湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题 含解析

这是一份湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性解出集合 ，再解出集合 ，最后根据交集含义即可得到答案.
【详解】 ， ，
则 .
故选：B.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】含有一个量词的命题的否定，需要“改量词，否结论”.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ”的否定是“ ”.
故选：A.
3. 已知 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 ，然后结合 ，利用正弦余弦齐次式弦化切，再代入求解即可.
【详解】由 得 ，解得 ，
则 .
故选：D.
4. 已知 为抛物线 的焦点，点 在 上，且 ，则点 到 轴的距离为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求解即得.
【详解】抛物线 的准线为 ，设点 ，则 ，解得 ，
所以点 到 轴的距离为 4.
故选：D
5. 空间中有两个不同的平面 和两条不同的直线 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则
B 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，且 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．
【详解】选项 A，
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若 ，则 与 可以相交，也可以平行，不一定垂直，A 错；
选项 B，若 ，则直线 的方向向量分别是平面 的法向量，两平面垂直，即为
它们的法向量垂直，则 ，B 正确；
选项 C，若 ，则可能有 ，也可能 相交，C 错；
选项 D ，若 ，且 ，则 或 ，D 错．
故选：B．
6. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 8 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 可变形为 ，结合二项式 的展开式的通项公
式求结论.
【详解】因为 ，
二项式 的展开式的通项公式为 ， ，
所以 展开式的常数项为 .
故选:C.
7. 已知 是等比数列 的前 n 项和，则“ 依次成等差数列”是“ 依次成等差数列”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，分别考虑充分性和必要性是否满足即得结论.
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【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 依次成等差数列可得 ，即 ，
因 ，可得 ，解得 或 .
当 时， ，不满足 ，故充分性不成立；
由 依次成等差数列，可得 ，显然 ，
故有 ，因 ，且 ，化简得： ，解得 或
，
当 时， ，即 依次成等差数列；
当 时， ，而
，
故得 ，即 依次成等差数列.故必要性成立.
综上可得，“ 依次成等差数列”是“ 依次成等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 设函数 的定义域为 R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， .
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目条件得到 ， 的一个周期为 4，从而 .
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【详解】 为奇函数，故 ，
又 为偶函数，故 ，
中，令 代替 得 ，
结合 得 ，
即 ，又 ，
故 ， 的一个周期为 4，
又 时， ，且 ，
则 ，则 ，则 ， ，
则 时， ，
故 .
故选：B
【点睛】结论点睛：设函数 ， ， ， ．
（1）若 ，则函数 的周期为 2a；
（2）若 ，则函数 的周期为 2a；
（3）若 ，则函数 的周期为 2a；
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，若将 的图象向右平移 个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸
长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
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B. 图象关于点 对称
C. 的图象关于直线 对称
D. 的图象与 的图象在 内有 4 个交点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数图象的变换可得 ，即可代入验证求解 ABC，作出两个函数的图象即
可求解 D.
【详解】 的图象向右平移 个单位后，可得 ，
进而可得 ，故 A 错误，
对于 B， ，故 B 正确，
对于 C， ，故 不是 的对称轴，故 C 错误，
对于 D，分别作出 与 在 内的图象，可知有 4 个交点，故 D 正确，
故选：BD
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 若 ,若 ，则
B. 设 为随机事件，且 ，若 ，则 与 相互独立
C. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
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D. 若 ，当 时， 取得最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 由二项分布期望结论可得答案；.B 由条件概率定义可得答案；C 由正态分布概念可得答案；D
由二项分布方差结论可得答案.
【详解】对于 A，由题可得 ，故 A 正确；
对于 B，因 ，则 A 的发生对 B 的发生没有影响，故 A 与 相互独立，故 B 正确；
对于 C，因 ，则 ，故 C 正确；
对于 D， ，则当 时， 取得最大值，故
D 错误.
故选：ABC
11. 双纽线 最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系 xOy 中，
把到定点 的距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线.已知点 是 时
的双纽线 上一点，则（ ）
A. 关于原点成中心对称
B. 上满足 的点 有 2 个
C. 面积的最大值为
D. 当直线 与 有 3 个交点时， 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，设动点 ，把 关于原点对称的点 代入轨迹方程，显然成立；对于 B，
易得若 |则 在 轴上再根据 的轨迹方程求解即可；对于 C，由三角形得面
积公式 求解判断即可；对于 D，联立方程组，由判别式分析求解即可.
【详解】对于 A，设动点 ，由题可得 的轨迹方程 ，
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把 关于原点对称的点 代入轨迹方程显然成立，故 A 正确；
对于 B， 时的双纽线的方程为 ，
若 ，则 在 的中垂线 轴上，故此时 ，
代入得 ，即 ，所以只有一个点 ，故 B 错误；
对于 C，因为 ，是 上的一点，
故 ，
当 ，即 时等号成立，
下面说明垂直时可取到，
，则 ，
代入 ，
得 ，解得 ，故 C 正确；
对于 D，直线 与 有 3 个交点时，
联立 与 ，
得 ，当 时，适合上述方程，
当 时， ，
即 ，则 ，则 ，
所以直线 与 有 3 个交点时， 的取值范围是 ，故 D 正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题 D 选项的关键是利用方程的思想，转化为方程根的问题即可.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数 的虚部为_______.
【答案】 ##
【解析】
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【分析】利用复数的除法算计即可得解.
【详解】依题意， ，
所以所求虚部为 .
故答案为：
13. 已知双曲线 渐近线与x轴的夹角为 ，则该双曲线的离心率为________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可得 ，再由 即可得解.
【详解】根据渐近线的倾斜角为 ，
可得 ，
所以 ，
故答案为：2.
