湖南省沅澧共同体2024−2025学年高三下学期2月联考数学试题

这是一份湖南省沅澧共同体2024−2025学年高三下学期2月联考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．2B．3C．D．4
5．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且，则
6．的展开式中的常数项为（ ）
A．8B．2C．D．
7．已知是等比数列的前n项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．的图象与的图象在内有4个交点
10．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若,若，则
B．设为随机事件，且，若，则与相互独立
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．若，当时，取得最大值
11．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（ ）
A．关于原点成中心对称
B．上满足的点有2个
C．面积的最大值为
D．当直线与有3个交点时，的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．复数的虚部为 .
13．已知双曲线的渐近线与x轴的夹角为，则该双曲线的离心率为 .
14．高中数学必修一教材第87页中提到：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数t的值为 ，若，则实数m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)延长BC到D，使得，且，求的面积.
16．如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．
18．某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况.
经计算可得：，，.
(1)已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为.
①求、及；
②判断，，是否为定值，并求及的最值.
参考公式：，.
19．已知函数，，.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)设函数，且，是的两个零点.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，，
则.
故选：B.
2．【答案】A
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选：A.
3．【答案】D
【详解】由得，解得，
则.
故选：D.
4．【答案】D
【详解】抛物线的准线为，设点，则，解得，
所以点到轴的距离为4.
故选：D
5．【答案】B
【详解】选项A，
若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错；
选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量，两平面垂直，即为它们的法向量垂直，则，B正确；
选项C，若，则可能有，也可能相交，C错；
选项D ，若，且，则或，D错．
故选：B．
6．【答案】C
【详解】因为，
二项式的展开式的通项公式为，，
所以展开式的常数项为.
故选:C.
7．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
由依次成等差数列可得，即，
因，可得，解得或.
当时，，不满足，故充分性不成立；
由依次成等差数列，可得，显然，
故有，因，且，化简得：，解得或，
当时，，即依次成等差数列；
当时，，而，
故得，即依次成等差数列.故必要性成立.
综上可得，“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
8．【答案】B
【详解】为奇函数，故，
又为偶函数，故，
中，令代替得，
结合得，
即，又，
故，的一个周期为4，
又时，，且，
则，则，则，，
则时，，
故.
故选：B
9．【答案】BD
【详解】的图象向右平移个单位后，可得，
进而可得，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故不是的对称轴，故C错误，
对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确，
故选：BD
10．【答案】ABC
【详解】对于A，由题可得，故A正确；
对于B，因，则A的发生对B的发生没有影响，故A与相互独立，故B正确；
对于C，因，则，故C正确；
对于D，，则当时，取得最大值，故D错误.
故选：ABC
11．【答案】ACD
【详解】对于A，设动点，由题可得的轨迹方程，
把关于原点对称的点 代入轨迹方程显然成立，故A正确；
对于B，时的双纽线的方程为，
若，则在的中垂线轴上，故此时，
代入得，即，所以只有一个点，故B错误；
对于C，因为，是上的一点，
故，
当，即时等号成立，
下面说明垂直时可取到，
，则，
代入，
得，解得，故C正确；
对于D，直线与有3个交点时，
联立与，
得，当时，适合上述方程，
当时，，
即，则，则，
所以直线与有3个交点时，的取值范围是，故D正确；
故选：ACD.
12．【答案】/
【详解】依题意，，
所以所求虚部为.
故答案为：
13．【答案】2
【详解】根据渐近线的倾斜角为，
可得，
所以，
故答案为：2.
14．【答案】 1
【详解】由函数的图象关于点成中心对称，
得为奇函数，，
，
则，
所以，
所以，那么，又，所以.
故函数，
因为在上都是递增函数，
所以在上是递增函数，
又因为是奇函数，且是连续函数，
所以函数在上单调递增，要使，
只需，解得或，
故m的取值范围是.
故答案为：1；.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得.
所以设，，则，，
由余弦定理得，
又，所以.
（2），解得，
结合，则，由（1）知，
则，则，
因为由（1）知，则，
则.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为，点为的中点，所以，
因为平面平面ABD，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为，，所以是等边三角形，所以，
所以，所以，即，
又平面，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）取的中点，连接，则，
又因为平面，则平面，
因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、，、、、，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、，
依题意，整理得（*），
因点在椭圆上，则，即，
代入（*），化简得： ，又，所以，
则椭圆的离心率；
（2）

如图，设、，由（1）已得，
则由，消去并整理得，
此时，解得，
由韦达定理得，，
所以，
又原点到直线的距离，
所以的面积，解得，
故椭圆的方程为．
18．【答案】(1)；
(2)①，，；②是定值1，，的最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题意，，
则，
.
所以关于的经验回归方程为.
（2）①由题意，可知，
，
，
②当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，综上所述，的最大值为，最小值为.
19．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，，
易知在上单调递增，且，
当时，，当时，，
所以当时，该函数取得极小值，也为最小值，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
（2）（ⅰ）由，得，
则在上有两个零点，等价于方程在上有两个根，
令且，即函数的图象与直线有两个交点.
而，
当时，所以，即在上单调递减；
当时，，所以，即在上单调递增.
又，当时，，当时，，
函数的大致图象如图：
要使函数的图象与直线有两个交点，需满足，
所以a的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）知，显然.
因为，所以，
欲证成立，只需证，
因为，当且仅当时等号成立.
又，所以成立.星期t
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销售量y（张）
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