，与
轴的交点为 ，最高点 ，且满足 ．若将 的图象向左平移 1 个单位得到的图象对应
的函数为 ，则 （）
A． B．0 C． D．
8．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，则不等式 在 上的解
集为（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是
A．数据 1，2，3，5，8，9 的中位数小于平均数
B．数据 0，0.2，0.3，0.7，0.8，1 的标准差大于方差
C．在相关分析中，样本相关系数 r 越小，线性相关程度越弱
D．已知随机变量 X 服从正态分布 且 ，则
10. 中，角 所对的边分别为 、 、 ，则“ 是直角三角形”的充分条件是（）
A． B． C． D．
11.已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一点，则（）
A． 时，满足 的点 有 2 个 B． 的周长等于
C． 时，满足 的点 有 4 个 D． 的最大值为 a2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.若非零向量 满足 ， ，则 ．
13.已知点 在抛物线 上， 的焦点为 ，则 ．
14.已知函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
在 2025 年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升
到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘
同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班 50 人进行了问卷调查，得到如下 列联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10
男生 5
总计 50
已知从全班 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6．
（1）请将上面的 列联表补充完整，根据小概率值 =0.01 的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与
性别是否有关；
（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取 6 人做进一步的问卷调查，再从这 6 人
中随机选出 3 人采访发言．设这 3 人中男生人数为 ，求 的分布列及期望值．
附： ， .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（本小题满分 15 分）
已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值．
17．（本小题满分 15 分）
如图 1，平面四边形 为“箏型”，其中 ，将平面 沿着 翻折得到三棱锥
（如图 2）， 为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）如图 2，若 ， ，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
18．（本小题满分 17 分）
已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，离心率为 2.
（1）求双曲线 的方程；
（2） 为坐标原点，过点 且斜率不为 0 的直线 交双曲线 于 两点（点 在第一象限，点 在
第二象限），直线 交双曲线 于点 ，证明： .
19．（本小题满分 17 分）
已知函数 , ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求证：当 时， ；
（3）求证： .
沅澧共同体 2025 年上学期高三第一次模拟考试（答案）
数学
时量：120 分钟 满分：150 分 命题单位：常德外国语学校
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A C B B D A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 ABD BD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.1 13.2 14.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
解：（1）因为从全班 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为 ，其中女生 10 人，则男生 20 人.
不喜欢哪吒角色的人数为 ，其中男生 5 人，则女生 15 人（含填表）……3 分
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10 15 25
男生 20 5 25
总计 30 20 50
零假设为 ：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得
，……5 分
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推
断犯错误的概率不大于 0.01.……6 分
（2）由题意，按分层随机抽样抽取的 6 人中，男生人数为 ，女生人数为 .……7 分
表示从这 6 人中随机选出 3 人中男生的人数，所以 的所有可能取值为 1，2，3.……8 分
则 ， ， .……11 分
所以 的分布列为
1 2 3
数学期望 .……13 分
16.（本小题满分 15 分）
解：（1）由正弦定理及 ，得 ，……2 分
，……4 分
， ，……6 分
， ……7 分
（2）设 的外接圆半径为 ，
由 及正弦定理，得 ……8 分
， .……10 分
由余弦定理得， ，……13 分
，当且仅当 时取等号， ， 周长的最大值为 9.……15 分
17.（本小题满分 15 分）
解：（1） ， ，D 为 的中点， ， ，……2 分
， 平面 ， 平面 ， 平面 .……4 分
又 平面 ， 平面 平面 .……6 分
（2）
如图，以点 为坐标原点，分别以 AB，AC 所在直线为 轴、 轴，过点 且与平面 垂直的直线为
轴，建立空间直角坐标系.取 中点 ，连接 PE， ， .
由（1）可知 平面 ， 平面 ， ……7 分
又 ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ……8 分
， ，D 为 的中点， .
又 ，E 为 的中点， .
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，……9 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 .……11 分
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，则 ，所以 .……13 分
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，所以 .
所以，平面 与平面 的夹角的正弦值是 .……15 分
18.（本小题满分 17 分）
解：（1）由题意可得 ……3 分
解得 ， ，……5 分
所以双曲线 的方程为 .……6 分
（2）证明：设直线 ，点 ， ，则 .
联立 ，得 ，……9 分
， ……11 分
， ，
则 ，……13 分
，
，……16 分
所以 .……17 分
19.（本小题满分 17 分）
解：（1）因为 ，所以 ， ，……2 分
所以切线斜率为 ，……4 分
所以函数 的在 处的切线方程为 ，即 ；……5 分
（2）要证 ，只需要证明 ，其中 ，
设 ， ，……6 分
设 ， ……7 分
因为函数 、 在 上均为减函数，
则 在区间 内单调递减……8 分
因为 ， ，所以， ，使得 ，
当 .时， ；当 时， .
所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减……9 分
又因为 ， ， ， ，使得 ，
当 时， ；当 时， .
所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减.……10 分
因为 ， ，
所以 在区间 内恒成立.……11 分
（3）令 ，所以 ，
所以 ， ， ，…， ，
所以 .……13 分
对 ， ，所以 ，
所以
，
所以 得证.……15 分
设 ，则 ，则 在区间 上单调递减，
所以 .
令 ， ，所以 ， ，所以 ，…， ，
所以 .
综上， .……17 分