14. 高中数学必修一教材第 87 页中提到：函数 图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数.若函数 的图象关于点
成中心对称图形，则实数 t 的值为______，若 ，则实数 m 的取值范围是
______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【 分 析 】 根 据 为 奇 函 数 ， 利 用 奇 偶 性 的 定 义 以 及 对 数 的 运 算 求 出
，判断 单调递增，将原不等式化为 ，进而
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可得答案.
【详解】由函数 的图象关于点 成中心对称，
得 为奇函数， ，
，
则 ，
所以 ，
所以 ，那么 ，又 ，所以 .
故函数 ，
因为 在 上都是递增函数，
所以 在 上是递增函数，
又因为 是奇函数，且是连续函数，
所以函数 在 上单调递增，要使 ，
只需 ，解得 或 ，
故 m 的取值范围是 .
故答案为：1； .
【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调
性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单
调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .
（1）求角 C 的大小；
（2）延长 BC 到 D，使得 ，且 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合已知利用正弦定理得 ，然后利用余弦定理求得 ，再根据角的范围即
可求解.
（2）根据题目条件及同角三角函数关系得 ，再求得 ，再结合（1）中
，从而求出 ，最后代入三角形面积公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理得 .
所以设 ， ，则 ， ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 .
【小问 2 详解】
，解得 ，
结合 ，则 ，由（1）知 ，
则 ，则 ，
因为由（1）知 ，则 ，
则 .
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16. 如图 1，在平面四边形 中， ， ， ， .将 沿
折叠至 处，使平面 平面 （如图 2）， 为 中点， 为 的中点， 是 靠
近点 的四等分点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明出 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）取 的中点 ，连接 ，可得出 平面 ，以点 为坐标原点，分别以 、 、
为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角
的正弦值.
【小问 1 详解】
因为 ，点 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ABD，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
因为 ， ，所以 是等边三角形，所以 ，
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所以 ，所以 ，即 ，
又 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
因为 ，以点 为坐标原点，分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
，
则 、 ， 、 、 、 ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 已知点 在椭圆 上， 与椭圆的上，下顶点 的连线的斜率之
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积为 ．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 的面积为 （ 为坐标原点），求椭圆 的标
准方程．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由题意推理可得 ，利用点 在椭圆上，代入消元后可得 ，结
合 即可求得离心率；
（2）设 、 ，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长 和点 到直线
的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程.
【小问 1 详解】
因椭圆上、下顶点的坐标分别为 、 ，
依题意 ，整理得 （*），
因点 在椭圆 上，则 ，即 ，
代入（*），化简得： ，又 ，所以 ，
则椭圆 的离心率 ；
【小问 2 详解】
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如图，设 、 ，由（1）已得 ，
则由 ，消去 并整理得 ，
此时 ，解得 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
又原点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ．
18. 某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了 A 和 B 两个套餐服务，顾客可自由选择 A 和 B 两
个套餐之一；该游泳馆在 App 平台上推出了优惠券活动，下表是 App 平台统计某周内周一至周五销售优惠
券情况.
星期 t 1 2 3 4 5
销售量 y（张
218 224 230 232 236 ）
经计算可得： ， ， .
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（1）已知 y 关于 t 的经验回归方程为 ，求 y 关于 t 的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择 A 套餐的概率为 ，选择 B 套餐的概率为 ，并且 A 套餐包含两张优惠券，
B 套餐包含一张优惠券，记 App 平台累计销售优惠券为 n 张的概率为 .
①求 、 及 ；
②判断 ， ， 是否为定值，并求 及 的最值.
参考公式： ， .
【答案】（1） ；
（2）① ， ， ；②是定值 1， ， 的最大值为 ，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）将相关数据代入 和 的公式，即可得经验回归方程；
（2）①根据独立性乘法公式即可得到概率值；②由题意知 ， ，构造等比数列，再
利用等比数列的通项公式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意， ，
则 ，
.
所以 关于 的经验回归方程为 .
【小问 2 详解】
①由题意，可知 ，
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，
，
②当 时， ，即 ，
又 ，
所以当 时，数列 为各项都为 1 的常数列，
即 ，
所以 ，又 ，
所以数列 为首项为 公比为 的等比数列，
所以 ，即 .
当 为偶数时， ，且 随 的增大而减小，
因此 的最大值为 ；
当 为奇数时， ，且 随 的增大而增大，
因此 的最小值为 ，综上所述， 的最大值为 ，最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是构造等比数列，从而求得 .
19. 已知函数 ， ， .
（1）若 ，求实数 m 的取值范围；
（2）设函数 ，且 ， 是 的两个零点.
（i）求 a 的取值范围；
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（ii）证明： .
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）应用导数求 的最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数范围；
（2）（ⅰ）问题化为方程 在 上有两个根，应用导数研究方程右侧的区间单调性、值域，
即可得参数范围；（ⅰi）对于 有 ，则 ，再应用分析法化为证明
，即可证结论.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ， ，
易知 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，该函数取得极小值，也为最小值 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 m 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）由 ，得 ，
则 在 上有两个零点，等价于方程 在 上有两个根，
令 且 ，即函数 的图象与直线 有两个交点.
而 ，
当 时， 所以 ，即 在 上单调递减；
当 时， ，所以 ，即 在 上单调递增.
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又 ，当 时， ，当 时， ，
函数 的大致图象如图：
要使函数 的图象与直线 有两个交点，需满足 ，
所以 a 的取值范围为 .
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，显然 .
因为 ，所以 ，
欲证 成立，只需证 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立.
又 ，所以 成立.
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为方程 在 上有两个根，且对于
有 并应用分析法转化证明结论为关键.
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